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1、第三章静态电磁场及第1页，本讲稿共106页3.1.1 静电场的基本方程和边界条件3.1.2 电位函数3.1.3 导体系统的电容3.1.4 静电场的能量3.1.5 静电力第2页，本讲稿共106页3.1.1 静电场的基本方程 关系式关系式 称为真空的电特性方程或本构关系称为真空的电特性方程或本构关系 静电场的源变量是电荷静电场的源变量是电荷 第第2 2章中已由库仑定律引入了电荷章中已由库仑定律引入了电荷 产生的电场强度产生的电场强度 任意电荷分布产生的电场强度任意电荷分布产生的电场强度 定义任意电荷分布产生的电位移矢量定义任意电荷分布产生的电位移矢量 第3页，本讲稿共106页表示闭合曲面S 对点电
2、荷所在点张的立体角对任意闭合曲面对任意闭合曲面S 积分积分一、电场的散度一、电场的散度设空间存在一点电荷 ，则 点的电位移所以在闭合面内在闭合面外若闭合面内有若闭合面内有N 个点电荷个点电荷若闭合面内的电荷分布为真空中的高斯定律散度定理于是电场的散度方程于是电场的散度方程（高斯定理的微分形式）第4页，本讲稿共106页二、电场的旋度真空中电场的基本方程真空中电场的基本方程在点电荷 的电场中，任取一条曲线 ，积分当积分路径是闭合曲线，当积分路径是闭合曲线，A、B 两点重合，得两点重合，得斯托克斯定理第5页，本讲稿共106页当当 补充例题 电荷按体密度 分布于半径为a 的球形区域内，其中 为常数。试
3、计算球内外的电位移矢量。解解:电场具有球对称性，电场具有球对称性，于是于是于是于是第6页，本讲稿共106页2.边界条件第7页，本讲稿共106页直角坐标系3.1.2 电位函数1.电位和电位差由由，称为静电场的标量位函数，又称电位函数 由此可求得电位的微分由此可求得电位的微分在任意方向上的分量 空间空间A、B 两点的电位差两点的电位差 若选取若选取 为电位参（即为电位参（即 ），），则任意点则任意点 的电位为的电位为第8页，本讲稿共106页 对于点电荷的电场，其电位为对于点电荷的电场，其电位为 体电荷体电荷 、面电荷、面电荷 、线电荷、线电荷 产生的电位分别为若取 处的电位为零，则第9页，本讲稿共
4、106页 解：取如图所示坐标系，场点 的电位等于两个点电荷电位的叠加 而当因此因此由于由于得电偶极子的电位得电偶极子的电位电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度例3.1.1 求电偶极子 的电位(教材例3.3.1)。第10页，本讲稿共106页2.静电位的微分方程（泊松方程 拉普拉斯方程）由由在直角坐标系中电位的泊松方程若空间电荷分布为零，则有若空间电荷分布为零，则有电位满足的拉普拉斯方程 补充例题补充例题 半径为半径为a 的带电导体球，其电位为的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。算球外空间的电位。解：解：球外空间的电位满足拉氏方程球外空间的
5、电位满足拉氏方程 电位满足的边界条件电位满足的边界条件由题意可知电位及电场具有球对称性在球坐标系下直接积分因此因此第11页，本讲稿共106页电位的边界条件电位的边界条件：第12页，本讲稿共106页例3.1.3 两块无限大接地导体板分别位于x=0,x=a处，在两块导体板间oxyba第13页，本讲稿共106页补充内容：点电荷的 函数表示 格林函数 为表示点电荷的体密度，引入为表示点电荷的体密度，引入 函数函数 于是位于于是位于 处的点电荷处的点电荷q 的体密度为的体密度为 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 定义格林函数定义格林函数第14页，本讲稿共106页格林定
6、理 泊松方程的积分公式格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理设而得得格林第一恒等式格林第一恒等式同理，若设格林第一恒等式表示为格林第二恒等式格林第二恒等式第15页，本讲稿共106页利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解以上公式说明，只要知道区域 内的电荷分布 以及区域边界面 上的电位 和电位梯度 值，就可求出区域内的电位分布。第16页，本讲稿共106页惟一性定理 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。可以证明在每一类边界条件下泊松方
7、程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就 是边值问题的是边值问题的惟一性定理惟一性定理 实际边值问题的边界条件分为三类实际边值问题的边界条件分为三类第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件 惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。第17页，本讲稿共106页 当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。许多
