《初中数学总复习资料》中考数学全面突破:题型5 几何探究型问题.doc

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1、题型5几何探究型问题1.考查类型:动点探究题;平移、旋转、折叠探究题;图形形状变化探究题.2.考查内容:多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关;涉及平移、旋转或折叠的相关性质;多与二次函数的性质有关.3.备考指导:在做此类题型时,要观察题中已知条件,并结合题设,联系相关的知识解题,对结果猜想题根据前面问题大胆猜想,往往是解题的突破口类型一动点探究题1.如图,在RtABC中,ACB90°,AC5 cm,BAC60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒

2、(0t5),连接MN.(1)若BMBN,求t的值;(2)若MBN与ABC相似,求t的值;(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值2.如图,菱形ABCD中,已知BAD120°,EGF60°,EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动,角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图,当顶点G运动到与点A重合时,求证:ECCFBC;(2)知识探究:如图,当顶点G运动到AC中点时,探究线段EC、CF与BC的数量关系;在顶点G的运动过程中,若t,请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系(不需要写出证明过程);(3)问题解决:如图,已知菱形边长为8,BG7,CF,当t2时

3、,求EC的长度图3.已知:如图,在矩形ABCD中,AB6 cm,BC8 cm.对角线AC,BD交于点O,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1 cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QFAC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:(1)当t为何值时,AOP是等腰三角形?(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形OECQFSACD916?若存在,求出t的值;若不存在

4、,请说明理由;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分COP?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由4.某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在ABC中,BAC90°,ABAC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图,当点D在线段BC上时,BC与CF的位置关系为:_BC,CD,CF之间的数量关系为:_(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图,当点D在线段CB的延长线上时,结论,是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸如图

5、,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB2,CDBC,请求出GE的长类型二平移、旋转、折叠探究题5.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC90°,ABAC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BDCF,BDCF成立(1)当ABC绕点A逆时针旋转(0°<<90°)时,如图,BDCF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由(2)当ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图,延长DB交CF于点H.求证:BDCF;当AB2,AD3时,求线段DH的长图 图 图6.在ABC中,AB6,ACBC5,将AB

6、C绕点A按顺时针方向旋转,得到ADE,旋转角为(0°180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE.(1)如图,当60°时,延长BE交AD于点F.求证:ABD是等边三角形;求证:BFAD,AFDF;请直接写出BE的长;(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当DAGACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BECE的值温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答7.已知矩形ABCD中AD8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处(1)如图,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、O

7、A,若OCP与PDA的面积比为1 4,求边CD的长;(2)如图,在(1)的条件下擦去AO、OP,连接BP,动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合),动点N在线段AB的延长线上,且BNPM,连接MN交PB于点F,作MEBP于点E,试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明变化规律,若不变,求出线段EF的长度图图8.问题情境在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动如图,将一张菱形纸片ABCD(BAD>90°)沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD.操作发现(1)将图中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使BAC,得到如图

8、所示的ACD,分别延长BC和DC交于点E,则四边形ACEC的形状是_;(2)创新小组将图中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使2BAC,得到如图所示的ACD,连接DB、CC,得到四边形BCCD,发现它是矩形请你证明这个结论;实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图中BC13 cm,AC10 cm,然后提出一个问题:将ACD沿着射线DB方向平移a cm,得到ACD,连接BD,CC,使四边形BCCD恰好为正方形,求a的值请你解答此问题;(4)请你参照以上操作,将图中的ACD在同一平面内进行一次平移,得到ACD,在图中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,

9、写出你发现的结论,不必证明9.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中ACB90°,AC4,BC3,E、F分别是AC、AB边上的点,连接EF.(1)如图,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF3SEDF,求AE的长;(2)如图,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MFCA.试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;求EF的长;(3)如图,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN1,CE,求的值10.如图,矩形ABCD中,AB2,BC5,BP1,MPN90°,将MPN绕点P从PB处开始按顺时针方

10、向旋转,PM交边AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F,当PN旋转至PC处时,MPN的旋转随即停止(1)特殊情形:如图,发现当PM过点A时,PN也恰好过点D,此时,ABP_PCD(填“”或“”);(2)类比探究:如图,在旋转过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;(3)拓展延伸:设AEt,EPF的面积为S,试确定S关于t的函数关系式;当S4.2时,求所对应的t值11.如图,在ABC中,ACB90°,B30°,AC1,D为AB的中点,EF为ACD的中位线,四边形EFGH为ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在ACD的边上)(1)计算矩形EFG

