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1、多项式与插值第1页，共60页，编辑于2022年，星期六 补充：补充：将多项式的数值形式转化为字符串或符号表达式的形式将多项式的数值形式转化为字符串或符号表达式的形式poly2str(p,s)将多项式将多项式p转化为以转化为以s为变量的字符串形式为变量的字符串形式poly2sym(p)将多项式将多项式p转化为符号表达式转化为符号表达式poly2sym(p,s)将将多项式多项式p转化为以转化为以s为变量的符号表达式为变量的符号表达式 p=2,5,0,4,1,4;A=poly2sym(p)B=poly2str(p,x)A=4+2 x5 +5 x 4+4 x 2+xB=2 x5+5 x4+4 x2+x
2、+4第2页，共60页，编辑于2022年，星期六2、用多项式的全部根用多项式的全部根X来生成来生成 poly(X)该函数返回以该函数返回以 X为全部根的一个多项式为全部根的一个多项式 P（首项系（首项系数为数为1），当），当 X是一个长度为是一个长度为m的向量时，的向量时，P是一个长度为是一个长度为 m+1的向量。的向量。3、用用polyfit 生成多项式的系数生成多项式的系数 给定给定 n+1个点可以唯一确定一个个点可以唯一确定一个 n 阶多项式阶多项式 调用格式为：调用格式为：p=polyfit(x,y,n)其中其中 x,y是同维向量，代表是同维向量，代表n+1个数据点的横、纵坐标，个数据点
3、的横、纵坐标，n 是多项式的阶数。是多项式的阶数。第3页，共60页，编辑于2022年，星期六二、二、多项式的运算多项式的运算1.、求根运算、求根运算 roots(P)P是多项式是多项式 p(x)的系数向量，该函数返回的系数向量，该函数返回 p(x)=0 的的全部根（含重根，复根）全部根（含重根，复根）2、求值运算、求值运算l polyval(P,x)求多项式求多项式 P在某点或某些点的函数值；在某点或某些点的函数值；若若x为一数值，则求多项式为一数值，则求多项式P在该点处的值；在该点处的值；若若x为向量或矩阵，则求多项式为向量或矩阵，则求多项式P在向量或矩阵中的每个元素处的在向量或矩阵中的每个
4、元素处的值值第4页，共60页，编辑于2022年，星期六u polyvalm(P,x)此处此处x 必须必须为方阵为方阵，它以方阵为自变量求，它以方阵为自变量求多项式多项式 P 的值的值第5页，共60页，编辑于2022年，星期六例例 已知一个多项式已知一个多项式 (1)计算计算f(x)=0 的全部根的全部根(2)由方程由方程f(x)=0的根构造一个多项式的根构造一个多项式 g(x)，并与，并与 f(x)进行对比进行对比(3)计算计算f(5)、f(7.8)、f(9.6)、f(12.3)的值的值 P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P)%求方程求方程f(x)=0的根的根 G=poly(
5、X)%求多项式求多项式g(x),与与f(x)的区别是首项系数为的区别是首项系数为1 X0=5,7.8,9.6,12.3;f=polyval(P,X0)%求多项式求多项式f(x)在给定点的值在给定点的值第6页，共60页，编辑于2022年，星期六3.多项式的四则运算多项式的四则运算(1)多项式的加减法多项式的加减法u当两多项式向量的大小相等，直接两向量相加（减）当两多项式向量的大小相等，直接两向量相加（减）u当两多项式次数不同时，低阶多项式必须用首当两多项式次数不同时，低阶多项式必须用首0填补，使其填补，使其与高阶多项式次数相同与高阶多项式次数相同 P1=2,5,0,4,1,4;P2=0,0,5,
6、1,3,2;P3=P1+P2;P=poly2str(P3,x)P=2 x5+5 x4+5 x3+5 x2+4 x+6第7页，共60页，编辑于2022年，星期六(2)多项式的乘法多项式的乘法 conv(P1,P2)求多项式求多项式P1和和P2的乘积的乘积(3)(3)多项式的除法多项式的除法 Q,r=deconv(P1,P2)求求P1/P2；其中其中Q为为多项式多项式P1除以除以P2的的商式商式，r为为P1除以除以P2的的余式余式。这里，。这里，Q和和r仍是多项式系数向量。仍是多项式系数向量。deconv是是conv的逆函数，即有的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r第8页，共60页，编辑于
7、2022年，星期六例：例：已知三个一次多项式的零点分别为已知三个一次多项式的零点分别为0.4、0.8、1.2，求三个，求三个一次多项式的乘积。一次多项式的乘积。法法1：X=0.4,0.8,1.2;c=poly(X),P=poly2sym(c)运行后的结果：运行后的结果：c=1.0000 -2.4000 1.7600 -0.3840P=x3-12/5*x2+44/25*x-48/125第9页，共60页，编辑于2022年，星期六法法2：P1=poly(0.4);P2=poly(0.8);P3=poly(1.2);c=conv(conv(P1,P2),P3),P=poly2sym(c)运行后的结果：
