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1、专题三圆的证明与计算阅读与理解 圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题类型一 切线的判定 判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直 例1 (2016·黄石)如图，O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，ADCD.(1)若BC3，AB5，求AC的值；(2)若AC是DAB的平分线，求证：直线CD是O的切线 【分析】（1）首先根
2、据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OCCD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得OCA=CAD，即可得到OCAD，由于ADCD，那么OCCD，由此得证【自主解答】（1）解：AB是O直径，C在O上，ACB=90°，又BC=3，AB=5，由勾股定理得AC=4；（2）证明：AC是DAB的角平分线，DAC=BAC，又ADDC，ADC=ACB=90°，ADCACB，DCA=CBA，又OA=OC，OAC=OCA，OAC+OBC=90°，OCA+ACD=OCD=90°，DC是O的切线变式训练1(2017&
3、#183;白银) 如图，AN是M的直径，NBx轴，AB交M于点C（1）若点A（0，6），N（0，2），ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线解：（1）A的坐标为（0，6），N（0，2），AN=4，ABN=30°，ANB=90°，AB=2AN=8，由勾股定理可知：NB=，B（，2）（2）连接MC，NC AN是M的直径，ACN=90°，NCB=90°，在RtNCB中，D为NB的中点，CD=NB=ND，CND=NCD，MC=MN，MCN=MNC，MNC+CND=90°，MCN+NCD=90
4、6;，即MCCD直线CD是M的切线类型二 切线的性质 已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题 例2 (2016·资阳) 如图，在O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：ABDC；(2)若CM平分ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM1时，求MN的长 【分析】 (1)连接OD，由切线的性质可得CDBODB90°，由AB是直径，可得ADB90°，进而可得AABD90°，进而求得
5、ABDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得AACMBDCDCM，即DMNDNM，再根据勾股定理求得MN的长 【自主解答】 (1)如图，连接OD，CD是O的切线，ODC90°，BDCODB90°.AB是O的直径，ADB90°，AABD90°.OBOD，OBDODB，AODB90°，ABDC. (2)CM平分ACD，DCMACM.ABDC，AACMBDCDCM.即DMNDNM.ADB90°，DM1，DNDM1，MN 变式训练2(2017·长沙)如图，AB与O相切于点C，OA，OB分别交O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；
6、（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积解：（1）连接OC，AB与O相切于点CACO=90°，由于=，AOC=BOC，A=BOA=OB，（2）由（1）可知：OAB是等腰三角形，BC=AB=2，sinCOB=，COB=60°，B=30°，OC=OB=2，扇形OCE的面积为：=，OCB的面积为：×2×2=2S阴影=2类型三 圆与相似的综合 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径 例3
7、 (2017·兰州) 如图，ABC内接于O，BC是O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得FAC=AOD，D=BAF（1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为5，CE=2，求EF的长【分析】（1）由BC是O的直径，得到BAF+FAC=90°，等量代换得到D+AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论【自主解答】解：（1）BC是O的直径，BAF+FAC=90°，D=BAF，AOD=FAC，D+AOD=90°，OAD=90°，AD是O的切线；（2）连接BF，FAC=A
8、OD，ACEOCA，AC=AE=，CAE=CBF，ACEBFE，=，EF=变式训练3(2016·丹东)如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D，CEAD，交AD的延长线于点E.(1)求证：BDCA；(2)若CE4，DE2，求AD的长 (1)证明：如图，连接OD，CD是O的切线，ODC90°，即ODBBDC90°，AB为O的直径，ADB90°，即ODBADO90°. BDCADO.OAOD，ADOA，BDCA.(2)解：CEAE，E90°，DBEC，DCEBDC.BDCA，ADCE.EE，AECCED， CE2DE·AE，即162(2AD)，AD6.