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1、第四章第四章 微机保护算法微机保护算法1第1页，此课件共44页哦根据继电器动作方程进行判断 电流、电压相量电流I电压U阻抗继电器动作方程阻抗继电器动作特性采样值采样值保护算法保护算法特点：特点：不计算出具体的阻抗值。3.衡量算法的指标算法的速度算法所要求的采样点数（数据窗）算法的运算量算法的精度精度与速度之间的关系：精度 数据窗长度增加，计算量算法的滤波性能研究算法的实质研究算法的实质：如何在速度速度和精度精度两方面进行权衡 2第2页，此课件共44页哦二、假定输入为正弦函数的算法 设i1、i2和u1、u2分别为两个相邻采样时刻tK和tK+1的采样值（tK+1=tK+T），则有：基于如下假设：基
2、于如下假设：输入信号为纯正弦量，因此采用该类算法要获得比较理想的结果，必须与数字滤波器配合使用。1.两点乘积算法设输入信号为：求电流有效值求电流有效值I I由（1）和（2）式可得：3第3页，此课件共44页哦由（1）和（5）式可得：求电压有效值求电压有效值U U方法与求电流有效值相同，可求得：求阻抗（求阻抗（R R、X X）根据电流I和电压U求阻抗R、X的公式为：先求 和 ，将式（1）（4）两两相乘可得：4第4页，此课件共44页哦由式（10）和式（11）可求得：由式（13）、（14）可求得：由式（8）（11）可进一步求得：即：由式（6）、（12）和（15）可求得：5第5页，此课件共44页哦特点特
3、点数据窗仅为很短的一个采样间隔（两个采样点）；算式较复杂。当 时，公式可简化为：6第6页，此课件共44页哦2.导数算法设输入信号为：设t1时刻电流、电压信号的瞬时值为：求电流有效值I、电压有效值U对式（1）、（2）求导，可得：由式（1）（4）可得：求阻抗（R、X）由式（1）、（2）可得：与“两点乘积算法”中的i2和u2的表达式：相比，可以发现：将 和 表达式中的 用 替代可得式（5）和（6）。7第7页，此课件共44页哦因此，将式（16）、（17）中的i2用 替代，u2用 替代，用 替代，可得：求电流、电压信号的导数基本思想：用差分近似求导。下面以电流信号为例进行说明：如下图所示，电流信号在t1
4、时刻的采样值i1和导数值i1可以用与t1时刻相邻的两个连续采样时刻tK和tK+1的采样值iK和iK+1近似计算，即：特点：数据窗仅为很短的一个采样间隔（两个采样点）；求导数将放大高频分量；差分近似求导数，要求有较高的采样频率。8第8页，此课件共44页哦3.半周积分算法 基本思想：一个正弦信号在任意半周内，其绝对值积分（求面积）为常数S。由上式可得：积分值S与积分起点的初相角无关 求面积S面积S可以采用梯形法近似求得：特点 数据窗长度为10ms；具有一定的滤出高频分量的能力；不能抑制直流分量；适用于要求不高的电流、电压保护中，可以采用差分滤波器滤除信号中的非周期分量。9第9页，此课件共44页哦4
5、.平均值、差分值的误差分析在实际应用中，常采用平均值平均值代替瞬时值瞬时值，用差分值差分值近似代替微分微分，用梯形法则近似求积分。当输入信号为纯正弦纯正弦信号时，用平均值平均值可以求出准确的瞬时值准确的瞬时值，用差分差分也可以求出准确的微分值准确的微分值。设信号为：设x(t)的两个采样值为x(n)和x(n+1),有：由平均求瞬时值由平均求瞬时值结论：结论：平均值x(n)+x(n+1)/2与瞬时值x(t)之间仅差一个系数 ，该系数与时刻t和初相角无关，仅与角频率和采样间隔Ts有关。对于单一纯正弦信号，由平均值对于单一纯正弦信号，由平均值求瞬时值的公式为：求瞬时值的公式为：10第10页，此课件共4
6、4页哦由差分值求微分值由差分值求微分值结论：结论：差分值x(n+1)-x(n)/Ts与微分值dx(t)/dt之间仅差一个系数 该系数与时刻t和初相角无关，仅与角频率和采样间隔Ts有关。对于单一纯正弦信号，由差对于单一纯正弦信号，由差分值求微分值的公式为：分值求微分值的公式为：当Ts足够小时，sin(Ts/2)越接近于Ts/2，Kc也越接近于1/Ts。11第11页，此课件共44页哦三、突变量电流算法 1.基本原理线路发生故障时，短路如图（a）所示。对于系统结构不发生变化的线性系统，利用叠加原理可以得到（b）和（c）两个分解图。由叠加原理可得：故障后的测量电流故障后的测量电流负荷电流负荷电流故障电