8、运行后的结果：c=1.0000 -2.4000 1.7600 -0.3840P=x3-12/5*x2+44/25*x-48/125第10页，共60页，编辑于2022年，星期六例例 设有两个多项式，计算：设有两个多项式，计算：(1)求求f(x)+g(x)、f(x)-g(x)。(2)求求f(x)g(x)、f(x)/g(x)。f=3,-5,2,-7,5,6;g=3,5,-3;g1=0,0,0,3,5,-3;f+g1%求求f(x)+g(x)f-g1%求求f(x)-g(x)conv(f,g)%求求f(x)*g(x)Q,r=deconv(f,g)%求求f(x)/g(x)，商式送，商式送Q，余式送，余式送r
9、。第11页，共60页，编辑于2022年，星期六4、多项式的微分与积分多项式的微分与积分（1）对多项式）对多项式求导数求导数：p=polyder(P)求多项式求多项式P的导函数的导函数 p=polyder(P,Q)求求P*Q的导函数的导函数 p,q=polyder(P,Q)求求P/Q的导函数，导函数的的导函数，导函数的 分子存入分子存入p，分母存入，分母存入q。（2）对多项式）对多项式求积分求积分：d=polyint(P)d是多项式是多项式P积分后的系数，但不包括积分后的系数，但不包括 积分积分常数常数第12页，共60页，编辑于2022年，星期六例例 求有理分式的导数求有理分式的导数P=3,5,
10、0,-8,1,-5;Q=10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100;p,q=polyder(P,Q)若求多项式若求多项式P的积分：的积分：c=polyint(P)第13页，共60页，编辑于2022年，星期六4.2 4.2 MATLAB插插值值常遇到，对于常遇到，对于y=f(x),它是存在的它是存在的，可并不知道它的具体函可并不知道它的具体函数表达式，只知道离散数据数表达式，只知道离散数据希望找到一个简单函数希望找到一个简单函数且满足且满足被插函数被插函数插值函数（常取多项式）插值函数（常取多项式）插插值值节节点点插值条件：插值条件：插值区间：插值区间：的余项或误差：的余项或误差：第1
11、4页，共60页，编辑于2022年，星期六若若找找到到 P(x)=a0+a1x+anxn，则则称称相相应应的的插插值值为为代代数数插插值（或多项式插值）值（或多项式插值）定理定理：若插值结点若插值结点x1,x2,xn+1 是是(n+1)个互异点，则满足插个互异点，则满足插值条件值条件 P(xk)=yk (k=0,1,n)的的n次插值多项式次插值多项式 P(x)=a0+a1x+anxn存在而且是唯一的存在而且是唯一的此定理表明：在此定理表明：在n+1个互异节点构造出来的个互异节点构造出来的n次多项式是唯次多项式是唯一的，也就是说，后面将要学到的幂级数插值多项式、一的，也就是说，后面将要学到的幂级数
12、插值多项式、lagrange插值多项式、牛顿插值多项式是恒等的插值多项式、牛顿插值多项式是恒等的第15页，共60页，编辑于2022年，星期六证明证明:由插值条件由插值条件P(x1)=y1P(x2)=y2P(xn+1)=yn+1系数行列式系数行列式 故方程组有唯一解故方程组有唯一解.从而插值多项式从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的存在而且是唯一的.第16页，共60页，编辑于2022年，星期六例例 已知误差函数在四个点处函数值已知误差函数在四个点处函数值 x 00.60001.20001.8000 Erf(x)00.60390.91030.9891构造构造3次多项式次多项式P(x)逼近逼近 E
13、rf(x)设设P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令令 P(xi)=Erf(xi)得得求解，得求解，得 a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以所以,P(x)=1.293 x 0.5099 x2+0.0538 x3第17页，共60页，编辑于2022年，星期六MATLAB计算程序计算程序:x=0:0.6:1.8;y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1)x x.2 x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:0.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u)
14、第18页，共60页，编辑于2022年，星期六一、线性插值一、线性插值(一次多项式插值）一次多项式插值）线性插值是两个数据点的直线拟合线性插值是两个数据点的直线拟合或或误差估计：误差估计：第19页，共60页，编辑于2022年，星期六 在在MATLAB中，命令中，命令 interp1可做线性插值，可做线性插值，yiinterp1(x,y,xi)其中：其中：x表示已知数据点表示已知数据点横坐标的横坐标的向量；向量；y表示已知数据点表示已知数据点纵坐标纵坐标的向的向量；量；xi为插值点的横坐标，输出的为插值点的横坐标，输出的yi为插值点的函数值为插值点的函数值第20页，共60页，编辑于2022年，星期
