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1、专题25 圆的问题 专题知识回顾 一、与圆有关的概念与规律1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。4推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧5圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。6在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心
2、角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半9半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径10. 点和圆的位置关系： 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形
3、的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。13若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。14圆内接四边形的特征： 圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。15.直线与圆有3种位置关系：如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 直线和O相交； 直线和O相切； 直线和O相离。16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。17.切线的性质（1）经过切点垂直于这条半径的直
4、线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 20设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则： 两圆外离 ； 两圆外切 ； 两圆相交 ； 两圆内切 ； 两圆内含 21.圆中几个关键元素之间的相互转化弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.22.与圆有关的公式设圆的周长为r，则：（1）求圆的直径公式d=2r（2）求圆的周长公式 C=
5、2r （3）求圆的面积公式S=r2二、解题要领1.判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2.与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形
6、式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题
7、，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019山东省滨州市）如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，若BCD40°，则ABD的大小为（）A60°B50°C40°D20°【答案】B 【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键连接AD，先根据圆周角定理得出A及ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论连接AD，AB为O的直径，ADB90°BCD40°，ABCD40°，ABD90&#
8、176;40°50°【例题2】（2019南京）如图，PA.PB是O的切线，A.B为切点，点C.D在O上若P102°，则A+C 【答案】219°【解析】连接AB，根据切线的性质得到PAPB，根据等腰三角形的性质得到PABPBA（180°102°）39°，由圆内接四边形的性质得到DAB+C180°，于是得到结论连接AB，PA.PB是O的切线，PAPB，P102°，PABPBA（180°102°）39°，DAB+C180°，PAD+CPAB+DAB+C180°+
9、39°219°【例题3】（2019甘肃武威）如图，在ABC中，ABAC，BAC120°，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2，求D的半径【答案】见解析。【解析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到BC30°，BADB30°，求得ADC60°，根据三角形的内角和得到DAC180°60°30°90°，于是得到AC是D的切线；证明：连接AD，A
10、BAC，BAC120°，BC30°，ADBD，BADB30°，ADC60°，DAC180°60°30°90°，AC是D的切线；（2）连接AE，推出ADE是等边三角形，得到AEDE，AED60°，求得EACAEDC30°，得到AECE2，于是得到结论连接AE，ADDE，ADE60°，ADE是等边三角形，AEDE，AED60°，EACAEDC30°，EACC，AECE2，D的半径AD2【例题4】（2019江苏苏州）如图，AE为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别
11、交于点E，F.（1）求证：；（2）求证：;（3）若，求的值.【答案】见解析。【解析】（1）证明：D为弧BC的中点，OD为的半径又AB为的直径（2）证明：D为弧BC的中点,即（3）解：，设CD=，则DE=，又,所以又,即 专题典型训练题 一、选择题1(2019甘肃陇南)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则ASB的度数是（）A22.5°B30°C45°D60°【答案】C【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半设圆心为0，连接OA.OB，如图，先证明OAB为等腰直角三角形得到
12、AOB90°，然后根据圆周角定理确定ASB的度数设圆心为O，连接OA.OB，如图，弦AB的长度等于圆半径的倍，即ABOA，OA2+OB2AB2，OAB为等腰直角三角形，AOB90°，ASBAOB45°2.（2019山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE如果A70°，那么DOE的度数为（）A35°B38°C40°D42°【答案】C【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD，由圆周角定理得出BDC90°，求出ACD90°A20&
13、#176;，再由圆周角定理得出DOE2ACD40°即可，连接CD，如图所示：BC是半圆O的直径，BDC90°，ADC90°，ACD90°A20°，DOE2ACD40°3.（2019广西贵港）如图，AD是O的直径，若AOB40°，则圆周角BPC的度数是（）A40°B50°C60°D70°【答案】B【解析】根据圆周角定理即可求出答案，AOB40°，CODAOB40°，AOB+BOC+COD180°，BOC100°，BPCBOC50°4.（2
14、019湖北天门）如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论的个数有（）A4个B3个C2个D1个【答案】A 【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键连结DOAB为O的直径，BC为O的切线，CBO90°，ADOC，DAOCOB，ADOCOD又OAOD，DAOADO，CODCOB在COD和COB中，CODCOB（SAS），CDOCBO90°又点D在O上，C
