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1、2023届一轮复习课时跟踪检测 （五十）圆的方程 一、选择题（共9小题）1. 经过点 1,0，且圆心是两直线 x=1 与 x+y=2 的交点的圆的方程为 A. x12+y2=1B. x12+y12=1C. x2+y12=1D. x12+y12=2 2. 若圆 x2+y2+2axb2=0 的半径为 2，则点 a,b 到原点的距离为 A. 1B. 2C. 2D. 4 3. 方程 y=1x2 表示的曲线是 A. 上半圆B. 下半圆C. 圆D. 抛物线 4. 以 M1,0 为圆心，且与直线 xy+3=0 相切的圆的方程是 A. x12+y2=8B. x+12+y2=8C. x12+y2=16D. x+
2、12+y2=16 5. 已知圆 C 的圆心是直线 xy+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切，则圆 C 的方程是 A. x+12+y2=2B. x+12+y2=8C. x12+y2=2D. x12+y2=8 6. 已知圆 C 与直线 y=x 及 xy4=0 都相切，圆心在直线 y=x 上，则圆 C 的方程为 A. x+12+y12=2B. x+12+y+12=2C. x12+y12=2D. x12+y+12=2 7. 已知直线 l：x+my+4=0，若曲线 x2+y2+2x6y+1=0 上存在两点 P，Q 关于直线 l 对称，则 m 的值为 A. 2B. 2C. 1
3、D. 1 8. 已知圆 C:x32+y42=1 和两点 Am,0，Bm,0m0，若圆 C 上存在点 P，使得 APB=90，则 m 的最大值为 A. 7B. 6C. 5D. 4 9. 点 P4,2 与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是 A. x22+y+12=1B. x22+y+12=4C. x+42+y22=4D. x+22+y12=1 二、填空题（共5小题）10. 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，并且经过点 A1,1，B1,3，若 Mm,6 在圆 C 内，则 m 的取值范围为 11. 设 A3,0，B3,0 为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离之比为 1:2
4、，则点 P 的轨迹图形所围成的面积是 12. 当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y=k1x+2 的倾斜角 = 13. 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点 1,0 关于直线 y=x 对称，则圆 C 的标准方程为 14. 已知平面区域 x0y0x+2y40 恰好被面积最小的圆 C:xa2+yb2=r2 及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为 三、解答题（共3小题）15. 已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2+y26x+5=0 相交于不同的两点 A，B（1）求圆 C1 的圆心坐标（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 16. 已知 Mm,n 为圆
5、 C：x2+y24x14y+45=0 上任意一点（1）求 m+2n 的最大值；（2）求 n3m+2 的最大值和最小值 17. 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A1,0 和 B3,4，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且 CD=410（1）求直线 CD 的方程；（2）求圆 P 的方程答案1. B【解析】由 x=1,x+y=2 得 x=1,y=1, 即所求圆的圆心坐标为 1,1，又由该圆过点 1,0，得其半径为 1，故圆的方程为 x12+y12=12. B【解析】由半径 r=12D2+E24F=124a2+4b2=2 得，a2+b2=2，所以点 a,b 到原点的距离 d=a2+b
6、2=23. A【解析】方程可得 x2+y2=1y0，即此曲线为圆 x2+y2=1 的上半圆4. A【解析】因为所求圆与直线 xy+3=0 相切，所以圆心 M1,0 到直线 xy+3=0 的距离即为该圆的半径 r，即 r=10+32=22所以所求圆的方程为：x12+y2=85. A【解析】直线 xy+1=0 与 x 轴的交点 1,0根据题意，圆 C 的圆心坐标为 1,0因为圆与直线 x+y+3=0 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 r=d=1+0+312+12=2，则圆的方程为 x+12+y2=26. D【解析】由题意知 xy=0 和 xy4=0 之间的距离为 42=22，所以 r=2又因为
7、 x+y=0 与 xy=0，xy4=0 均垂直，所以由 x+y=0 和 xy=0 联立得交点坐标为 0,0，由 x+y=0 和 xy4=0 联立得交点坐标为 2,2，所以圆心坐标为 1,1，圆 C 的标准方程为 x12+y+12=27. D【解析】因为曲线 x2+y2+2x6y+1=0 是圆 x+12+y32=9，若圆 x+12+y32=9 上存在两点 P，Q 关于直线 l 对称，则直线 l：x+my+4=0 过圆心 1,3，所以 1+3m+4=0，解得 m=18. B【解析】提示：满足条件的点 P 在以 0,0 为圆心，m 为半径的圆上，同时又在圆 C 上，必需且只需这两个圆有公共点即可9.