15、六例例 已知数据表如下，分别求已知数据表如下，分别求 x0.9，0.7，0.6，0.5 处处 y 的值。的值。xy0.912600.81090.250.69310.500.55960.750.40551.00 x=0.9126,0.8109,0.6931,0.5596,0.4055;y=0.0,0.25,0.5,0.75,1.0;xi=0.9,0.7,0.6,0.5;yi=interp1(x,y,xi,linear);xi,yians 0.9000 0.0310 0.7000 0.4854 0.6000 0.6743 0.5000 0.8467第21页，共60页，编辑于2022年，星期六另外，
16、另外，interp1命令有命令有5种可选参数种可选参数yi=interp1(x,y,xi,linear)线性插值（缺省）线性插值（缺省）yi=interp1(x,y,xi,nearst)最近邻点插值最近邻点插值yi=interp1(x,y,xi,pchip)分段三次分段三次Hermite插值插值yi=interp1(x,y,xi,cubic)同上同上yi=interp1(x,y,xi,spline)分段三次样条插值（建议使分段三次样条插值（建议使用三次样条插值）用三次样条插值）若已知的数据点若已知的数据点x是等距节点，插值速度可提高，此时，填写最是等距节点，插值速度可提高，此时，填写最后一个插
17、值方法时，以星号引导，即为后一个插值方法时，以星号引导，即为*linear,*spline,*cubic,*pchip ,*nearst 第22页，共60页，编辑于2022年，星期六例：假设已知的数据点来自函数例：假设已知的数据点来自函数试根据生成的数据进行插值试根据生成的数据进行插值,得到较光滑的曲线得到较光滑的曲线解：解：x=0:0.12:1;y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);plot(x,y,-o)第23页，共60页，编辑于2022年，星期六可看出，由这样的数据直接连线绘制出来的曲线十分粗可看出，由这样的数据直接连线绘制出来的曲线十分粗糙，可再选择一组插值
18、点，然后用糙，可再选择一组插值点，然后用interp1插值插值第24页，共60页，编辑于2022年，星期六x=0:0.12:1;y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);x0=0:0.02:1;y0=(x0.2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0);y01=interp1(x,y,x0);y02=interp1(x,y,x0,cubic);y03=interp1(x,y,x0,spline);y04=interp1(x,y,x0,nearest);plot(x,y,mo,x0,y0,k,x0,y01,r:,x0,y02,g:,.x0,y02,g:,x
19、0,y03,m:,x0,y04,b:)第25页，共60页，编辑于2022年，星期六 interp1默认的默认的linear插值得到的曲线和插值得到的曲线和plot画出来的曲线一样画出来的曲线一样粗糙粗糙,而而nearest选项得到的插值效果就更差了。选项得到的插值效果就更差了。而采用而采用cubic和和spline选项得到的插值更接近与理论值选项得到的插值更接近与理论值.第26页，共60页，编辑于2022年，星期六 可看出：可看出：interp1默认的线性插值得到的曲线和默认的线性插值得到的曲线和plot画出来的曲线画出来的曲线 一样粗糙，因为该方法是对各个点直线连接。一样粗糙，因为该方法是对
20、各个点直线连接。而而nearest选项得到的插值效果就更差了。选项得到的插值效果就更差了。而采用而采用cubic和和spline选项得到的插值更接近与理选项得到的插值更接近与理论值。论值。事实上，采用样条插值算法得到的插值十分逼近理论事实上，采用样条插值算法得到的插值十分逼近理论值，甚至用肉眼难以分辨。值，甚至用肉眼难以分辨。第27页，共60页，编辑于2022年，星期六二、用幂级数做多项式插值二、用幂级数做多项式插值给定给定 n+1 个数据点：个数据点：过过 n+1个点的个点的 n 阶多项式可写为幂级数形式：阶多项式可写为幂级数形式：注：过注：过 n1 1个数据点的个数据点的 n 阶插值多项式
21、是唯一的。阶插值多项式是唯一的。第28页，共60页，编辑于2022年，星期六 对对 n1个数据点，设个数据点，设 ，则得到，则得到 n+1个线性方程，可以表示为矩阵形式个线性方程，可以表示为矩阵形式求解该方程组可确定系数（或用求解该方程组可确定系数（或用 polyfit(x,y,n)确定）确定）第29页，共60页，编辑于2022年，星期六例例 求用下列数据点拟合出的多项式的系数，并求当求用下列数据点拟合出的多项式的系数，并求当x取取2.101、4.234时时 y 的值，并画出已知数据点和拟合曲线。的值，并画出已知数据点和拟合曲线。clear,clf,hold offx=1.1,2.3,3.9,
