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1、第七章整理第1页，本讲稿共37页一、系统函数的零、极点分布图一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量系统的系统函数是复变量s或或z的有理分式，即的有理分式，即A(.)=0的根的根p1，p2，pn称为系统函数称为系统函数H(.)的极点；的极点；B(.)=0的根的根 1，2，m称为系统函数称为系统函数H(.)的零点。的零点。将零极点画在复平面上将零极点画在复平面上得得零、极点分布图零、极点分布图。例例第2页，本讲稿共37页例：例：已知已知H(s)的零、极点分布图如图示，并且的零、极点分布图如图示，并且h(0+)=2。求。求H(s)的表达式。的表达式。解：由分布图可得解：由分布图可得
2、根据初值定理，有根据初值定理，有第3页，本讲稿共37页二、系统函数二、系统函数H()与系统的因果性与系统的因果性因果系统因果系统是指，系统的零状态响应是指，系统的零状态响应yzs(.)不会出现于不会出现于f(.)之前的系统。之前的系统。连续因果系统连续因果系统的充分必要条件是：的充分必要条件是：冲激响应冲激响应h(t)=0,t0离散因果系统离散因果系统的充分必要条件是：的充分必要条件是：单位响应单位响应h(k)=0,k0第4页，本讲稿共37页三、系统函数三、系统函数H()与时域响应与时域响应h()冲激响应或单位序列响应的函数形式由冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。的极点确定
3、。下面讨论下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。所讨论系统均为因果系统。1连续因果系统连续因果系统H(s)按其按其极点极点在在s平面上的位置可分为平面上的位置可分为:在左半开平面、在左半开平面、虚轴和右半开平面虚轴和右半开平面三类。三类。（1）在左半平面）在左半平面(a)若系统函数有若系统函数有负实单极点负实单极点p=(0)，则，则A(s)中有因子中有因子(s+)，其所对应的响应函数为，其所对应的响应函数为Ke-t(t)第5页，本讲稿共37页(b)若有一对若有一对共轭复极点共轭复极点p12=-j，则，则A(s)中有因子中有因
4、子(s+)2+2Ke-tcos(t+)(t)(c)若有若有r重极点重极点，则则A(s)中有因子中有因子(s+)r或或(s+)2+2r，其响应为，其响应为Kitie-t(t)或或Kitie-tcos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)以上三种情况：当以上三种情况：当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。暂态分量。暂态分量。（2）在虚轴上）在虚轴上(a)单极点单极点p=0或或p12=j，则响应为则响应为K(t)或或Kcos(t+)(t)-稳态分量稳态分量(b)r重极点重极点，相应，相应A(s)中有中有sr或或(s2+2)r，其响应函数为，其响应函数为Kiti(t)或或Kiticos(t+)(t)(
5、i=0,1,2,r-1)递增函数递增函数（3）在右半开平面在右半开平面：均为递增函数。均为递增函数。第6页，本讲稿共37页结论结论LTI连续因果系统的连续因果系统的h(t)的函数形式由的函数形式由H(s)的极点确定。的极点确定。H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。对应的响应函数都是递
6、增的。即当即当t时，响应均趋于时，响应均趋于。第7页，本讲稿共37页2离散因果系统离散因果系统H(z)按其极点在按其极点在z平面上的位置可分为平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外圆上和在单位圆外三类。三类。根据根据z平面与平面与s平面的影射关系，得结论平面的影射关系，得结论：H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k时，响应均趋于时，响应均趋于0。H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所
7、对在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当应的响应序列都是递增的。即当k时，响应均趋于时，响应均趋于。第8页，本讲稿共37页四、系统函数与频率响应四、系统函数与频率响应 1.连续系统连续系统 若系统函数若系统函数H(s)的收敛域包含虚轴（对于因果系统，的收敛域包含虚轴（对于因果系统，H(s)的的极点均在左半平面）极点均在左半平面），则系统存在频率响应，频率响应与系统，则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为函数之间的关系为H(j)=H(s)|s=j下面介绍两种常见的系统。下面介绍两种常见的系统。(1)全通函数全通函数(all-passfunction)
8、若系统的幅频响应若系统的幅频响应|H(j)|为常数，则称为为常数，则称为全通系统全通系统，其相，其相应的应的H(s)称为称为全通函数全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为即为全通函数全通函数。第9页，本讲稿共37页(2)最小相移函数最小相移函数(minimumphase/最小相位）最小相位）对于具有相同幅频特性的系统函数而言，右半开对于具有相同幅频特性的系统函数而言，右半开平面没有零点的系统函数称为平面没有零点的系统函数称为最小相移函数
9、最小相移函数。2.离散系统离散系统 若系统函数若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆的收敛域包含单位圆(对于因果系统，对于因果系统，H(z)的极点均在单位圆内的极点均在单位圆内)，则系统存在频率响应，频率，则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为响应与系统函数之间的关系为H(ej)=H(z)|z=ej，式中式中=Ts，为角频率，为角频率，Ts为取样周期。为取样周期。第10页，本讲稿共37页举例例例：某离散系统的系统函数：某离散系统的系统函数(1)若系统为因果系统，求单位序列响应若系统为因果系统，求单位序列响应h(k);(2)若系统为反因果系统，求单位序列响应若系统为反因果系统，求单位序
