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1、第四讲流体力学第1页，本讲稿共22页3）公式）公式作业作业14 证明公式：证明公式：第2页，本讲稿共22页1.9 张量张量1 定义：定义：1）不同坐标间的关系）不同坐标间的关系2）性质）性质新坐标新坐标原坐标原坐标3）不同坐标系中的矢量）不同坐标系中的矢量4）张量的定义）张量的定义第3页，本讲稿共22页5）推广）推广2 代数运算：代数运算：第4页，本讲稿共22页 张量的代数运算张量的代数运算a)张量的加减张量的加减证明证明T也是也是 n 阶张量：阶张量：此处此处j是自由下标是自由下标第5页，本讲稿共22页b)张量的乘积张量的乘积证明证明T是是 m+n 阶张量：阶张量：例：例：第6页，本讲稿共2
2、2页c)张量的收缩张量的收缩证明证明Q是是 n-2 阶张量：阶张量：例：例：第7页，本讲稿共22页 张量识别定理张量识别定理a)定理定理1证明证明P也是也是 m+n 阶张量：阶张量：m阶张量阶张量n阶张量阶张量例：例：第8页，本讲稿共22页b)定理定理2证明证明P也是也是 m 阶张量：阶张量：m+n阶张量阶张量n阶张量阶张量标量标量m阶张量阶张量第9页，本讲稿共22页1.10 二阶张量的性质二阶张量的性质 主值、主轴、不变量主值、主轴、不变量a)张量的主值、主轴张量的主值、主轴主值和主轴的求解：主值和主轴的求解：第10页，本讲稿共22页三次方程根与系数的关系：三次方程根与系数的关系：b)二阶张
3、量的不变量：二阶张量的不变量：第11页，本讲稿共22页 共轭张量、对称张量、反对称张量共轭张量、对称张量、反对称张量a)共轭张量共轭张量证明证明Pc也是二也是二 阶张量：阶张量：b)对称张量对称张量symmetry conjugate证明对称张量证明对称张量pij在任意坐标系中也是对称张量：在任意坐标系中也是对称张量：第12页，本讲稿共22页c)反对称张量反对称张量因为反对称张因为反对称张量的分量中只量的分量中只有三个不同的有三个不同的值，所以可以值，所以可以联想到矢量的联想到矢量的三个分量。三个分量。证明反对称张量证明反对称张量pij在任意坐标系中也是反对称张量：在任意坐标系中也是反对称张量
4、：反对称张量也可以写成：反对称张量也可以写成：反对称张量的性质：反对称张量的性质：)第13页，本讲稿共22页反对称张量的性质：反对称张量的性质：)第14页，本讲稿共22页证明：证明：d)张量分解定理张量分解定理P的共轭张量的共轭张量任意二阶任意二阶 张量：张量：对称对称 张量：张量：反对称反对称 张量：张量：唯一性：设唯一性：设则则所以所以第15页，本讲稿共22页 速度分解定理速度分解定理由张量识别定理由张量识别定理1可知，某量乘以矢量为矢量，则某量：可知，某量乘以矢量为矢量，则某量：是二阶张量是二阶张量a)张量张量b)分解分解由张量分解定理：由张量分解定理：定义对称张量：定义对称张量：为变形
5、率张量为变形率张量第16页，本讲稿共22页记反对称张量：记反对称张量：)而而:第17页，本讲稿共22页证明反对称张量证明反对称张量A的性质：的性质：)左式：左式：右式：右式：E为三阶张量，为三阶张量，A为二阶张量，相为二阶张量，相乘后为五阶张量，收缩二次后为乘后为五阶张量，收缩二次后为矢量。矢量。此此处处，j和和i都都是是求求和和下下标标，所所以以可可以以将将j改改写写成成i，将将i改改写写成成j，与前一项合并。，与前一项合并。第18页，本讲稿共22页于是：于是：所以：所以：于是：于是：其中：其中：流体的运动可以分解成平动、变形、旋转流体的运动可以分解成平动、变形、旋转第19页，本讲稿共22页 变形速度张量变形速度张量 S例：例：dxABt时刻dxABzyxABAB第20页，本讲稿共22页例：例：ABABzyx第21页，本讲稿共22页例：例：第22页，本讲稿共22页