11、H的面积;(2)将矩形EFGH沿AB向右平移,F落在BC上时停止移动在平移过程中,当矩形与CBD重叠部分的面积为时,求矩形平移的距离;(3)如图,将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1,将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转,当H1落在CD上时停止转动,旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2,设旋转角为,求cos的值类型三图形形状变化探究题12.如图,分别以ABC的AB和AC为边向ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形,BE和CD相交于点O.(1)在图中,求证:ABEADC.图(2)由(1)证得ABEADC,由此可推得在图中BOC120

12、6;,请你探索在图中BOC的度数,并说明理由或写出证明过程 图(3)填空:在上述(1)(2)的基础上可得在图中BOC_(填写度数)图 图(4)由此推广到一般情形(如图),分别以ABC的AB和AC为边向ABC外作正n边形,BE和CD仍相交于点O,猜想BOC的度数为_(用含n的式子表示)13.阅读理解:我们知道,四边形具有不稳定性,容易变形如图,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形,设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为,我们把的值叫做这个平行四边形的变形度(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是_;猜想证明:(2)设矩形的面积为S1,其

13、变形后的平行四边形面积为S2,试猜想S1,S2,之间的数量关系,并说明理由;拓展探究:(3)如图,在矩形ABCD中,E是AD边上的一点,且AB2AE·AD,这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1,E1为E的对应点,连接B1E1,B1D1,若矩形ABCD的面积为4(m>0),平行四边形A1B1C1D1的面积为2(m>0),试求A1E1B1A1D1B1的度数14.已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线,点E在ABC内,CAECBE90°.(1)如图,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF. 求证:CAECBF;若BE1,AE2,求CE

14、的长;(2)如图,当四边形ABCD和EFCG均为矩形,且k时,若BE1,AE2,CE3,求k的值;(3)如图,当四边形ABCD和EFCG均为菱形,且DABGEF45°时,设BEm,AEn,CEp,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系(直接写出结果,不必写出解答过程)15.已知点O是ABC内任意一点,连接OA并延长到E,使得AEOA,以OB,OC为邻边作OBFC,连接OF,与BC交于点H,再连接EF.(1)如图,若ABC为等边三角形,求证:EFBC;EFBC;(2)如图,若ABC为等腰直角三角形(BC为斜边),猜想(1)中的两个结论是否成立?若成立,直接写出结论即可;若不成立,请你直

15、接写出你的猜想结果;(3)如图,若ABC是等腰三角形,且ABACkBC,请你直接写出EF与BC之间的数量关系类型一动点探究题1. 解:(1)根据题意BM2t,BNBCt,而BC5×tan60°5.当BMBN时,2t5t,解得t1015.(2)分类讨论:当BMNACB90°时,如解图,NBMABC,cosBcos30°,解得t.当BNMACB90°时,如解图,MBNABC,cosBcos30°,解得t.因此当运动时间是秒或秒时,MBN与ABC相似第1题解图(3)由于ABC面积是定值,当四边形ACNM面积最小时,MBN面积最大,而MBN的

16、面积是SBM×BN×sinB×2t×(5t)×t2t,由于a0,当t时,MBN面积最大,最大值是×()2×,因此四边形ACNM面积最小值是×5×5.2. (1)证明:四边形ABCD是菱形,BAD120°,BAC60°,BACF60°,ABBC,ABAC,BAEEACEACCAF60°,BAECAF,在BAE和CAF中,BAECAF(ASA),BECF,ECCFECBEBC,即ECCFBC;(2)解:线段EC,CF与BC的数量关系为:ECCFBC.理由如下:如解图,过

17、点A作AEEG,AFGF,分别交BC、CD于E、F.第2题解图类比(1)可得:ECCFBC,G为AC中点,AEEG,CECE,同理可得:CFCF,CECFCECF(CECF)BC,即CECFBC;CECFBC;【解法提示】类比(1)可得:ECCFBC,AEEG,t,CECE,同理可得:CFCF,CECFCECF(CECF)BC,即CECFBC.(3)解:如解图,连接BD与AC交于点H.第2题解图在RtABH中,AB8,BAC60°,BHAB·sin60°8×4,AHCHAB·cos60°8×4,GH1,CG413,t(t2)