10、列响应h(k);(3)若系统存在频率响应，求单位序列响应若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);解解(1)|z|3，h(k)=(-0.5)k+(3)k(k)(2)|z|0.5，h(k)=-(-0.5)k-(3)k(-k-1)(3)0.5|z|2，所以，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不稳定。，不稳定。(2)若为稳定系统，故收敛域为若为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2，所以，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1)第15页，本讲稿共37页例例2：如图离散因果系统框图：如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求，为使系统稳定，求常量常量a的取值范围的取
11、值范围解解：设：设加法器输出信号加法器输出信号X(z)X(z)z-1X(z)X(z)=F(z)+z-1aX(z)Y(z)=(2+z-1)X(z)=(2+z-1)/(1-az-1)F(z)H(z)=(2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)为使系统稳定，为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，的极点必须在单位园内，故故|a|1第16页，本讲稿共37页二、连续因果系统稳定性判断准则二、连续因果系统稳定性判断准则罗斯罗斯-霍尔维兹准则霍尔维兹准则(Routh-Hurwitzscriterion)对因果系统，只要判断对因果系统，只要判断H(s)的极点，即的极点，即A(s)=0的根的
12、根(称为系称为系统特征根统特征根)是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。道极点的确切值。所有根均在左半平面的多项式为霍尔维兹所有根均在左半平面的多项式为霍尔维兹(Hurwitz)多项式。多项式。1 1、必要条件、必要条件简单方法简单方法 一实系数多项式一实系数多项式A(s)=ansn+a0=0的所有根位于的所有根位于左半开平面左半开平面的必要条件的必要条件是是:(1)所有系数都必须非所有系数都必须非0，即不缺项；，即不缺项；(2)系数的系数的符号相同。符号相同。例例1A(s)=s3+4s2-3s+2符号相异，不稳定符号相
13、异，不稳定例例2A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不稳定，不稳定例例3A(s)=3s3+s2+2s+8需进一步判断，非充分条件。需进一步判断，非充分条件。第17页，本讲稿共37页2.罗斯罗斯(劳斯劳斯Routh)列表列表将多项式将多项式A(s)的系数排列为如下阵列的系数排列为如下阵列罗斯阵列罗斯阵列第第1行行anan-2an-4第第2行行an-1an-3an-5第第3行行cn-1cn-3cn-5它由第它由第1，2行，按下列规则计算得到：行，按下列规则计算得到：第第4行由行由2，3行同样方法得到。一直排到第行同样方法得到。一直排到第n+1行。行。罗斯准则指出：罗斯准则指出：若若第一列元素具有
14、相同的符号第一列元素具有相同的符号，则，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。第18页，本讲稿共37页例例2已知某因果系统函数已知某因果系统函数为使系统稳定，为使系统稳定，k应满足什么条件？应满足什么条件？解解列罗斯阵列列罗斯阵列1331+k(8-k)/31+k所以，所以，1k0，不难得出，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：为霍尔维兹多项式的条件为：a10，a00第19页，本讲稿共37页举例例例1A(s)=2s4+s3+12s2+
15、8s+2罗斯阵列：罗斯阵列：212218028.502第第1列元素符号改变列元素符号改变2次，因此，有次，因此，有2个根位于右半平面。个根位于右半平面。注意：在排罗斯阵列时，注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为如第一列的某个元素为0或某一行元素全为或某一行元素全为0，这，这时可断言：该多项式不时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。是霍尔维兹多项式。第20页，本讲稿共37页三、离散因果系统稳定性判断准则三、离散因果系统稳定性判断准则朱里准则朱里准则(Jurycriterion)为判断离散因果系统的稳定性，要判断为判断离散因果系统的稳定性，要判断A
16、(z)=0的所有根的所有根的绝对值是否都小于的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称。朱里提出一种列表的检验方法，称为为朱里准则朱里准则。朱里列表：朱里列表：第第1行行anan-1an-2a2a1a0第第2行行a0a1a2an-2an-1an第第3行行cn-1cn-2cn-3c1c0第第4行行c0c1c2cn-2cn-1第第5行行dn-2dn-3dn-4d0第第6行行d0d1d2dn-2第第2n-3行行r2r1r0第21页，本讲稿共37页第第3行按下列规则计算：行按下列规则计算：一直到第一直到第2n-3行，该行有行，该行有3个元素。个元素。朱里准则朱里准则指出：指出：A(z)=0的
17、所有根都在单位圆内的充分必要的条件是的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:(1)A(1)0(2)(-1)nA(-1)0(3)an|a0|cn-1|c0|dn-2|d0|r2|r0|即，奇数行，其第即，奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：特例：对二阶系统。对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得易得A(1)0A(-1)0a2|a0|第22页，本讲稿共37页举例例例A(z)=4z4-4z3+2z-1解解排朱里列表排朱里列表4-402-1-120-4415-140440-1415209-21056A(1)=10(-1)4A(-1)=50
18、41，154，20956所以系统稳定。所以系统稳定。第23页，本讲稿共37页7.3 信号流图信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图信号流图是用有是用有向的线图向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便述系统比方框图更加简便。信号流图首先由。信号流图首先由Mason于于1953年提出的，应用非常广泛。年提出的，应用非常广泛。信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。本质是一样的，但简便多了。第24页，本讲稿共