8、 A【解析】设圆上任一点 Qx0,y0，PQ 中点为 x,y，则 x0=2x4,y0=2y+2, 代入圆方程即可10. 0,4【解析】设圆心为 Ca,0，由 CA=CB，得 a+12+12=a12+32，解得 a=2半径 r=CA=2+12+12=10故圆 C 的方程为 x22+y2=10，由题意知 m22+6210，解得 0m411. 16【解析】设 Px,y，则由题意有 x+32+y2x32+y2=14，整理得 x2+y2+10x+9=0，即 x+52+y2=16，所以点 P 在半径为 4 的圆上，故其面积为 1612. 34【解析】由题意知，圆的半径 r=12k2+44k2=1243k2
9、1，当半径 r 取最大值时，圆的面积最大，此时 k=0，r=1，所以直线方程为 y=x+2，则有 tan=1，又 0,，故 =3413. x2+y12=1【解析】因为点 1,0 关于直线 y=x 对称的点的坐标为 0,1，所以所求圆的圆心为 0,1，半径为 1，于是圆 C 的标准方程为 x2+y12=114. x22+y12=5【解析】做出不等式所表示的平面区域如下图所示，则不等式所表示的区域是 RtAOB，则覆盖此区域的最小圆是 RtAOB 的外接圆，此圆是以 AB 为直径，AB 中点为圆心的外接圆，则圆的半径为 5，圆心的坐标为 2,1所以圆的方程为 x22+y12=515. （1） 把圆
10、 C1 的方程化为标准方程得 x32+y2=4，所以圆 C1 的圆心坐标为 C13,0（2） 设 Mx,y，因为 A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点，且 M 为 AB 的中点，所以由圆的性质知：MC1MO，所以 MC1MO=0又因为 MC1=3x,y，MO=x,y，所以由向量的数量积公式得 x23x+y2=0易知直线 l 的斜率存在，所以设直线 l 的方程为 y=mx，当直线 l 与圆 C1 相切时，d=3m0m2+1=2，解得 m=255把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程化简得 9x230x+25=0，解得 x=53当直线 l 经过圆 C1 的圆心时，M 的坐标为 3,
11、0又因为直线 l 与圆 C1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，所以 53x3所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x23x+y2=0，其中 53x3，其轨迹为一段圆弧16. （1） 因为 x2+y24x14y+45=0 的圆心 C2,7，半径 r=22，设 m+2n=t，将 m+2n=t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离 d=2+27t12+2222，解上式得，16210t16+210，所以所求的最大值为 16+210（2） 记点 Q2,3，因为 n3m+2 表示直线 MQ 的斜率 k，所以直线 MQ 的方程为 y3=kx+2，即 kxy+2k+3=0由直线 MQ 与圆 C 有公共点，得 2k7+2k+31+k222可得 23k2+3，所以 n3m+2 的最大值为 2+3，最小值为 2317. （1） 直线 AB 的斜率 k=1，AB 的中点坐标为 1,2，所以直线 CD 的方程为 y2=x1，即 x+y3=0（2） 设圆心 Pa,b，则由 P 在 CD 上得 a+b3=0又直径 CD=410，所以 PA=210，所以 a+12+b2=40，由解得 a=3,b=6, 或 a=5,b=2. 所以圆心 P3,6 或 P5,2，所以圆 P 的方程为 x+32+y62=40 或 x52+y+22=40第5页（共5 页）