7、流分量故障电流分量可求得故障电流分量为：对于正弦信号，在时间上间隔整周的两个瞬时值，其大小相等，即：T:工频信号的周期工频信号的周期因此：在非故障阶段测量电流等于负荷电流，即：则故障分量电流为：短路前后的电流波形示意图短路前后的电流波形示意图12第12页，此课件共44页哦故障分量电流的采样值计算公式为：当系统正常运行时，（1）式的输出为0；当系统刚发生故障的一周期内，（1）式输出的是纯故障分量；当负荷电流发生变化时，（1）式也有输出。因此（1）式反映的是电流的变化电流的变化，称为电流“突变量突变量”。当系统频率发生变化时，ik和ik-N对应电流波形的相位将有一个差值，当k在电流过零附近时，由于
8、电流变化较快，不大的引起的不平横电流较大，因此常采用下式求突变量电流。说明：（2）式对应的突变量的存在时间不是20ms，而是40ms。如果由于频率偏移，造成ik和ik-N之间有一个相角差，则ik-N和ik-2N的相角差也应基本相同，（2）式右侧中的两项可以部分抵消。因此采用（2）式可以补偿由于频率偏离产生的不平衡电流。13第13页，此课件共44页哦2.频率变化的影响设一个工频周期的采样点数为N，分析电网实际频率偏离50Hz时对突变量计算公式（2）：的影响。以A相电流为例，设：（3）取最大值的条件是：14第14页，此课件共44页哦按公式（1）：计算突变量受频率变化的影响为：按公式（1）和（2）计
9、算突变量的最大相对误差如下表所示。f(Hz)最大相对误差484949.55050.55152（1）式的误差（%）25.0712.566.2806.2812.5625.07（2）式的误差（%）6.231.580.3900.391.586.23结论结论：采用公式（2）计算突变量时，系统频率变化的影响要小得多。15第15页，此课件共44页哦四、傅里叶算法 N次谐波正弦项系数N次谐波余弦项系数基波角频率根据傅里叶级数和三角函数的正交性，可求出系数：因此，x(t)中的n次谐波分量可以表示为：1.基本原理 基本思想：假定被采样的模拟信号是一个周期性时间函数，可以通过傅里叶级数展开，表示为：同时，x(t)中
10、的n次谐波分量又可以表示为：比较xn(t)的两个表达式可得：因此可以求n次谐波的幅值和相位：16第16页，此课件共44页哦2.a2.an n和和b bn n的特点分析的特点分析从上式可以得出：采用傅氏算法求出的n次谐波分量xn(t)的正弦项系数an和bn是xn(t)的初始相角n的函数。也就是说，an和bn的值与积分开始时刻xn(t)的相角有关。由于x(t)是周期函数，因此，可以得到计算an和bn的更一般的表达式为：上式中若t1=0，即假定取从故障开始起的一个周期来积分，当t10时，x(t+t1)将相对于时间坐标的零点向左平移，相当于积分从故障后t1开始。结论：结论：a an n超前超前b bn
11、 n9090改变t1不会改变n次谐波分量的有效值，但初始相角会改变。17第17页，此课件共44页哦3.求阻抗（R、X）设一个正弦信号为：因此，正弦信号x(t)可表示为向量形式：可表示为向量形式：x(t)的正弦项系数和余弦项系数为：将正弦电流、电压信号表示为向量形式：电阻、电抗计算电阻、电抗计算公式为：公式为：18第18页，此课件共44页哦4.离散傅里叶算法每工频周期采样N点，利用梯形法则可以求得：特点：数据窗为一个工频周期，即20ms；运算量大，N次乘法和加法；抑制恒定直流分量和整数次谐波分量。半波傅里叶算法的正弦项系数和余弦项系数的计算式为：特点：数据窗较短，为10ms；计算量较小，N/2次
12、乘法和加法；不能滤除恒定直流分量和偶次谐波分量。19第19页，此课件共44页哦5.递归式离散傅里叶算法根据离散傅里叶算法的计算式，考虑n次谐波分量的正弦项系数 在第 个采样点处的计算式为：在第 个采样点的计算式为：比较式（1）和（2）可得：同理可以求得n次谐波分量的余弦项系数 的递推表达式为：特点：计算量小，每次只需要一次乘法和一次加减法运算；需要考虑累积误差对算法精度的影响。20第20页，此课件共44页哦6.6.傅氏算法的滤波特性傅氏算法的滤波特性傅氏算法中，求正弦项系数和余弦项系数的公式如下：上式可表示为：其中PT(t)为门函数，定义为：因此，(1)式是x(t)与 的互相关，(2)式是x(
