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1、根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法第七节第七节 (2)二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程I.为实数为实数,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,代入原方程代入原方程,得得 为为 m 次多项式次多项式.(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,则取则取从而得到特解从而得到特解形式为形式为Q(x)为为 m 次待
2、定系数多项式次待定系数多项式(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根,为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小结小结对方程对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为例例1 1解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根原方程通解为原方程通解
3、为例例2 2代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为法二法二解解例例3 3则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得解此方程得解此方程得代入上式得代入上式得利用欧拉公式利用欧拉公式注意注意上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方程程.解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入原方程代入原方程,得得所求非齐次方程特解为所求非齐次方程特解为原方程通解为原方程通解为例例4 4法二法二对应齐次方程通解对应齐次方程通解作辅助方程作辅助方程所求非齐次方程特解为所求非齐次方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）取虚部）代入辅助方程代入辅助方程,得得解解对应齐次方
4、程通解对应齐次方程通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例5 5所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）取实部）注意注意例例6 6解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即小结小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部,得原非齐方程特解得原非齐方程特解.补充题补充题:1.写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.解解:设设 的特解为的特解
5、为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）2.解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:3.求微分方程求微分方程的通解 (其中为实数).解解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为4.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为5.有特解有特解而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解微分方程的通解微分方程的通解.解
6、解:故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为方程化为方程化为 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程故故再积分得通解再积分得通解的解.6.设函数内具有连续二阶导数,(1)试将 xx(y)所满足的微分方程 变换为 yy(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 且解解:上式两端对 x 求导,得(1)由反函数的导数公式知代入原微分方程得 (2)方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解:由初始条件 得故所求初值问题的解为 7.且满足方程解解:则问题化为解初值问题:最后求得8:设解解:则有解初值问题:得:练练 习习 题题练习题答案练习题答案