18、,由(2)得:CECFBC,CEBC CF×8.EC的长度为.3. 解:(1)分三种情况:若APAO,在矩形ABCD中,AB6,BC8,AC10,第3题解图AOCO5,AP5,t5,若APPOt,在矩形ABCD中,ADBC,PAOOCE,APOOEC,又OAOC,APOCEO,POOEt.如解图,作AGPE交BC于点G,则四边形APEG是平行四边形,AGPE2t,GEAPt.又ECAPt,BG82t.在RtABG中,根据勾股定理知62(82t)2(2t)2,解得t.第3题解图若OPAO5,则t0或t8,不合题意,舍去综上可知,当t5或t时,AOP是等腰三角形(2)如解图,作OMBC,

19、垂足是M,作ONCD,垂足是N.则OMAB3,ONBC4,SOEC·CE·OM·t·3t,SOCD·CD·ON·6·412.QFAC,DFQDOC,()2,即()2,SDFQt2,S四边形OFQC12t2,S五边形OECQFS四边形OFQCSOEC12t2t,即St2t12(0t6)(3)存在理由如下:要使S五边形OECQF:SACD916,即(t2t12)(×6×8)916,解得t13,t21.5,两个解都符合题意,存在两个t值,使S五边形OECQFSACD916,此时t13,t21.5;(4

20、)存在理由如下:如解图,作DIOP,垂足是I,DJOC,垂足是J,第3题解图作AGPE交BC于点G.SOCD·OC·DJ·5·DJ,且由(2)知,SOCD12,DJ.OD平分POC,DIOP,DJOC,DIDJ4.8.AGPE,DPIDAG.ADBC,DAGAGB,DPIAGB,RtABGRtDIP.由(1)知,在RtABG中,BG82t,IP(82t)在RtDPI中,根据勾股定理得()2(82t)2(8t)2,解得t.(t0不合题意,舍去)4. (1)解:BCCF;BCCDCF.【解法提示】BACDAF90°,BADCAF,又ABAC,ADA

21、F,ABDACF,ACFABC45°,ACB45°,BCF90°,即BCCF;ABDACF,BDCF,BCCDBD,BCCDCF.(2)解:结论仍然成立,不成立证明:BACDAF90°,BADCAF,又ABAC,ADAF,ABDACF,ACFABD180°45°135°,ACB45°,BCF90°,即BCCF;结论为:BCCDCF.证明:ABDACF,BDCF,BCCDBD,BCCDCF.(3)解:如解图,过点E作EMCF于M,作ENBD于点N,过点A作AHBD于点H.ABAC2,第4题解图BC4,AHB

22、C2,CDBC,CD1,BACDAF90°,BADCAF,又ABAC,ADAF,ABDACF,ACFABC45°,ACB45°,BCF90°,CNME,CMEN,AGCABC45°,CGBC4,ADE90°,ADHEDNEDNDEN90°,ADHDEN,又AHCDNE90°,ADDE,AHDDNE,DNAH2,ENDH3,CMEN3,MECN3,则GMCGCM431,EG.类型二平移、旋转、折叠探究题5. (1)解:BDCF成立理由如下:ACAB,CAFBAD,AFAD,ACFABD,CFBD.(2)证明:由(1)

23、得,ACFABD,HFNADN,在HFN与ADN中,HFNADN,HNFAND,NHFNAD90°,第5题解图HDHF,即BDCF.解:如解图,连接DF,延长AB,与DF交于点M,在MAD中,MADMDA45°,BMD90°.在RtBMD与RtFHD中,MDBHDF,BMDFHD.AB2,AD3,四边形ADEF是正方形,MAMD3,MBMAAB321,BD,又,即,DH.6. (1)证明:ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到ADE,ABAD,BAD60°,ABD是等边三角形;证明:由得ABD是等边三角形,ABBD,ABC绕点A顺时针方向旋转60

24、°得到ADE,ACAE,BCDE,又ACBC,EAED,点B,E在AD的中垂线上,BE是AD的中垂线,点F在BE的延长线上,BFAD,AFDF;解:BE的长为34;【解法提示】由知AFADAB3,AEAC5,BFAD,由勾股定理得EF4.在等边ABD中,AB6,BFAD,BFAB3,BE34.(2)解:BECE的值为13;第6题解图【解法提示】如解图,DAGACB,DAB2CAB.DAECAB,BAECAB,BAECBA,AEBC,AEACBC,四边形ACBE是菱形,CE垂直平分AB,BEAC5.设CE交AB于M,则CMAB,CMEM,AMBM,在RtACM中,AC5,AM3,由勾股