8、电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。极化强度：极化强度：用用p 表示极化的程度，即表示极化的程度，即式中：式中：N 为单位体积内被极化的分子数为单位体积内被极化的分子数 极化体电荷极化体电荷 由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。出现极化面电荷。极化面电荷极化面电荷 （为介质表面外法线方向的单位矢量）第18页，本讲稿共106页 小圆柱侧面积，h为无穷小量，该面积趋于零一、电位移矢量D 的边界条件nh 将电场基本方程 用于所作的圆柱形表面。设两种不同的
9、电介质 ，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h 为无穷小量。方程左边方程左边电位移矢量电位移矢量D D 的边界条件的边界条件用矢量表示用矢量表示方程右边为分界面上的自由电荷面密度第19页，本讲稿共106页二、电场强度E 的边界条件（其中 为回路所围面积的法线方向）因为回路是任意的，其所围面因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有的法向也是任意的，因而有电场强度电场强度E E的边界条件：的边界条件：或表示为或表示为 在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高 。将方程 用于此回路介质分界面两侧电场强度的介质分界面两侧
10、电场强度的切向分量切向分量连续连续第20页，本讲稿共106页对于电位 由由由 例 3.9.1 半径分别为a和b 的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示 角部分填充介电常数为 的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2)解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系，待求函数 ，在圆柱坐标系下于是电位 满足的拉普拉斯方程其通解为其通解为同理同理第21页，本讲稿共106页其中系数A、B、C、D可由边界条件确定边界条件边界条件于是于是由此可知由此可知内导体表面单位长度的电荷内导体表面单位长度的电荷由由内导体和区域内导体和区域1 1的边界条件的边界条件由由内导体和区域内导体和区域2 2的边界条
11、件的边界条件得得同轴线单位长度上的电容同轴线单位长度上的电容第22页，本讲稿共106页第23页，本讲稿共106页3.1.3 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容1.双导体电容的计算双导体电容的计算 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的电位差与极板间的电位差 U 的比的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容电容，即电容为，即电容为 电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有 F。实际中，通常取 F （微法）及 pF（皮法）作为电容单位。第24页，本讲稿共106页2.2.
12、部分电容部分电容 N 个导体组成的导体系统，其中第个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为荷关系为 其中其中 为常数，称为为常数，称为电位系数电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。有关。（共有 N 个方程）由以上由以上N 个方程可解出个方程可解出（共有 N 个方程）当当 时时 称为称为电容系数电容系数，时时 称为称为感应系数感应系数，且，且 引入引入，方程 可写为与导体i的电位成正比与导体i、j的电位差成正比其比值其比值第25页，本讲稿共106页 例3.1.4图示的
13、平平行行双双线线传传输输线线，每根导线的直径为a，双导线间的距离为D(Da)，周围是空气。求传输线单位长度的电容。解：设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为l，则双导线间的电场强度电场强度为将上式积分即得双导线间的电压:第26页，本讲稿共106页根据电容的定义得平行双导线平行双导线单位长度的电容电容为第27页，本讲稿共106页例例 3.1.5 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之间填充，内外导体之间填充介质的介电常数为介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。解解 由于电场强度一定垂
14、直于导体表面，因此，同轴线由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。应用高斯定律。ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面作一个圆柱面作为高斯面S，则，则那么内外导体之间的电位差 U 为 因此同轴线单位长度内的电容为 第28页，本讲稿共106页3.1.4 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。设系统完全建立时，最终的电荷分布