13、t)与 的互相关。以以(1)(1)式为例式为例：随着t1的增大，（a）的图形将不断的向左平移，对于每一个t1（1）式中的被积函数是图（a）和图（b）的乘积，其积分值是t1的函数。分析x(t)与 的卷积，根据卷积的定义有：互相关的图解示意图互相关的图解示意图积分结果是t1的函数21第21页，此课件共44页哦因此，(1)式可以看成是输入信号x(t)经过一个冲激响应为 的滤波器的输出。由于滤波器的冲激响应宽度为一周期T，所以要经过T延时后，其输出才能反应故障后的情况。从滤波特性上看，（1）式相当于一个50Hz的正弦带通滤波器。其滤波器特性如上图中的（d）所示。卷积的图解示意图卷积的图解示意图用同样的
14、方法可以证明：(2)式含有的滤波作用相当于将输入信号x(t)和 卷积。相当于一个50Hz的余弦带通滤波器，特性如下图中的（b）所示。结论结论：（：（1）和（2）式能够完全滤除直流分量和所有的整数次谐波，对由于非周期分量引起的低频分量抑制能力较差。22第22页，此课件共44页哦7.7.傅里叶算法举例傅里叶算法举例电压：电流：全波傅里叶算法输入信号中无谐波分量输入信号中无谐波分量23第23页，此课件共44页哦电压：电流：输入信号中有谐波分量输入信号中有谐波分量24第24页，此课件共44页哦电压：电流：半波傅里叶算法输入信号中无谐波分输入信号中无谐波分量时量时25第25页，此课件共44页哦电压：电流
15、：输入信号中有谐波分输入信号中有谐波分量（量（2次和次和3次）时次）时26第26页，此课件共44页哦电压：电流：输入信号中有谐波分量（输入信号中有谐波分量（3次）时次）时27第27页，此课件共44页哦8.8.衰减直流分量对傅氏算法的影响及补偿方法衰减直流分量对傅氏算法的影响及补偿方法设输入信号为：=1/=1/，为衰减时间常数为衰减时间常数设每周波采样N点，即采样间隔为Ts=T/N，则第m次采样值为：式中：因此，对上式两端在一周期内积分，用矩形积分矩形积分近似，有：考虑到交流分量在一个周期内的积分为0，即 ，因此有：经过一个采样间隔后由（2）/（1）可得：因此根据采样值，利用（1）和（3）式，可
16、以计算出衰减直流分量的初始值C和时间常数。28第28页，此课件共44页哦考虑n次谐波分量的正弦项系数an在第m个采样点处的计算式为:故障信号中故障信号中n n次谐波的正弦项系数次谐波的正弦项系数将 带入上式，可得：因此可求得：同理可求得：因此，当衰减时间常数已知时，修正系数KA和KB可以离线求得。29第29页，此课件共44页哦考虑n次谐波分量的正弦项系数an和余弦项系数bn在第m个采样点处的计算式为:an和bn在第m+1个采样点处的计算式为:下面分析下面分析a an n(m)(m)、b bn n(m)(m)、a an n(m+1)(m+1)、b bn n(m+1)(m+1)之间的关系：之间的关
17、系：（6）式可变形为：式式式式30第30页，此课件共44页哦因此，可得：同理，根据（7）式可求得：根据（10）、（11）式可以求得：31第31页，此课件共44页哦两种递归算法仿真分析电压：电流：输入信号：输入信号：递归算法二递归算法二递归算法一递归算法一递归算法二：递归算法一：32第32页，此课件共44页哦计算阻抗计算阻抗电压：电流：输入信号：输入信号：递归算法二递归算法二递归算法一递归算法一33第33页，此课件共44页哦衰减直流分量的影响衰减直流分量的影响输入信号：输入信号：算法二算法二算法二算法二时间常数已知的情况，r按下式计算：34第34页，此课件共44页哦衰减直流分量的影响衰减直流分量
18、的影响输入信号：输入信号：算法二算法二算法二算法二时间常数未知的情况，r按下式计算：35第35页，此课件共44页哦五、解微分方程算法1.基本原理 对于一般的输电线路，在短路情况下，线路分布电容产生的影响主要表现为高频分量，采用低通滤波器将高频分量滤除，就可以忽略线路分布电容的影响，因此，输电线路等效为R-L模型。在短路时，下列方程成立，即：上式中：R1、L1分别为故障点至保护安装处线路段的正序电阻和电感；u、i为保护安装处的电压和电流。对于相间短路相间短路时，应采用u和i，如AB相间短路时，取为uab和ia-ib对于单相接地短路单相接地短路时，取相电压相电压和相电流加零序补偿电流相电流加零序补