25、定理得CM4,CE8,CEBE13.7. 解:(1)由矩形性质与折叠可知,APOBCD90°,CPODPADPADAP90°,DAPCPO,OCPPDA,()2,即()2,CP4,设CDx,则DPx4,APABCDx,AP2DP2AD2,x2(x4)282,解得x10,故CD10.(2)第7题解图线段EF的长度始终不发生变化,为2.证明:如解图,过点N作NGPB,与PB的延长线相交于点G,ABAP,APBABPGBN,在PME和BNG中,PMEBNG(AAS),MENG,PEBG,在FME和FNG中,FMEFNG(AAS),EFGF,EFEG,BPBEEPBEGBEG,EF

26、BP,BP4,EFBP2.8. (1)解:菱形(2)证明:如解图,作AECC于点E,由旋转得ACAC,CAECAEBAC,第8题解图四边形ABCD是菱形,BABC,BCDC,BCABAC,CAEBCA,AEBC,同理AEDC,BCDC,四边形BCCD是平行四边形,又AEBC,CEA90°,BCC180°CEA90°,四边形BCCD是矩形(3)解:如解图,过点B作BFAC于点F,BABC,CFAFAC×105.在RtBCF中,BF12.在ACE和CBF中,CAEBCF,CEABFC90°,ACECBF,即,解得CE.ACAC,AECC,CC2CE

27、2×.当四边形BCCD恰好为正方形时,分两种情况:点C在边CC上,aCC1313,点C在边CC的延长线上,aCC1313.综上所述,a的值为或.第8题解图(4)解:答案不唯一,例:画出正确图形如解图所示平移及构图方法:将ACD沿着射线CA方向平移,平移距离为AC的长度,得到ACD,连接AB,DC.结论:四边形ABCD是平行四边形9. 解:(1)折叠后点A落在AB边上的点D处,EFAB,AEFDEF,SAEFSDEF.S四边形ECBF3SEDF,S四边形ECBF3SAEF.SACBSAEFS四边形ECBF,SACBSAEF3SAEF4SAEF,.EAFBAC,AFEACB90°

28、;,AEFABC,()2,()2.在RtACB中,ACB90°,AC4,BC3,AB5,()2,AE.(2)第9题解图四边形AEMF是菱形证明:如解图,折叠后点A落在BC边上的点M处,CABEMF,AEME,又MFCA,CEMEMF,CABCEM,EMAF,四边形AEMF是平行四边形又AEME,四边形AEMF是菱形如解图,连接AM,AM与EF交于点O,设AEx,则MEAEx,EC4x.CEMCAB,ECMACB90°,ECMACB.,AB5,AC4,解得x,AEME,EC.在RtECM中,ECM90°,CM2EM2EC2,即CM.四边形AEMF是菱形,OEOF,O

29、AOM,AMEF,S菱形AEMF4SAOE2OE·AO.在RtAOE和RtACM中,tanEAOtanMAC,.CM,AC4,AO3OE,S菱形AEMF6OE2.又S菱形AEMFAE·CM,6OE2×,OE,EF.(3)如解图,第9题解图过点F作FHCB于点H,在RtNCE和RtNHF中,tanENCtanFNH,NC1,EC,设FHx,则NHx,CHNHNCx1.BC3,BHBCCH3(x1)4x.在RtBHF和RtBCA中,tanFBHtanABC,解得x,HF.BB,BHFBCA90°,BHFBCA,即HF·BACA·BF,&#

30、215;54BF,BF2,AFABBF3,.10. 解:(1)ABPPCD.【解法提示】MPN90°,APBDPC90°,B90°,APBBAP90°,DPCBAP,又BC90°,ABPPCD.(2)在旋转过程中,的值为定值如解图,过点F作FGBC,垂足为G.第10题解图类比(1)可得:EBPPGF,ABFGB90°,四边形ABGF是矩形,FGAB2,BP1,即在旋转过程中,的值为定值.(3)由(2)知EBPPGF,又AEt,BE2t,PG2(2t)42t,AFBGBPPG1(42t)52t,SS矩形ABGFSAEFSBEPSPFG2