22、5.1;y=3.887,4.276,4.651,2.117;n=length(x)-1;c=polyfit(x,y,n);xi=2.101,4.234;yi=polyval(c,xi)plot(x,y,ro)hold onxp=1.1:0.05:5.1;yp=polyval(c,xp);pauseplot(xp,yp)yi=4.1457 4.3007第30页，共60页，编辑于2022年，星期六第31页，共60页，编辑于2022年，星期六三、三、Lagrange插值多项式插值多项式1、给定给定 n+1 个数据点：个数据点：插值基函数：插值基函数：满足插值条件：满足插值条件：的次数不超过的次数不超
23、过n的的lagrange多项式多项式 g(x)为：为：第32页，共60页，编辑于2022年，星期六function y=lagrange1(x0,y0,x)np=length(x0);y=zeros(size(x);for i=1:np z=ones(size(x);for j=1:np if j=i z=z.*(x-x0(j)/(x0(i)-x0(j);end end y=y+y0(i)*zend 2 2、MATLAB程程序（法序（法1 1）:调用格式：调用格式：y=lagrange1(x0,y0,x)第33页，共60页，编辑于2022年，星期六clearx0=1.1,2.3,3.9,5.1
24、;y0=3.887,4.276,4.651,2.117;x=2.101,4.234;y=lagrange1(x0,y0,x)例：写出拟合下面四个数据点的例：写出拟合下面四个数据点的Lagrange插值公式，并插值公式，并计算计算 x2.101、4.234时时 y 的值。的值。x0y01.13.8872.34.2763.94.6515.12.117结果为结果为 y=4.1457 4.3007第34页，共60页，编辑于2022年，星期六由于由于lagrange插值基函数插值基函数li(x)在节点在节点xk(k=1,2,n)处满足处满足又由于过又由于过 n+1个数据点的个数据点的 n 次插值多项式是
25、唯一的次插值多项式是唯一的,故故li(x)也可看做是拟合下列数据点的也可看做是拟合下列数据点的n次多项式次多项式可编写程序求出可编写程序求出 2 2、MATLAB程程序实现（法序实现（法2 2）:进而求出进而求出lagrange插值公式插值公式第35页，共60页，编辑于2022年，星期六function p=lag_base(x)np=length(x);for j=1:np y=zeros(1,np);y(j)=1;p(j,:)=polyfit(x,y,np-1);end其调用格式为：其调用格式为：p=lag_base(x)其中其中:x 是数据点的横坐标数组，是数据点的横坐标数组，p 是一个
26、矩阵，它的第是一个矩阵，它的第 i 行行为为li(x)的幂系数。的幂系数。先编写程序求出先编写程序求出第36页，共60页，编辑于2022年，星期六如前例也可求解如下如前例也可求解如下：x=1.1,2.3,3.9,5.1;y=3.887,4.276,4.651,2.117;xi=2.101,4.234;p=lag_base(x);np=length(x);s=0;for i=1:np s=s+p(i,:).*y(i);endsyi=polyval(s,xi)结果为：结果为：yi 4.1457 4.3007第37页，共60页，编辑于2022年，星期六3、Lagrange 插值公式的微分插值公式的微
27、分插值公式插值公式微分微分为计算为计算Lagrange插值多项式的一阶导数，可用插值多项式的一阶导数，可用polyder函数将函数将 p 的每一行转换为一阶导数的系数数组。的每一行转换为一阶导数的系数数组。第38页，共60页，编辑于2022年，星期六例：求出拟合下面四个数据点的例：求出拟合下面四个数据点的Lagrange插值多项式在插值多项式在x2.101、4.234处的一阶导数值。处的一阶导数值。x0y01.13.8872.34.2763.94.6515.12.117x=1.1,2.3,3.9,5.1;y=3.887,4.276,4.651,2.117;xi=2.101,4.234;np=l
28、ength(x);p=lag_base(x);s=0;for i=1:np s=s+polyder(p(i,:).*y(i);endyi=polyval(s,xi)结果为：结果为：yi 0.6292 -1.4004第39页，共60页，编辑于2022年，星期六例例 考虑一个著名的例子考虑一个著名的例子假设已知其中一些点的坐标，则可以采用下面的命令进行假设已知其中一些点的坐标，则可以采用下面的命令进行Lagrange插值，得出相应的插值曲线插值，得出相应的插值曲线x0=-1:0.2:1;y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:0.01:1;y=lagrange1(x0,y0,x);ya=1.