15、D是O的切线；故正确，CODCOB，CDCB，ODOB，CO垂直平分DB，即CODB，故正确；AB为O的直径，DC为O的切线，EDOADB90°，EDA+ADOBDO+ADO90°，ADEBDO，ODOB，ODBOBD，EDADBE，EE，EDAEBD，故正确；EDOEBC90°，EE，EODECB，ODOB，EDBCBOBE，故正确.5.（2019山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若ABC40°，则ADC的度数是（）A130°B140°C150°D160°【答案】B【解析】
16、根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数由题意得到OAOBOCOD，作出圆O，如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，ABC+ADC180°，ABC40°，ADC140°6.（2019湖南益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（）APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD【答案】D【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质先根据切线长定理得到PAPB，APDBPD；再根据等腰三
17、角形的性质得OPAB，根据菱形的性质，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立PA，PB是O的切线，PAPB，所以A成立；BPDAPD，所以B成立；ABPD，所以C成立；PA，PB是O的切线，ABPD，且ACBC，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，所以D不一定成立7.（2019广东广州）平面内，O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作O的切线条数为（）A0条B1条C2条D无数条【答案】C【解析】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案O的半径为1
18、，点P到圆心O的距离为2，dr，点P与O的位置关系是：P在O外，过圆外一点可以作圆的2条切线。8（2019山东泰安）如图，ABC是O的内接三角形，A119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则P的度数为（）A32°B31°C29°D61°【答案】A【解析】连接OC、CD，由切线的性质得出OCP90°，由圆内接四边形的性质得出ODC180°A61°，由等腰三角形的性质得出OCDODC61°，求出DOC58°，由直角三角形的性质即可得出结果如图所示：连接OC、CD，PC是O的切线，PCOC，OCP90
19、°，A119°，ODC180°A61°，OCOD，OCDODC61°，DOC180°2×61°58°，P90°DOC32°9(2019湖南益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD【答案】D 【解析】先根据切线长定理得到PAPB，APDBPD；再根据等腰三角形的性质得OPAB，根据菱形的性质，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立P
20、A，PB是O的切线，PAPB，所以A成立；BPDAPD，所以B成立；ABPD，所以C成立；PA，PB是O的切线，ABPD，且ACBC，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，所以D不一定成立故选D10. (2019湖北荆门)如图，ABC内心为I，连接AI并延长交ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）ADIDBBDIDBCDIDBD不确定【答案】A【解析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了三角形的外接圆和圆周角定理连接BI，如图，根据三角形内心的性质得12，56，再根据圆周角定理得到31，然后利用三角
21、形外角性质和角度的代换证明4DBI，从而可判断DIDB连接BI，如图，ABC内心为I，12，56，31，32，42+63+5，即4DBI，DIDB二、填空题11.（2019广西北部湾）九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.【答案】26.【解析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，设O的半径为r在RtADO中，AD=5，OD
22、=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解方程即可设O的半径为r在RtADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解得r=13，O的直径为26寸。12. (2019黑龙江绥化)半径为5的¤O是锐角三角形ABC的外接圆,ABAC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若OBD是直角三角形,则弦BC的长为_.【答案】【解析】OBD为直角三角形,分类讨论:如图,当BOD90°时,BOC90°,在RtBOC中,BOOC5,BC;当ODB90°时,OBOC,设OBCOCBx,BOD2x,BOC180°2x,ABO
23、90°2x,ABCACB90°x,A2x,BOC2A,即1802x2×2x,x30°,BOC120°,OBOC5,BC.综上所述,BC的长度为13. （2019山东东营）如图，AC是O的弦，AC=5，点B是O 上的一个动点，且ABC=45°，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是_【答案】【解析】MN是ABC的中位线，MN=AB当AB为O的直径时，AB有最大值，则MN有最大值当AB为直径时，ACB=90°，ABC=45°，AC=5，AB=，MN=14.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在O中，半径O
24、A垂直于弦BC，点D在圆上，且ADC30°，则AOB的度数为_【答案】60°.【解析】OABC， ，AOB2ADC,ADC30°，AOB60°.15.（2019江苏常州）如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，AOC120°，则CDB °【答案】30【解析】BOC180°AOC180°120°60°，CDB=12BOC30°16.（2019四川省雅安市）如图，ABC内接于O，BD是O的直径，CBD=21°，则 A的度数为_. 【答案】69°【解析】BD是O的直径，
25、BCD=90°，CBD=21°，D=69°，A=D=69°17.(2019安徽)如图，ABC内接于O，CAB30°，CBA45°，CDAB于点D，若O的半径为2，则CD的长为 【答案】【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键连接CO并延长交O于E，连接BE，于是得到EA30°，EBC90°，解直角三角形即可得到结论连接CO并延长交O于E，连接BE，则EA30°，EBC90°，O的半径为2，CE4，BCCE2，CDAB，CBA45