15、为设系统完全建立时，最终的电荷分布为 ，电位为，电位为 。设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加，则各点的电增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为时，其电位分布为 。的变化为的变化为 。整个充电过程外界对整个系统提供的总能量整个充电过程外界对整个系统提供的总能量 用场变量表示该能量为用场变量表示该能量为 单位体积的能量，称为能量密度单位体积的能量，称为能量密度 对某一体积元对某一体积元 ，变为变为 时（此时电位为时（此时电位为 电荷增加电荷增加
16、 ）外界提供的能量外界提供的能量第29页，本讲稿共106页 例例3.1.6 在半径为a的球体内均匀分布着体电荷密度为的电荷，计算电场能量。解：解：用高斯定理可以得到电场为(ra)第30页，本讲稿共106页所以 第31页，本讲稿共106页解法二：第32页，本讲稿共106页 补充例题 部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量 解：设同轴线内导体电位 外导体电位 ，则同轴线内外导体间单位长度的能量 由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，内导体表面单位长度的电荷可知，内导体表面单位长度的电荷所以所以 由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，介质和空气可知，介质和空气中的电场强度相等中
17、的电场强度相等于是介质中的能量密度、能量于是介质中的能量密度、能量空气中的能量密度、能量第33页，本讲稿共106页3.1.5 静电场力静电场力 1.两个点电荷间的相互作用力 已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷 受到的电场力为 若上式中若上式中 E 为点电荷为点电荷 q 产生的电场强度，则产生的电场强度，则 式中 为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷 受到点电荷q 的作用力，或者说点电荷 q 对于点电荷 的作用力为 式中er 为由 q 指向 的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的库仑定律。第34页，本讲稿共106页 2.用虚位移原理计算带
18、电系统的静电力用虚位移原理计算带电系统的静电力 已已知知带带电电体体的的电电荷荷分分布布，原原则则上上，根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算带带电电体体电电荷荷之之间间的的电电场场力力。但但是是，对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，根根据据库库仑仑定定律律计计算算电电场场力力是是非非常常困困难难的的，有有时时甚甚至至无无法法求求积积。为为了了计计算算具具有有一一定定电电荷荷分分布布的的带带电电体体之之间间的的电电场场力力，通通常常采采用用虚虚位位移移法法。这这种种方方法法是是假假定定带带电电体体在在电电场场作作用用下下发发生生一一定定的的位位移移，根根据据位位移移过过程程
19、中中电电场场能能量量的的变变化化与与外外力力及及电电场场力力所所作作的的功功之间的关系计算电场力。之间的关系计算电场力。以以平平板板电电容容器器为为例例，设设两两极极板板上上的的电电量量分分别别为为+q 及及-q，板板间间距距离离为为 l。为为了了计计算算方方便便，假假定定在在电电场场力力作作用用下下，极极板板之之间间的的距距离离增增量量为为dl。众众所所周周知知，两两极极板板间间的的相相互互作作用用力力实实际际上上导导致致板板间间距距离离减减小小。因因此此，求出的作用力应为负值。求出的作用力应为负值。dll-q+q第35页，本讲稿共106页 既然认为作用力F 导致位移增加，因此，作用力F 的
20、方向为位移的增加方向。这样，为了产生 dg 位移增量，电场力作的功应为 。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即由此求得式式中中脚脚注注 q=常常数数说说明明当当极极板板发发生生位位移移时时，极极板板上上的的电电量量没没有有发发生生变变化化，这这样样的的带带电电系系统称为统称为常电荷系统常电荷系统。已知平板电容器的能量为 。对于常电荷系统，发生位移时电量 q 未变，只有电容 C 改变了。第36页，本讲稿共106页式式中中S 为为极极板板的的面面积积，l 为为两两极极板板的的间间距距。将将这这些些结结果果代代入入上上式式，求求得得平平板板电电容器两极板之间的作用力为容器两极板之间的
21、作用力为 已知平板电容器的电容式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。如如果果假假定定发发生生位位移移时时，电电容容器器始始终终与与电电源源相相连连，这这样样，在在虚虚位位移移过过程程中中，两两极极板板的的电电位位保保持持不不变变，这这种种系系统统称称为为常常电电位位系系统统。根根据据这这种种常常电电位位的的假假定定，也也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。第37页，本讲稿共106页 设设在在电电场场力力作作用用下下，极极板板间间距距的的增增量
