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1、工程计算几种矩阵第1页，共13页，编辑于2022年，星期六4几种矩阵几种矩阵 4.1 初等矩阵 4.2 矩阵特征值估计Gerschgorin圆盘定理 4.3 对角占优矩阵 2022/10/82第2页，共13页，编辑于2022年，星期六4.1 初等矩阵初等矩阵定义定义4.1.1 下列各种类型的变换，叫做矩阵的初等变换下列各种类型的变换，叫做矩阵的初等变换(1)矩阵的任二行矩阵的任二行(列列)互换位置；互换位置；(2)非零常数非零常数c乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)的的c倍加到另一行倍加到另一行(列列)上去上去 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，便
2、得相应的三种初对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，便得相应的三种初等矩阵等矩阵P(i，j)，P(i(c)，P(i，j(c)，即，即 2022/10/83第3页，共13页，编辑于2022年，星期六4.1 初等矩阵初等矩阵定理定理4.1.1 对一个对一个m n矩阵矩阵A的行作初等行变换，相当于用相应的的行作初等行变换，相当于用相应的m阶阶初等矩阵左乘初等矩阵左乘A。对。对A的列作初等列变换，相当于用相应的的列作初等列变换，相当于用相应的n阶初阶初等矩阵右乘等矩阵右乘A。容易验证，初等矩阵都是可逆的，并且容易验证，初等矩阵都是可逆的，并且 P(i，j)1=P(i，j)，P(i(c)1=P(i(c
3、1)，P(i，j(c)1=P(i，j(c)2022/10/84第4页，共13页，编辑于2022年，星期六4.1 初等矩阵初等矩阵定义定义 4.1.2 如果如果A经过有限次的初等变换后变成经过有限次的初等变换后变成B，则称，则称A与与B等价，等价，记为记为AB。定理定理 4.1.2 A与与B等价等价的充要条件是存在两个可逆矩阵等价等价的充要条件是存在两个可逆矩阵P与与Q，使，使得得 B=PAQ 定义定义 4.1.3 设设u，v Cn，F，称矩阵，称矩阵 E(u，v，)=E uvH 为初等矩阵。为初等矩阵。初等矩阵有如下性质初等矩阵有如下性质 (1)E(u，v，)E(u，v，)=E(u，v，+vH
4、 u)2022/10/85第5页，共13页，编辑于2022年，星期六4.1 初等矩阵初等矩阵(2)E 1(u，v，)=E(u，v，)其中，其中，1+1=vH u(3)|E(u，v，)|=1 vH u 定义定义4.1.4 初等三角形矩阵。设初等三角形矩阵。设mi Rn，其前，其前i个分量为零。则称个分量为零。则称 Li(mi)=E(mi，ei，)=E mi ei T E(u，v，)=E uvH 为初等三角形矩阵。为初等三角形矩阵。因此，上述三种初等矩阵是定义因此，上述三种初等矩阵是定义5.1.2 的特例的特例 2022/10/86第6页，共13页，编辑于2022年，星期六4.1 初等矩阵初等矩阵
5、由定义知，由定义知，初等三角形矩阵有如下性质：初等三角形矩阵有如下性质：(1)|Li(mi)|=1(2)Li 1(mi)=Li(mi)(3)Li(mi)左乘矩阵左乘矩阵A的结果是从的结果是从A的各行中减去第的各行中减去第i行的倍数。行的倍数。2022/10/87第7页，共13页，编辑于2022年，星期六4.1 初等矩阵初等矩阵L Rn n是单位下三角形矩阵是单位下三角形矩阵 则有则有(1)L=L1(m1)L2(m2)Ln 1(mn 1)(2)L=I m1e1T m2e2T m n 1e Tn 1 2022/10/88第8页，共13页，编辑于2022年，星期六4.1 初等矩阵初等矩阵定义定义4.
6、1.5 设设w Cn，wHw=1，则，则 H(w)=E(w，w，2)=E 2wwH 称为初等称为初等Hermite矩阵。它是矩阵。它是Householder矩阵的特例。矩阵的特例。定义定义5.1.6 称矩阵称矩阵 当当w Rn时，称为初等镜面反射矩阵。时，称为初等镜面反射矩阵。P(i，j)=E(ei ej，ei ej，1)=E (ei ej)(ei ej)T 为初等置换矩阵。初等置换矩阵的乘积称为排列阵。为初等置换矩阵。初等置换矩阵的乘积称为排列阵。2022/10/89第9页，共13页，编辑于2022年，星期六4.2 矩阵特征值估计矩阵特征值估计Gerschgorin圆盘定理圆盘定理 Gers
7、chgorin圆盘定理给出了圆盘定理给出了n阶矩阵阶矩阵A的的n个特征值在复平面上的分布个特征值在复平面上的分布范围范围 定理定理4.2.1(Gerschgorin圆盘定理圆盘定理)n阶矩阵阶矩阵A的每个特征值位于复平面上的每个特征值位于复平面上以以aii为中心，以为中心，以Ri为半径的诸圆盘为半径的诸圆盘 Di=z|z aii|Ri i=1，2，n 中的一个，其中中的一个，其中 定理定理4.2.2(第二圆盘定理第二圆盘定理)如果定理如果定理5.2.1中有中有s个圆盘组成一个联通域，个圆盘组成一个联通域，并与其余圆盘隔开，则在此联通域中恰好有并与其余圆盘隔开，则在此联通域中恰好有s个个A的特征
8、值。的特征值。2022/10/810第10页，共13页，编辑于2022年，星期六4.2 矩阵特征值估计矩阵特征值估计Gerschgorin圆盘定理圆盘定理 推论：如果推论：如果n阶矩阵阶矩阵A的的n个圆盘两两不相交，则个圆盘两两不相交，则A相似于对角矩阵。相似于对角矩阵。推论：如果推论：如果n阶实矩阵阶实矩阵A的的n个圆盘两两不相交，则个圆盘两两不相交，则A的特征值全为实数。的特征值全为实数。2022/10/811第11页，共13页，编辑于2022年，星期六4.3 对角占优矩阵对角占优矩阵 定义定义4.3.1 设设A Rn n，如果存在一个排列阵，如果存在一个排列阵P，使得，使得 则称则称A为
9、可约的，否则称为不可约的。为可约的，否则称为不可约的。定义定义4.3.2设设A Rn n，如果，如果 称称A为严格对角占优矩阵。为严格对角占优矩阵。定义定义定义定义4.3.3设设A Rn n是不可约的，如果是不可约的，如果 至少有一个不等式严格成立，称为不可约弱对角占优矩阵。至少有一个不等式严格成立，称为不可约弱对角占优矩阵。2022/10/812第12页，共13页，编辑于2022年，星期六4.3 对角占优矩阵对角占优矩阵 定理定理4.3.1 设设A Rn n为严格对角占优矩阵，则为严格对角占优矩阵，则aii0，i=1，2，n且且A为非奇异矩阵。为非奇异矩阵。定理定理4.3.2设设A Rn n为不可约弱对角占优矩阵，则为不可约弱对角占优矩阵，则aii0，i=1，2，n且且A为非奇异矩阵。为非奇异矩阵。2022/10/813第13页，共13页，编辑于2022年，星期六