26、76;，CDBC18.（2019江苏泰州）如图，O的半径为5，点P在O上，点A在O内，且AP3，过点A作AP的垂线交O于点B.C设PBx，PCy，则y与x的函数表达式为 【答案】yx【解析】连接PO并延长交O于D，连接BD，根据圆周角定理得到CD，PBD90°，求得PACPBD，根据相似三角形的性质即可得到结论连接PO并延长交O于D，连接BD，则CD，PBD90°，PABC，PAC90°，PACPBD，PACPBD，O的半径为5，AP3，PBx，PCy，yx19.（2019山东省济宁市 ）如图，O 为Rt ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边
27、 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 【答案】 【解析】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键在Rt ABC 中，BC，AC3AB 2 ，BCOC，BC 是圆的切线，O 与斜边 AB 相切于点 D，BDBC，ADABBD2 ；在 Rt ABC 中，sinA ，A30°，O 与斜边 AB 相切于点 D，ODAB，AOD90°A60°， tanAtan30°， ，OD1，S 阴影 20.（2019湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点
28、C为圆心的圆与y轴相切点A、B在x轴上，且OAOB点P为C上的动点，APB90°，则AB长度的最大值为 【答案】16【解析】连接OC并延长，交C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，C（3，4），OC5，以点C为圆心的圆与y轴相切C的半径为3，OPOAOB8，AB是直径，APB90°，AB长度的最大值为16。三、解答题21.（2019南京）如图，O的弦AB.CD的延长线相交于点P，且ABCD求证：PAPC【答案】见解析。【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键连接AC，由圆心角
29、、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出CA，根据等角对等边证得结论证明：连接AC，ABCD，+，即，CA，PAPC22.（2019湖南株洲）四边形ABCD是O的圆内接四边形，线段AB是O的直径，连结AC.BD点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且ACHCBD，ADCH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若ACBC，PBPD，AB+CD2（+1）求证：DHC为等腰直角三角形；求CH的长度【答案】见解析。【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求CD的长度是本题的关键
30、（1）由圆周角的定理可得DBCDACACH，可证ADCH，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形；（2）由平行线的性质可证ADHCHD90°，由CDBCAB45°，可证DH为等腰直角三角形；通过证明ADPCBP，可得，可得，通过证明CHDACB，可得，可得ABCD，可求CD2，由等腰直角三角形的性质可求CH的长度证明：（1）DBCDAC，ACHCBDDACACH,ADCH，且ADCH四边形ADCH是平行四边形（2）AB是直径ACB90°ADB，且ACBCCABABC45°，CDBCAB45°ADCHADHCHD
31、90°，且CDB45°CDBDCH45°,CHDH，且CHD90°DHC为等腰直角三角形；四边形ABCD是O的圆内接四边形，ADPPBC，且PP,ADPCBP，且PBPD，ADCH，CDBCAB45°，CHDACB90°CHDACB,ABCDAB+CD2（+1）,CD+CD2（+1）CD2，且DHC为等腰直角三角形,CH23.（2019广西池河）如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB延长线于点F（1）若AEDC，EBCD，求证：DEBC；（2）若OB2，ABBDDA，F45°，求CF的长【答案】见解析。【
32、解析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出ADEDBC，证明ADEDBC，即可得出结论；证明：AEDC，ADEDBC，在ADE和DBC中，ADEDBC（AAS），DEBC；（2）连接CO并延长交AB于G，作OHAB于H，则OHGOHB90°，由切线的性质得出FCG90°，得出CFG、OGH是等腰直角三角形，得出CFCG，OGOH，由等边三角形的性质得出OBH30°，由直角三角形的性质得出OHOB1，OG，即可得出答案连接CO并延长交AB于G，作OHAB于H，如图所示：则OHGOHB90°，CF与O相切于点C，FCG90°，F4
33、5°，CFG、OGH是等腰直角三角形，CFCG，OGOH，ABBDDA，ABD是等边三角形，ABD60°，OBH30°，OHOB1，OG，CFCGOC+OG2+24.（2019甘肃）如图，在RtABC中，C90°，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E（1）求证：AADE；（2）若AD8，DE5，求BC的长【答案】见解析。【解析】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型（1）只要证明A+B90°，ADE+B90°即可解决问题。证明：连接OD，DE是切
34、线，ODE90°，ADE+BDO90°，ACB90°，A+B90°，ODOB，BBDO，ADEA（2）首先证明AC2DE10，在RtADC中，DC6，设BDx，在RtBDC中，BC2x2+62，在RtABC中，BC2（x+8）2102，可得x2+62（x+8）2102，解方程即可解决问题连接CDADEA，AEDE，BC是O的直径，ACB90°，EC是O的切线，EDEC，AEEC，DE5，AC2DE10，在RtADC中，DC6，设BDx，在RtBDC中，BC2x2+62，在RtABC中，BC2（x+8）2102，x2+62（x+8）2102，解得
35、x，BC25.（2019湖北省咸宁市）如图，在RtABC中，ACB90°，D为AB的中点，以CD为直径的O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FGAB于点G（1）试判断FG与O的位置关系，并说明理由（2）若AC3，CD2.5，求FG的长【答案】见解析。【解析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CDBD，得到DBCDCB，根据等腰三角形的性质得到OFCOCF，得到OFCDBC，推出OFG90°，于是得到结论。FG与O相切，理由：如图，连接OF，ACB90°，D为AB的中点，CDBD，DBCDCB，OFOC，OFCOCF，OFCDBC，OFDB，OFG+DGF180°，FGAB，DGF90°，OFG90°，FG与O相切。（2）连接DF，根据勾股定理得到BC4，根据圆周角定理得到DFC90°，根据三角函数的定义即可得到结论连接DF，CD2.5，AB2CD5，BC4，CD为O的直径，DFC90°，FDBC，DBDC，BFBC2，sinABC，即，FG