22、量为为dl。由由于于电电容容改改变变，为为了了保保持持电电位位不不变变，正正极极板板的的电电荷荷增增量量为为dq，负负极极板板的的电电荷荷增增量量为为-dq。设设正正负负极极板板的的电电位位分分别别为为 1 及及 2，则电场能量的增量为，则电场能量的增量为式中 为两极板之间的电压。为为了了将将 dq 电电荷荷移移至至电电位位为为 1的的正正极极板板，将将电电荷荷-dq移移至至电电位位为为 2的的负负极极板，外源必须作的功为板，外源必须作的功为第38页，本讲稿共106页 根根据据能能量量守守恒恒原原理理，系系统统外外接接恒恒压压源源，外外源源作作功功的的一一部部分分供供给给电电场场力力作功，另一
23、部分转变为电场能的增量，因此作功，另一部分转变为电场能的增量，因此求得例例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。解解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为张力为F。在此表面张力。在此表面张力F 的作用下，使极板面积扩大了的作用下，使极板面积扩大了dS，则电场力作的，则电场力作的功为功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即第39页，本讲稿共106页已知平板电容器的能量为 ，代
24、入上式，得 若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F 应为应为 那么将 代入，即可获得同样结果。如果将 及 两式中的变量 l 理解为一种广义坐标，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。第40页，本讲稿共106页 显显然然，对对于于不不同同的的广广义义坐坐标标，其其广广义义力力的的含含义义不不同同。对对于于位位移移而而言言，广广义义力力就就是是普普通通概概念念的的力力，单单位位为为N；对对于于面面积积，广广义义力力为为表表面面张张力力，单单位位
25、为为N/m；对对于于体体积积，广广义义力力为为膨膨胀胀力力或或压压力力，单单位位为为N/m2；对对于于角角度度，广广义义力力为为转转矩矩，单单位位为为Nm。若若规规定定广广义义力力的的方方向向仍仍然然为为广广义义坐坐标标增增加加的的方方向向，那那么么，广广义力与广义坐标的乘积仍然等于功义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为。这样，前两式可分别改写为两式中的微分符号变为两式中的微分符号变为偏微分偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，带电系统
26、的能量与多少种广义坐标带电系统的能量与多少种广义坐标有关有关，就存在多少种广义力就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。第41页，本讲稿共106页例例 计算带电肥皂泡的膨胀力。计算带电肥皂泡的膨胀力。解解 设肥皂泡的电量为设肥皂泡的电量为q，半径为，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标 l 代表体积代表体积 V，则受到的膨胀力，则受到的膨胀力F 为为 已知半径
27、为a，电量为q 的带电球的电位为因此，携带的能量为因此，携带的能量为 又知球的体积为 代入上式，得 第42页，本讲稿共106页例3.1.7第43页，本讲稿共106页3.2 导电媒质中的恒定电场分析3.2.1 恒定电场的基本方程 边界条件1.1.基本方程基本方程 恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。恒定电场中的二个基本变量为电流密度恒定电场中的二个基本变量为电流密度 和电场强度和电场强度 。描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即或 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的
28、性质。因电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为此描述恒定电场基本特性的第二个方程为或 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即第44页，本讲稿共106页 要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷q抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。因此因此 Ee 是非保守场。是非保守场。设局外场强为设局外场强为 ，则电源电动势为电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征