29、/(1+25*x.2);plot(x,y,b:p,x,ya,r)4、Runge现象现象第40页，共60页，编辑于2022年，星期六可看到：由可看到：由lagrange插值得出的效果和精确值相差甚远，这插值得出的效果和精确值相差甚远，这种多项式阶次越高越发散的现象称为种多项式阶次越高越发散的现象称为Runge现象现象所以对此例来说，传统的所以对此例来说，传统的lagrange算法失效算法失效第41页，共60页，编辑于2022年，星期六下面考虑用下面考虑用interp1来解决此问题来解决此问题x0=-1:0.2:1;y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:0.01:1;ya=1./(1+25
30、*x.2);y1=interp1(x0,y0,x,cubic);y2=interp1(x0,y0,x,spline);plot(x,ya,x,y1,:,x,y2,-)第42页，共60页，编辑于2022年，星期六interp1函数效果函数效果可见：可见：Matlab中提供的算法不存在中提供的算法不存在Runge现象，可大胆现象，可大胆放心使用放心使用第43页，共60页，编辑于2022年，星期六总结：总结：（1）尽可能在小区间上使用多项式插值；）尽可能在小区间上使用多项式插值；（2）只能在一定范围内依靠增加插值点个数提高插）只能在一定范围内依靠增加插值点个数提高插值精度，如果插值点个数过多往往会适
31、得其反。值精度，如果插值点个数过多往往会适得其反。第44页，共60页，编辑于2022年，星期六定义定义 :若已知函数若已知函数 f(x)在点在点 x1,x2,xn+1 处的值处的值 f(x1),f(x2),f(xn+1),如果如果 i j,则则n阶均差阶均差(j=1,2,n)一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差(j=1,2,n-1)四、牛顿插值（均差插值）四、牛顿插值（均差插值）第45页，共60页，编辑于2022年，星期六x-2-1013y-56-16-2-24例例 由函数表求由函数表求 各阶均差各阶均差解解:按公式计算各阶差商如下按公式计算各阶差商如下xf(x)一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 四阶
32、四阶 差商差商 差商差商 差商差商 差商差商-2-56-1-16 400-2 14-131-2 0-7 23 4 3 1 2 0第46页，共60页，编辑于2022年，星期六程序：程序：x=-2-1 0 1 3;y=-56-16-2-2 4;n=length(x);A=zeros(n,n);A(:,1)=y;for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(x(i)-x(i-j+1);endend A -56 0 0 0 0 -16 40 0 0 0 -2 14 -13 0 0 -2 0 -7 2 0 4 3 1 2 0第47页，共60页，编辑于2
33、022年，星期六有了均差，就能得到牛顿插值公式（均差插值公式）：有了均差，就能得到牛顿插值公式（均差插值公式）：第48页，共60页，编辑于2022年，星期六以以3阶均差插值公式为例，改写形式阶均差插值公式为例，改写形式第49页，共60页，编辑于2022年，星期六function A,C,N=newton_poly(x,y)%x为已知点的横坐标，为已知点的横坐标，y为已知点的纵坐标为已知点的纵坐标%A为均差矩阵，为均差矩阵，C为牛顿插值多项式的系数向量为牛顿插值多项式的系数向量%N为牛顿插值多项式为牛顿插值多项式%先产生均差矩阵先产生均差矩阵A n=length(x);A=zeros(n,n);
34、A(:,1)=y;for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(x(i)-x(i-j+1);endend牛顿插值的牛顿插值的Matlab算法：算法：第50页，共60页，编辑于2022年，星期六%下面求牛顿插值多项式系数向量下面求牛顿插值多项式系数向量CC=A(n,n);for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(x(k);d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);end%最后求牛顿插值多项式最后求牛顿插值多项式NN=poly2sym(C);第51页，共60页，编辑于2022年，星期六例：给出节点例：给出节点x
