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1、http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛关于用三重积分推导关于用三重积分推导抽水做功的计算公式抽水做功的计算公式6.3 定积分的物理应用 1第一页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 2 作为定积分的物理应用，抽水所做的作为定积分的物理应用，抽水所做的功一般是用定积分来计算。功一般是用定积分来计算。本课件用三重积分的元素法来推导抽水做本课件用三重积分的元素法来推导抽水做功的三重积分计算公式。功的三重积分计算公式。用三重积分来计算抽水所做的功，有用三重积分来计算抽水所做的功，有时更方便。时更方便。最后，举例
2、加以说明。最后，举例加以说明。第二页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 3水面水面问题：问题：欲将瓶中的水从瓶口抽出，求欲将瓶中的水从瓶口抽出，求抽水所做的功抽水所做的功W。第三页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 4先用定积分来计算功先用定积分来计算功第四页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 5如图建立如图建立 x 轴：轴：设瓶高为设瓶高为H，水面高为，水面高为 h，在在 x(0 xh
3、)的高度取厚度为的高度取厚度为 dx 的很薄的一层水。的很薄的一层水。假设已知这层水的横截面面假设已知这层水的横截面面积为积为 A(x)(0 xPI*(2*x/3)2:dw:=x-(15-x)*mu*g*A(x):Integrate(dw(x),x=0.15)=integrate(dw(x),x=0.15);Maple check：第十八页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 19再用三重积分计算再用三重积分计算第十九页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 2
4、0如图建立坐标系。如图建立坐标系。圆锥面是直线圆锥面是直线 z=3y/2 绕绕 z 轴旋转而成的，其方程轴旋转而成的，其方程为：为：在水中在水中(x,y,z)处取体积处取体积元素元素 dv则功的元素：则功的元素：第二十页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 21抽水的功：抽水的功：转化为柱面坐标计算转化为柱面坐标计算注：如果用注：如果用“先二后一先二后一”积分积分法计算以上三重积分，则相当法计算以上三重积分，则相当于前面的定积分计算过程。于前面的定积分计算过程。第二十一页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012
5、四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 22Maple check：mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14:f:=(x,y,z)-mu*g*(15-z);Int(Int(Int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2.15),r=0.10),theta=0.2*PI)=int(int(int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2.15),r=0.10),theta=0.2*PI);第二十二页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 23 不能说用三重积分计算抽水的功一定就不能说用三重积分计算抽水的功一定就比定积分更方便，比定积分更方便，但是三重积分至少提供了计算抽水的但是三重积分至少提供了计算抽水的功的另一种一种思路。功的另一种一种思路。XUXZ,June 17,2012,Math of SCU第二十三页，讲稿共二十四页哦http:/ June 17,2012四川大学数学学院 徐小湛感谢大家观看第二十四页，讲稿共二十四页哦