29、量。则则第45页，本讲稿共106页与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数 恒定电场的电位由2.2.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件若用电位表示 将恒定电场的基本方程 、分别用于二种不同导电媒 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。第46页，本讲稿共106页3.2.2 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：介质内的静电场方程如下：恒定电流场静电场可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度可见，两者非常相
30、似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电场强度相当于静电场的电场强度 E，电流，电流线相当于电场线。线相当于电场线。第47页，本讲稿共106页 因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场易实现且便
31、于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为的特性，这种方法称为静电比拟静电比拟。例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。第48页，本讲稿共106页 解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内 ，导体表面是等位面，于是漏电介质中的电位只是径向r 的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为其通解边界条件为得导电媒质中的电场强度导电媒质中的电场强度电流密度电流密度单位长度上的漏电流单位长度上的漏电流单位长度
32、上的漏电导单位长度上的漏电导 例 3.2.1 同轴线内外导体半径分别为a和b，填充的介质 ，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的 和单位长度的绝缘电阻（漏电电导）。第49页，本讲稿共106页例3.2.2 计算半球形接地器的接地电阻。第50页，本讲稿共106页 例题 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 和 外加电压U，介质分界面上的自由电荷密度。解：设电容器极板为理想导体，故解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿极板是等位面，电流沿z方向。方向。由边界条件得相应的电场外加电压外加电压U 等于等于得于是于是由边界条件上极板 的自由电荷面密度下极板 的自由电荷面密
33、度介质分界面 上的自由电荷 第51页，本讲稿共106页3.3 恒定磁场分析 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中周围的媒质中 ，不仅有，不仅有恒定电场恒定电场 ，同时还有不随时间变化，同时还有不随时间变化的磁场的磁场 ，简称，简称 恒定磁场恒定磁场。首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A A;确立确立磁场的边界条件；在特定条件下引入标量位磁场的边界条件；在特定条件下引入标量位 。最后讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。最后讨论自感和互感的计算、磁场能量
34、和磁场力。3.3.1 3.3.1 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程和边界条件和边界条件 3.3.2 3.3.2 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位 3.3.3 3.3.3 电感电感 3.3.4 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 3.3.5 磁场力磁场力 第52页，本讲稿共106页斯托克斯定理3.3.1 恒定磁场的基本方程 引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则将得令（为磁介
35、质中的磁场强度矢量）于是磁介质中的基本方程于是磁介质中的基本方程微分形式微分形式 由实验证明，除铁磁性物质外，由实验证明，除铁磁性物质外，M 和和H之间有一定的线性关系，即之间有一定的线性关系，即得（为磁介质中的本构关系）媒质的磁导率（除铁磁性物质外 ）媒质的相对磁导率磁化率式中 均为传导电流第53页，本讲稿共106页 小小圆圆柱柱侧侧面面积积，h为为无无穷穷小小量量，该该面面积积趋趋于于零零2.磁场的边界条件一、磁感应强度一、磁感应强度B B的边界条件的边界条件 设两种不同的磁介质 ，其分界面的法线方向为n。在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h为无穷小量。nh
