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1、坐标系及其变换完成第1页，本讲稿共18页(1)坐标系的相对变换1)相对于参考系的相对变换始终相对于一 个相同的参考系的变换2)相对于当前系的相对变换每个平移、旋转 变换始终相对于当前坐标系（每个当前坐标系 均不同）。第2页，本讲稿共18页(2)坐标系前乘变换或后乘变换的相对变换 设C是以齐次坐标矩阵表示的坐标系，T是由若干平移、旋转变换因子按一定顺序组成的变换。显然TC及CT将得到完全不同的变换结果，原因是坐标系C所作的相对变换不同。1)坐标系C前乘（左乘）变换时，得到的TC是C始终相对于同一参考系的变换，变换的动作顺序由T的最后（最右）因子开始，以最前（最左）的因子结束其变换。2)坐标系C后
2、乘（右乘）变换时，得到的CT是C相对于不同当前坐标系的变换，变换的动作顺序由T的最前（最左）因子开始，以最后（最右）的因子结束其变换。TC与CT导致不同变换的结果与矩阵乘法不服从交换律的性质是一致的。第3页，本讲稿共18页【例2.4】给定一坐标系 及一变换T=试确定C相对于参考系的变换 X=TC及C相对于当前系的变换Y=CT。第4页，本讲稿共18页解：相对于参考系的相对变换为：X=TC其变换的动作顺序为先旋转后平移。相对于当前系的相对变换为：Y=CT其变换的动作顺序为先平移后旋转。第5页，本讲稿共18页4.逆变换将被变换坐标系变回到原来的坐标系时，可以用变换T的逆来实现。例如X=TC使C变换为
3、X，若用X求C则为 给定变换T为 则T的逆阵为(2-14)式中 p、n、o、a表示T的各列矢量；”表示二矢量的数量积。第6页，本讲稿共18页5.一般旋转变换 所谓一般旋转变换，即其旋转轴线不与参考系任何轴线重合，而是参考系中某一矢量，这一矢量的方向用其上的单位矢量。表示。为了导出一般旋转变 的计算公式，设 是一个坐标系C中轴 的单位矢量，一般坐标系为 C=(2-15)第7页，本讲稿共18页其中轴的单位矢量为这样，绕矢量旋转就等于绕坐标系C的 轴旋转，即(2-16)第8页，本讲稿共18页图2-12 一般旋转变换如图2-12所示，被旋转的坐标系为,该系以坐标系 为参考系记为Y,以坐标系C为参考 系
4、时记为X(注意：X、Y均为 坐标系)。Y与X 的关系为 或(2-17)第9页，本讲稿共18页绕旋转Y等效于绕坐标系的C的轴旋转X，即(2-18)式中的 表示将 变换到与左端 相同的参考系中去，否则(2-18)的等式不成立。将(2-17)式代入(2-18)式，得因此第10页，本讲稿共18页 现将此式展开，并利用C矩阵的正交性对展开式进行整理，得到一般旋转变换的计算公式为(2-19)式中 一般轴的单位矢量的3个方向的分量，即(2-15)式中的；第11页，本讲稿共18页 V 的缩写，通常为正矢；S 的简写；C 的简写；由(2-19)式可见，一般旋转变换在 角不变时，它仅仅是矢量 的函数，绕坐标轴的
5、旋转变换仅是一般旋转变换的特例。例如绕坐标轴的 旋转变换，其，将这些值代入(2-19)式，得第12页，本讲稿共18页它与(2-13)式完全一致。第13页，本讲稿共18页6.等效旋转轴及等效旋转角 对于一个任意给定的旋转变换，可以利用(2-19)式求出绕等效旋转轴、等效旋转角为 的等效变换。设给定的旋转变换R为 R=使R式与(2-19)式相等，得(2-20)第14页，本讲稿共18页(2-20)式两端矩阵的对角线元素分别相加，仍然相等，故有(2-21)利用 及，得(2-22)由此解出等效旋转角 的余弦为(2-23)(2-20)式两端矩阵非对角线上对称元素相等，得(2-24)第15页，本讲稿共18页由此解出等效旋转角 的正弦为(2-25)规定 在 中选取，故上式取正值，因而等效旋转角 唯一地按下式确定：(2-26)等效旋转轴矢量 的分量可用(2-24)式确定：第16页，本讲稿共18页(2-27)利用(2-27)式解矢量，当 很小可能导致单位矢量的模大于1，这时需要对 进行标准化：第17页，本讲稿共18页当 接近于 时，(2-27)式的计算精度变得越来 越差。实践表明，当 时需另求计算公式：仍然利用(2-20)式，可得(2-28)式中 符号函数，当括弧内差值为正时取正号，否则取负号。第18页，本讲稿共18页