35、=-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.25，y=17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05，作五阶牛顿插值多项，作五阶牛顿插值多项式和差商式和差商。x=-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.25;y=17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05;A,C,N=newton_poly(x,y)第52页，共60页，编辑于2022年，星期六结果：结果：A=17.0300 0 0 0 0 0 7.2400 -8.5130 0 0 0 0 1.0500 -6.1287 1.1039 0 0 0 2.0300 0.9703
36、3.5144 0.7604 0 0 17.0600 14.8812 6.8866 1.1129 0.0843 0 23.0500 4.9098 -4.4715 -3.5056 -1.0867 -0.2169C=-0.2169 0.0648 2.1076 3.3960 -4.5745 1.0954 N=-0.21686 x5+0.06482 x4+2.1076 x3+3.396 x2-4.5745 x +1.0954第53页，共60页，编辑于2022年，星期六五、三次五、三次Hermite插值插值已知已知构造构造满足满足即拟合两点函数值和导数值。即拟合两点函数值和导数值。求解求解即可即可第54页
37、，共60页，编辑于2022年，星期六六六、分段插值、分段插值问题：问题：结点增多，多项式次数增高，逼近精度越结点增多，多项式次数增高，逼近精度越 好？未必！多结点高次插值往往在局部误好？未必！多结点高次插值往往在局部误 差更大差更大Runge（龙格）现象。（龙格）现象。实用：实用：采用分段低次插值采用分段低次插值 有分段线性，分段二次插值，分段三次插值等有分段线性，分段二次插值，分段三次插值等 分段插值法可以克服在大范围内使用高次插值带来的误差放分段插值法可以克服在大范围内使用高次插值带来的误差放大的问题。大的问题。所谓的分段插值法就是首先在插值区间所谓的分段插值法就是首先在插值区间a,ba,
38、b上插入节上插入节点点 ，然后在每个小的子区间，然后在每个小的子区间xi-xi-1,xi1,xi上构造低次插值多项式。再将每个子区间上的多项式连接，上构造低次插值多项式。再将每个子区间上的多项式连接，作为插值区间的插值函数。作为插值区间的插值函数。第55页，共60页，编辑于2022年，星期六如：如：分段线性插值：区间分段线性插值：区间a,ba,b上的分段线性插值函数为上的分段线性插值函数为第56页，共60页，编辑于2022年，星期六缺点：缺点：分段线性插值只能保证曲线的连续性，分段线性插值只能保证曲线的连续性，不能保证曲不能保证曲线在连接点处的光滑性。线在连接点处的光滑性。Hermite 插值
39、虽然在连接点处一阶光滑，但整体插值插值虽然在连接点处一阶光滑，但整体插值由于结点多次数高而有可能发生龙格现象。由于结点多次数高而有可能发生龙格现象。若用分段三次若用分段三次HermiteHermite插值，节点处一阶导数连续光插值，节点处一阶导数连续光滑，但在曲线的凹凸性变化比较大的地方，误差较大。滑，但在曲线的凹凸性变化比较大的地方，误差较大。希望：希望：既想分段插值，又想在结点处保持光滑，甚至二阶光滑既想分段插值，又想在结点处保持光滑，甚至二阶光滑三次样条。三次样条。第57页，共60页，编辑于2022年，星期六定义定义：设有：设有 n+1+1个点的点列个点的点列若函数若函数 满足：满足：(
40、3)(3)在整个区间在整个区间 内具有二阶连续导数。内具有二阶连续导数。(2)(2)在每个小区间在每个小区间 上是三次多项式；上是三次多项式；(1)(1)-此时此时 叫插值函数；叫插值函数；则称则称 为点列的为点列的三次样条插值函数三次样条插值函数或或三次样条多三次样条多 项式项式，简称，简称三次样条三次样条。七、样条插值七、样条插值第58页，共60页，编辑于2022年，星期六 定义中的一阶导数连续意味着曲线没有急弯，二阶导数连续意味着曲线每一点的曲率半径有意义。第59页，共60页，编辑于2022年，星期六总结：前面全都是一维插值，用总结：前面全都是一维插值，用interp1interp1就可完成就可完成若做二维插值，用若做二维插值，用interp2interp2就可完成就可完成若做三维插值，用若做三维插值，用interp3interp3就可完成就可完成第60页，共60页，编辑于2022年，星期六