36、将磁场基本方程 用于所作的圆柱形表面。方程左边方程左边磁感应强度磁感应强度B 的边界条件的边界条件用矢量表示用矢量表示分界面上分界面上B 的法向分量连的法向分量连续续第54页，本讲稿共106页二、磁场强度H的边界条件 在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高 ，取H 沿此回路的环积分为 设分界面上的自由电流面密度为设分界面上的自由电流面密度为 则回路所围面积上通过的电流为则回路所围面积上通过的电流为（其中 的方向为回路所围面积的法线方向）矢量矢量 可写为可写为 方程方程 变为变为 因为回路是任意的，其所围因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有面的法向也是任意的，因
37、而有磁场强度磁场强度H 的边界条件：的边界条件：若分界面上没有自由的表面电流若分界面上没有自由的表面电流第55页，本讲稿共106页 磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，否则，由式 可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。例例1 在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制在具有气隙的环形磁芯
38、上紧密绕制N 匝线圈，如图示。匝线圈，如图示。环形磁芯的磁导率为环形磁芯的磁导率为 ，平均半径为，平均半径为r0，线圈的半径为，线圈的半径为a a，则 从图 3-12 可见，第63页，本讲稿共106页如果ra，则 从图 3-12 可见，第64页，本讲稿共106页所以 式中，m=Ia2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为 第65页，本讲稿共106页第66页，本讲稿共106页位于点r的磁矩为m的磁偶极子，在点r处产生的磁矢位为 位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力及力矩的公式。
39、作用力为 力矩为 第67页，本讲稿共106页 例 3.3.2 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。图 3-11 直导线磁矢位 第68页，本讲稿共106页解:当lz时，有 上式中，若再取lr,则有 第69页，本讲稿共106页 当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出 从上式，用圆柱坐标的旋度公式，可求出 第70页，本讲稿共106页例 3.3.2 求无限长直线电流的矢量位A 磁感应强度B。解：首先计算一根长度为 的长直线电流I产生的矢量位。由线电流的矢位计算公式积分可得积分可得第71页，本讲稿共106页当 时若 ，则 这
40、时可在这时可在A 的表达式中附加一个常矢量的表达式中附加一个常矢量则则磁感应强度磁感应强度B 等于等于磁场强度磁场强度H H 等于等于与例与例3.32.13.32.1直接积分所得的结果相直接积分所得的结果相同同第72页，本讲稿共106页3.3.3 电感 在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的 B与电流成正比，因而穿过任意回路的磁通 也与电流成正比；若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链，用 表示。且可近似为 当磁场由自身回路的电流当磁场由自身回路的电流产生则回路磁链与电流之比产生则回路磁链与电流之比称为称为自感系数自感系数，简称，简称自感自感，单位为单位为H（亨）（亨
41、）第第1 1回路电流回路电流 产生的磁场与产生的磁场与第二回路交链的磁链为第二回路交链的磁链为 ，则比，则比值值称为称为互感系数互感系数，简称，简称互感互感，单位仍为，单位仍为H H 同样，第同样，第2 2回路电流回路电流 产生的磁场与第产生的磁场与第一回路交链的磁链为一回路交链的磁链为 ，其比值同样称为互，其比值同样称为互感系数感系数 自感与互感都仅取决于回路的形状、尺自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。路的相互位置有关。第73页，本讲稿共106页两个单匝回路的互感设回路1通过电流而所以所以同理同理由
42、此可见诺伊曼公式单匝回路的自感单匝回路的自感 对于单匝回路，可将电流看作集中于轴线回路 上，而将计算磁通的回路取作导线边缘的回路 ，应用诺伊曼公式计算自感为第74页，本讲稿共106页例3.3.3 计算同轴线单位长度的电感abr第75页，本讲稿共106页与电流交链 以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通，故称为外自感；在导线内部的磁力线同样套链着电流，其磁链与电流比值定义为内自感。假设单匝回路，其横截面积导线内的磁场导线内的磁场穿过图中面积的磁通为穿过图中面积的磁通为穿过图中面积的磁链为穿过图中面积的磁链为长度为长度为l一段圆截面导线一段圆截面导线的内自感为的内自感为第76页，本讲稿共106页总自