31、(52t)t(52t)×1×(2t)×2×(42t)t24t5, 即St24t5(0t2),当S4.2时,4.2t24t5,解得:t12,t22(不合题意,舍去)t的值是2.11. 解:(1)如解图,在ABC中,ACB90°,B30°,AC1,AB2,又D是AB的中点,第11题解图AD1,CDAB1,又EF是ACD的中位线,EFDF,在ACD中,ADCD,A60°,ACD为等边三角形,ADC60°,在FGD中,GFDF·sin60°,矩形EFGH的面积SEF·GF×.(2)如

32、解图,设矩形移动的距离为x,则0x,当矩形与CBD重叠部分为三角形时,则0x,重叠部分的面积Sx·x,第11题解图x(舍去),当矩形与CBD重叠部分为直角梯形时,则x,重叠部分的面积Sx××,x,即矩形移动的距离为时,矩形与CBD重叠部分的面积是.第11题解图(3)如解图,作H2QAB于Q,设DQm,则H2Qm,又DG1,H2G1,在RtH2QG1中,(m)2(m)2()2,解得m1,m20(舍去),cos.类型三图形形状变化探究题12. (1)证明:ABD、ACE是等边三角形,ABAD,ACAE,CAEDAB60°,CAEBACDABBAC,即BAED

33、AC,在ABE和ADC中,ABEADC(SAS)(2)解:BOC90°.理由如下:由(1)得ABEADC,EBACDA.FBAFDA180°,FBAEBAFDACDA180°,即FBOFDO180°.在四边形FBOD中,F90°,DOB360°F(FBOFDO)90°,BOC90°.(3)解:72°.【解法提示】BOC180°108°72°.(4)解:180°.【解法提示】由(3)可知,BOC度数应为180°减去正多边形内角度数13. 解:(1).【解法提

34、示】sin120°,故这个平行四边形的变形度是.(2),理由如下:如解图,设矩形的长和宽分别为a,b,其变形后的平行四边形的高为h,第13题解图则S1ab,S2ah,sin,又,.(3)由AB2AE·AD,可得A1BA1E1·A1D1,即.又B1A1E1D1A1B1,B1A1E1D1A1B1,A1B1E1A1D1B1,A1D1B1C1,A1E1B1C1B1E1,A1E1B1A1D1B1C1B1E1A1B1E1A1B1C1.由(2)结论,可得2,sinA1B1C1,A1B1C130°,A1E1B1A1D1B130°.14. (1)证明:如解图,A

35、CEECB45°,BCFECB45°,第14题解图ACEBCF,又四边形ABCD和EFCG是正方形,CAECBF.解:,AE2,BF,由CAECBF可得CAECBF,又CAECBE90°,CBFCBE90°,即EBF90°,第14题解图由CE22EF22(BE2BF2)6,解得CE.(2)解:连接BF,如解图,同(1)证CAECBF,可得EBF90°,由k,可得BCABAC1k,CFEFEC1k,EF,EF2,BF,BF2,CE2×EF2(BE2BF2),32(12),解得k.(3)解:p2n2(2)m2.【解法提示】如解图

36、,连接BF,同(1)证CAECBF,可得EBF90°,过点C作CHAB交AB延长线于点H,类比第(2)问得AB2BC2AC211(2),第14题解图EF2FC2EC211(2),p2(2)EF2(2)(BE2BF2)(2)(m2)(2)m2n2,p2n2(2)m2.15. 证明:(1)连接AH,如解图.第15题解图四边形OBFC是平行四边形,BHHCBC,OHHF,ABC是等边三角形,ABBC,AHBC,在RtABH中,AH2AB2BH2,AHBC,OAAE,OHHF,AH是OEF的中位线,AHEF,AHEF,EFBC.由得AHBC,AHEFBCEF,EFBC.(2)EFAB仍然成立

37、,EFBC.第15题解图【解法提示】如解图,连接AH,四边形OBFC是平行四边形,BHHCBC,OHHF,ABC是等腰直角三角形,AHBC,在RtABH中,AH2AB2BH2(BH)2BH2BH2,AHBHBC,OAAE,OHHF,AH是OEF的中位线,AHEF,AHEF,EFBC,EF2AHBC. 第15题解图(3)EF BC.【解法提示】如解图,连接AH,四边形OBFC是平行四边形,BHHCBC,OHHF,ABC是等腰三角形,ABkBC,AHBC,在RtABH中,AH2AB2BH2(kBC)2(BC)2(k2)BC2,AH BC,OAAE,OHHF,AH是OEF的中位线,AHEF,AHEF,EFBC, BCEF,EF BC.

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