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1、专题四归纳与猜想专题提升演练1.观察下面的几个算式:1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25,根据你所发现的规律,请直接写出下面式子的结果:1+2+3+99+100+99+3+2+1的值为()A.100B.1 000C.10 000D.100 000答案:C2.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,2)表示9,则表示58的有序数对是()A.(11,3)B.(3,11)C.(11,9)D.(9,11)答案:A3.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规
2、律,m的值是. 答案:1584.下图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第(1)个图案中有6根小棒,第(2)个图案中有11根小棒则第(n)个图案中有根小棒. 答案:(5n+1)5.【问题情境】如图,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分DAM.【探究展示】(1)证明AM=AD+MC.(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.【拓展延伸】(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图,探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断.解:(1)证明延长AE,BC并交于点N,如图(甲),
3、图(甲)四边形ABCD是正方形,ADBC.DAE=ENC.AE平分DAM,DAE=MAE.ENC=MAE.MA=MN.在ADE和NCE中,ADENCE(AAS).AD=NC.MA=MN=NC+MC=AD+MC.(2)AM=DE+BM成立.证明:过点A作AFAE,交CB的延长线于点F,如图(乙)所示.图(乙)四边形ABCD是正方形,BAD=D=ABC=90°,AB=AD,ABDC.AFAE,FAE=90°.FAB=90°-BAE=DAE.在ABF和ADE中,ABFADE(ASA).BF=DE,F=AED.ABDC,AED=BAE.FAB=EAD=EAM,AED=BA
4、E=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM.F=FAM.AM=FM.AM=FB+BM=DE+BM.(3)结论AM=AD+MC仍然成立.证明:延长AE,BC并交于点P,如图(甲).图(甲)四边形ABCD是矩形,ADBC.DAE=EPC.AE平分DAM,DAE=MAE.EPC=MAE.MA=MP.在ADE和PCE中,ADEPCE(AAS).AD=PC.MA=MP=PC+MC=AD+MC.结论AM=DE+BM不成立.证明:假设AM=DE+BM成立.过点A作AQAE,交CB的延长线于点Q,如图(乙)所示.图(乙)四边形ABCD是矩形,BAD=D=ABC=90°,ABDC.AQAE,QAE=90°.QAB=90°-BAE=DAE.Q=90°-QAB=90°-DAE=AED.ABDC,AED=BAE.QAB=DAE=EAM,AED=BAE=BAM+EAM=BAM+QAB=QAM.Q=QAM.AM=QM.AM=QB+BM.AM=DE+BM,QB=DE.在ABQ和ADE中,ABQADE(AAS).AB=AD.与条件“ABAD”矛盾,故假设不成立.AM=DE+BM不成立.