43、感为 例 3.3.4 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a，导线间距离 ，如图所示解：由得二导线在得二导线在x 处产生的磁场分别为处产生的磁场分别为总的磁感应强度总的磁感应强度单位长度的外自感为单位长度的外自感为单位长度的内自感为单位长度的内自感为穿过面积 的磁通第77页，本讲稿共106页而回路而回路j 的磁链为的磁链为3.3.10 3.3.10 磁场能量磁场能量 电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服
44、感应电动势势 而作功，使回路能量增加。而作功，使回路能量增加。若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。回路回路j 中的感应电动势为中的感应电动势为外加电压外加电压dt 时间内与回路时间内与回路j 相连相连的电源所作的功的电源所作的功若系统包含若系统包含N个回路，增加的磁场能量为个回路，增加的磁场能量为互感系数自感系数第78页，本讲稿共106页假设所有回路中的电流同时从零
45、开始以百分比 同比例增加，即则，于是充电过程完成后，系统的总磁场能量充电过程完成后，系统的总磁场能量例单回路双回路用场量表示该磁场能量用场量表示该磁场能量单位体积的磁场能量称为磁场能量密度单位体积的磁场能量称为磁场能量密度第79页，本讲稿共106页例 3.3.7 求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。解：在 的区域在 的区域在 的区域由基本方程三个区域单位长度内的磁场能量分别为三个区域单位长度内的磁场能量分别为第80页，本讲稿共106页因为总磁场能量因为总磁场能量所以同轴线单位长度的电感为所以同轴线单位长度的电感为其中其中（内自感）（主自感）（外套管壁内的电感）第81页，本讲稿共106
46、页3.3.5 磁场力 两个载流回路间的磁力可由安培力公式计算。也可与静电力的计算类似，用磁场能两个载流回路间的磁力可由安培力公式计算。也可与静电力的计算类似，用磁场能量的空间变化率来计算磁场力。量的空间变化率来计算磁场力。磁链不变磁链不变 两个回路的磁链不变，即两个回路的磁链不变，即 回路回路 发生位移，两回路中电流必定发生变化，才能维持两回路的磁链不变发生位移，两回路中电流必定发生变化，才能维持两回路的磁链不变 两回路中没有感应电动势（因为磁链不变），故与回路相连的电源不对回路输两回路中没有感应电动势（因为磁链不变），故与回路相连的电源不对回路输入能量。入能量。回路回路 位移时所须的机械功只
47、有靠磁场能量减少来完成。位移时所须的机械功只有靠磁场能量减少来完成。电流不变电流不变 两个回路电流不变，即两个回路电流不变，即 回路回路 发生位移，两回路中的磁链必定发生变化，才能维持两回路电流不变。发生位移，两回路中的磁链必定发生变化，才能维持两回路电流不变。第82页，本讲稿共106页两个回路的能量为 上式表明：在上式表明：在 不变的情况下磁场能量的改变（即磁力）仅是由于互感不变的情况下磁场能量的改变（即磁力）仅是由于互感 的的改变引起的。改变引起的。前面假设的前面假设的 不变和不变和 不变是在一个回路发生位移时的两种假设，无论假设不变是在一个回路发生位移时的两种假设，无论假设 不变还是不变
48、还是 不变，求出的磁场力是相同的。不变，求出的磁场力是相同的。两回路中都有感应电动势（因为磁链发生变化），与回路相连的电源要作功来克两回路中都有感应电动势（因为磁链发生变化），与回路相连的电源要作功来克服感应电动势以保持两个回路的电流不变。服感应电动势以保持两个回路的电流不变。电源作功为电源作功为 即电源输入能量的一半用于增加磁场储能，即电源输入能量的一半用于增加磁场储能，另一半用于回路另一半用于回路 位移所需的机械功。位移所需的机械功。得第83页，本讲稿共106页3.4.1 边值问题的分类 第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值；第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数；第三类边值
49、问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。第84页，本讲稿共106页3.4.2 唯一性定理唯一性定理第85页，本讲稿共106页唯一性定理证明：设在区域V内，1和2满足泊松方程，即 在V的边界S上，1和2满足同样的边界条件，即 第86页，本讲稿共106页令=1-2，则在V内，2=0，在边界面S上，|S=0。在格林第一恒等式中，令=，则 由于 2=0，所以有 在S上=0，因而上式右边为零，因而有 第87页，本讲稿共106页3.5 镜像法 待求区域的电位由其电荷分布与边界条件共同决定。待求区域的电位由其电荷分布与边界条件共
50、同决定。镜像法则是在研究区域之外，用一些假想的电荷分布代替场问题的边界。镜像法则是在研究区域之外，用一些假想的电荷分布代替场问题的边界。这些假想的电荷称为像电荷，大多是一些点电荷或线电荷。这些假想的电荷称为像电荷，大多是一些点电荷或线电荷。镜像法只适用于一些特殊边界。镜像法只适用于一些特殊边界。镜像法求解电位问题的理论依据是惟一性定理。镜像法求解电位问题的理论依据是惟一性定理。本节将分别讨论平面镜像、球面镜像和柱面镜像。本节将分别讨论平面镜像、球面镜像和柱面镜像。第88页，本讲稿共106页1.点电荷对接地导体平面的镜像 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。图3.5.1