19、偿电流，以A相为例，（1）式可改写为：（2）式中，Kr、Kx分别为电阻和电感分量的零序补偿系数，可用下式求出：其中：r0、r1、L0、L1分别为输电线路每公里的零序和正序电阻和电感。36第36页，此课件共44页哦D表示求得：2.短数据窗算法采用插值法可求得电流、电压信号在t1和t2时刻的值为：采用差分近似求导求得：以（1）式为例，两个不同采样时刻t1和t2分别测量u、i和 ，得到两个独立的方程：3.长数据窗算法采用插值法可求得电流、电压信号在t1和t2时刻的值为：采用差分近似求导求得：37第37页，此课件共44页哦4.算法的稳定性分析实质就是分析R1和L1的计算公式会不会出现 的情况。当在出口
20、附近短路时，分子将趋近于0，因此，如果分母出现两个非常接近的数相减，就会出现 的情况，从而导致算式的不稳定，出现很大的误差。为便于分析便于分析，假设电流和电流的导数都是正弦正弦的，即：上式中：1为t1时刻电流的相角，D为电流的导数超前电流的角度，为t2滞后t1的角度。同理可求得：电压超前电流的角度电压超前电流的角度对分母的分析对分母的分析从（1）式可以看出：分母的值与与t1时刻电流的相角1无关；在相间短路时，电流的导数总是超前于电流90，即D=90，带入（1）式可得：38第38页，此课件共44页哦4.算法特点仅用于计算线路阻抗，应用于距离保护中；不受电网频率变化的影响；不需要滤除非周期分量；具
21、有分布电容的长线路，将对算法产生误差；差分近似求导带来的误差。上式与两点乘积算法一样。因此，为了提高分母的数值，以便提高算法的稳定性，常采用长数据窗算法因此，越接近90，分母的值越大。当=90时，D1=i2，D2=-i1，有：对电感计算公式的分析对电感计算公式的分析电感L的计算公式中的分子为：当金属性短路时，90，因此上式同分母一样，其值与1无关。对电阻计算公式的分析对电阻计算公式的分析电阻R的计算公式中的分子为：当金属性短路时，很小，可能出现两个相近的数相减。因此，电阻分量的计算相对误差一般要比电抗分量的误差大。39第39页，此课件共44页哦五、最小二乘方算法假设故障时，电流信号中含有衰减直
22、流分量和各次谐波分量，即i(t)可表示为：可用泰勒级数展开为：1.基本原理 将输入信号y(t)与一个预设函数f(t)按最小二乘方 （或称最小平方误差）的原理进行拟合。i(t)可表示为：对于每一个采样值都应满足上式，取的N个采样值可以得到N个方程，用矩阵表示为：40第40页，此课件共44页哦表示为矩阵形式：当 时，A为方阵，可求得：当 时，A不是方阵，可求得：2.特点可任意选择预设函数的模型 可能获得很好的滤波性能和很高的精度；模型越复杂，则计算时间越长；利用一个预设模型，同时计算出各种所需的分量。算法的精度和计算时间与采样频率、数据窗的大小、时间参考点的合理选择有密切关系 41第41页，此课件
23、共44页哦六、算法的特性及其选择1.算法的动态特性输出结果随采样点数变化数据窗长度不满足算法的要求时数据窗长度满足算法的要求时数据窗中包含故障前后的数据数据窗中仅包含故障数据若算法的动态特性具有单调性，可以提高动作速度。单调下降的阻抗动态特性非单调下降的阻抗动态特性42第42页，此课件共44页哦单一电气量的单调上升特性对于单一电气量，采用绝对值求和的方法就具有单调的特点。设第m次的计算结果为：则第m+1次的计算结果为：因此，将多电气量的比较变换成单一电气量的比较，就可以实现单调的动态特性。2.算法的频率特性 算法的频率特性是指算法的滤波特性 将保护算法看作一个特殊的数字滤波器，输入不同频率的信
24、号，观察算法的输出结果；根据算法的数学表达式，进行Z变换，求得算法的传递函数H（z），从而分析该传递函数的滤波特性。3.影响算法精度的因数 故障信号的复杂性 模拟量输入环节 保护CPU的字长 43第43页，此课件共44页哦4.保护算法的评价及选择算法的评价 算法的精度：滤波特性和抑制非周期分量的能力 算法的速度：数据窗的长度和运算量几种常用算法比较假定输入为正弦信号的算法假定输入为正弦信号的算法 数据窗短、计算量小、速度快；精度较差；算法不具有滤波能力，需与数字滤波器配合；适用于输入信号中暂态分量不丰富或计算精度不高的保护中、保护的启动元件。傅里叶算法傅里叶算法 良好的滤波特性，能够率除各种奇偶次谐波和直流分量，精度较好；响应时间较长，抑制非周期分量的能力较差；计算量大。最小二乘方算法最小二乘方算法 精度很好，但运算量较大，响应速度慢；拟合模型需考虑精度和速度。解微分方程算法解微分方程算法 响应时间短，能够抑制非周期分量；滤波特性不够好；可以应用于距离保护中（分布电容可以忽略）。44第44页，此课件共44页哦