19、37页一、信号流图一、信号流图(signalflowdiagram)1.定义：定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。系统的表示，并便于计算系统函数。2.信号流图中常用术语信号流图中常用术语(1)结点结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为连接两个结点之间的有向线段称为支路支路。每条支路上的权值每条支路上的权值(支路增益支路增益)就是该两结点间的就是该两结点间的系统函数系统函数(转转
20、移函数移函数)。F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统。即用一条有向线段表示一个子系统。第25页，本讲稿共37页(3)源点与汇点，混合结点源点与汇点，混合结点仅有出支路的结点称为仅有出支路的结点称为源点源点(或或输入结点输入结点)。仅有入支路的结点称为仅有入支路的结点称为汇点汇点(或或输出结点输出结点)。有入有出的结点为有入有出的结点为混合结点混合结点沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路开通路。闭合的路径称为闭合的路径称为闭通路闭通路(回路
21、、环回路、环)。相互没有公共结点的回路，称为相互没有公共结点的回路，称为不接触回路不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路称为只有一个结点和一条支路的回路称为自回路自回路。(4)通路、开通路、闭通路通路、开通路、闭通路(回路、环回路、环)、不接触回路、自回路：、不接触回路、自回路：(5)前向通路：前向通路：从源点到汇点的开通路称为从源点到汇点的开通路称为前向通路。前向通路。(6)前向通路增益，回路增益：前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘积通路中各支路增益的乘积第26页，本讲稿共37页3.信号流图的基本性质信号流图的基本性质(1)信号只能沿支路箭头方向传输。信号只能沿支路箭头方向传输。
22、支路的输出支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积该支路的输入与支路增益的乘积。(2)当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。支路。如：如：x4=ax1+bx2+cx3x5=dx4x6=ex4(3)混合结点可通过增加一个增益为混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变为汇点。的出支路而变为汇点。第27页，本讲稿共37页4.方框图方框图流图流图注意：加法器前引入增益为注意：加法器前引入增益为1的支路的支路例例第28页，本讲稿共37页5.流图简化的基本规
23、则：流图简化的基本规则：(1)支路串联：支路串联：支路增益相乘。支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1(2)支路并联：支路并联：支路增益相加。支路增益相加。X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X1第29页，本讲稿共37页(3)混联：混联：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X2第30页，本讲稿共37页(4)自环的消除：自环的消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3所有来向支路除所有来向支路除1H3第31页，本讲稿共37页例：例：化简下列流图。化简下列流图。注意化简具体过程可能不同，但最终注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。结果一定相同。解：解：消
24、消x3消消x2消消x4消自环消自环第32页，本讲稿共37页二、梅森公式二、梅森公式上述化简求上述化简求H复杂。利用复杂。利用Mason公式方便。公式方便。系统函数系统函数H(.)记为记为H。梅森公式梅森公式为：为：称为信号流图的特征称为信号流图的特征行列式行列式为所有不同回路的增益之和；为所有不同回路的增益之和；为所有两两不接触回路的增益乘积之和；为所有两两不接触回路的增益乘积之和；为所有三三不接触回路的增益乘积之和；为所有三三不接触回路的增益乘积之和；i表示由源点到汇点的第表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号条前向通路的标号Pi是由源点到汇点的第是由源点到汇点的第i条前向通路增益；条前向通
25、路增益；i称为第称为第i条前向通路特征行列式的余因子条前向通路特征行列式的余因子。消去接触回路消去接触回路第33页，本讲稿共37页例例求下列信号流图的系统函数求下列信号流图的系统函数解解(1)首先找出所有回路首先找出所有回路：L1=H3GL2=2H1H2H3H5L3=H1H4H5(2)求特征行列式求特征行列式=1-（H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5）+H3GH1H4H5(4)求各前向通路的余因子求各前向通路的余因子：1=1，2=1-GH3(3)然后找出所有的前向通路然后找出所有的前向通路：p1=2H1H2H3p2=H1H4框图也可用梅森公式求系统函数。框图也可用梅森公式求系统函数。第3
26、4页，本讲稿共37页7.4 系统的结构系统的结构Mason公式是由流图公式是由流图H(s)或或H(z)下面讨论，由下面讨论，由H(s)或或H(z)流图或方框图流图或方框图一、直接实现一、直接实现-利用利用Mason公式来实现公式来实现例例分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1之外，其余每之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。触。所有回路均相接触所有回路均相接触。第35页，本讲稿共37页二、级联实现二、级联实现将将H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即数的乘积，即H=H1H2Hn一、二阶子系统函数一、二阶子系统函数三、并联实现三、并联实现将将H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。们并联起来。第36页，本讲稿共37页举例H(s)=第37页，本讲稿共37页