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1、专题五函数压轴题阅读与理解函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案类型一 动点函数图象问题 此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判断图象的变化 例1 (2016·济
2、南) 如图，在四边形ABCD中，ABCD，B90°，ABAD5，BC4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AMCE1，AN3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MBBE向点E运动，同时点Q从点N，以相同的速度沿折线NDDCCE向点E运动，设APQ的面积为S，运动的时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（ ）第15题图 【分析】 由点Q从点N出发，沿折线NDDCCE向点E运动，确定出点Q分别在ND，DC，CE运动时对应的t的取值范围，再根据t所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象 【自主解答】过点D作DFAB于点F（如图1），
3、则DFBC4AD5，DF4，AF3sinA，MF312，BFABAF532，DCBF2AD5，AN3，ND532图1 图2 图3（1）当0t2时，点P在MF上，点Q在ND上（如图2），此时APAMMP1t，AQANNQ3tSAPAQsinA(1t)(3t)×(t2)2当0t2时，S随t的增大而增大，且当t2时，S6由此可知A、B选项都不对（2）当t5时，点P在MF上，点Q在ND上（如图3），此时BP1，PEBCBPCE4112SABPE×5×2565，选项D正确变式训练1如图，ABC是等腰直角三角形，C90°，ACBC，AB4，D为AB上的动点，DPAB
4、交折线ACB于点P.设ADx，ADP的面积为y，则y与x的函数图象正确的是( ) 2(2016·烟台)如图，O的半径为1，AD，BC是O的两条相互垂直的直径，点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动设APx，sinAPBy，那么y与x之间的关系图象大致是()类型二 二次函数的实际问题 解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续的问题一般来说，选择的坐标系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要 例2 (2017·金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线
5、的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m（1）当a=时，求h的值；通过计算判断此球能否过网（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值【分析】（1）将点P（0，1）代入y=（x4）2+h即可求得h；求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x4）2+h代入即可求得a、h【自主解答】解：（1）当a=时，y=（x4）2+h，将点P（0，1）代入，得：
6、×16+h=1，解得：h=；把x=5代入y=（x4）2+，得：y=×（54）2+=1.625，1.6251.55，此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x4）2+h，得：，解得：，a=变式训练3(2017·沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_元时，才能在半月内获得最大利润 4、（2017青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨下表是去年该酒店豪华间某两天的
7、相关记录： 淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题【自主解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华
8、间有y间，解得，x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50）=42025，当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元类型三 二次函数的综合题 二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答，计算量很大，且题目较为综合
9、 例3 (2017·泰安) ）如图，是将抛物线y=x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证OBC是等腰直角三角形，过点N作NHy轴，垂足是H，设点N纵坐标是（
10、a，a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQOA，设P（t，t2+2t+3），代入y=x+，即可求解【自主解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=（x1）2+k把（1，0）代入得0=（11）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3；（2）在y=x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3B的坐标是（3，0），OB=3，OC=OB，则OBC是等腰直角三角形OCB=45°，过点N作NHy轴，垂足是HNCB=90°，NCH=45°，NH=CH，H
11、O=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，a2+2a+3）a+3=a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，N的坐标是（1，4）；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQOA，设P（t，t2+2t+3），代入y=x+，则t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2t=0，解得t=0或t2+2t+3的值为3或P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）变式训练5(2016·襄阳) 如图，已知点A的坐标为（2，0），直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点（1）请直接写出B、C两
12、点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MNAB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在QMN为等腰直角三角形？解：（1）令x=0代入y=x+3y=3，C（0，3），令y=0代入y=x+3x=4，B（4，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x4），把C（0，3）代入y=a（x+2）（x4），a=，抛物线的解析式为
13、：y=（x+2）（x4）=x2+x+3，顶点D的坐标为（1，）；（2）当DPBC时，此时四边形DEFP是平行四边形，设直线DP的解析式为y=mx+n，直线BC的解析式为：y=x+3，m=，y=x+n，把D（1，）代入y=x+n，n=，直线DP的解析式为y=x+，联立，解得：x=3或x=1（舍去），把x=3代入y=x+，y=，P的坐标为（3，）；（3）由题意可知：0t6，设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，把A（2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，得：，解得，直线AC的解析式为：y=x+3，由题意知：QB=t，如图1，当NMQ=90°，OQ=4t，令x=4t代入y=x+3，
14、y=t，M（4t， t），MNx轴，N的纵坐标为t，把y=t代入y=x+3，x=t2，N（t2， t），MN=（4t）（2）=6t，MQOC，BQMBOC，MQ=t，当MN=MQ时，6t=t，t=，此时QB=，符合题意，如图2，当QNM=90°时，QB=t，点Q的坐标为（4t，0）令x=4t代入y=x+3，y=9t，N（4t，9t），MNx轴，点M的纵坐标为9t，令y=9t代入y=x+3，x=2t8，M（2t8，9t），MN=（2t8）（4t）=3t12，NQOC，AQNAOC，=，NQ=9t，当NQ=MN时，9t=3t12，t=，此时QB=，符合题意如图3，当NQM=90°
15、;，过点Q作QEMN于点E，过点M作MFx轴于点F，设QE=a，令y=a代入y=x+3，x=4，M（4a，a），令y=a代入y=x+3，x=2，N（2，0），MN=（4a）（a2）=62a，当MN=2QE时，62a=2a，a=，MF=QE=，MFOC，BMFBCO，=，BF=2，QB=QF+BF=+2=，t=，此情况符合题意，综上所述，当QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或6(2017·潍坊) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与
16、抛物线交于另一点F点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由解：（1）由题意可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）A（0，3），D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段AC的中点为（，），直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，直线l过平行四边形的对称中心，A、D关于对称轴对称，抛物线对称轴为x=1，E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，直线l
17、的解析式为y=x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，F（，），如图1，作PHx轴，交l于点M，作FNPH，P点横坐标为t，P（t，t2+2t+3），M（t，t+），PM=t2+2t+3（t+）=t2+t+，SPEF=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM（FN+EH）=（t2+t+）（3+）=（t）+×，当t=时，PEF的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）由图可知PEA90°，只能有PAE=90°或APE=90°，当PAE=90°时，如图2，作PGy轴，OA=OE，OAE=OEA=45°，PAG=APG=45°，PG=AG，t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），当APE=90°时，如图3，作PKx轴，AQPK，则PK=t2+2t+3，AQ=t，KE=3t，PQ=t2+2t+33=t2+2t，APQ+KPE=APQ+PAQ=90°，PAQ=KPE，且PKE=PQA，PKEAQP，=，即=，即t2t1=0，解得t=或t=（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或