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1、第三章静态电磁场及第1页，共106页，编辑于2022年，星期二3.1.1 3.1.1 静电场的基本方程静电场的基本方程和边界条件和边界条件3.1.2 3.1.2 电位函数电位函数3.1.3 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容3.1.4 3.1.4 静电场的能量静电场的能量3.1.5 3.1.5 静电力静电力第2页，共106页，编辑于2022年，星期二3.1.1 3.1.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 关系式关系式 称为真空的电特性方程或本构关系称为真空的电特性方程或本构关系 静电场的源变量是电荷静电场的源变量是电荷 第第2 2章中已由库仑定律引入了电荷章中已由库仑定律引入了电荷 产
2、生的电场强度产生的电场强度 任意电荷分布产生的电场强度任意电荷分布产生的电场强度 定义任意电荷分布产生的电位移矢量定义任意电荷分布产生的电位移矢量 第3页，共106页，编辑于2022年，星期二表示闭合曲面表示闭合曲面S 对点电荷所在点张的对点电荷所在点张的立体角立体角对任意闭合曲面对任意闭合曲面S 积分积分一、电场的散度一、电场的散度设空间存在一点电荷设空间存在一点电荷 ，则，则 点的电位移点的电位移所以所以在闭合面内在闭合面内在闭合面外在闭合面外若闭合面内有若闭合面内有N 个点电荷个点电荷若闭合面内的电荷分布为若闭合面内的电荷分布为真空中的高斯定律真空中的高斯定律散度定理于是电场的散度方程于
3、是电场的散度方程（高斯定理的微分形式）（高斯定理的微分形式）第4页，共106页，编辑于2022年，星期二二、电场的旋度二、电场的旋度真空中电场的基本方程真空中电场的基本方程在点电荷在点电荷 的电场中，任取一条曲线的电场中，任取一条曲线 ，积分，积分当积分路径是闭合曲线，当积分路径是闭合曲线，A、B 两点重合，得两点重合，得斯托克斯定理第5页，共106页，编辑于2022年，星期二当当当当 补充例题补充例题 电荷按体密度电荷按体密度 分布于半径为分布于半径为a 的球形区域内，的球形区域内，其中其中 为常数。试计算球内外的电位移矢量。为常数。试计算球内外的电位移矢量。解解:电场具有球对称性，电场具有
4、球对称性，于是于是于是于是第6页，共106页，编辑于2022年，星期二2.边界条件第7页，共106页，编辑于2022年，星期二直角坐标系3.1.2 3.1.2 电位函数电位函数1.1.电位和电位差电位和电位差由由 ，称为静电场的标量位函数，又称电位函数称为静电场的标量位函数，又称电位函数 由此可求得电位的微分由此可求得电位的微分在任意方向上的分量在任意方向上的分量 空间空间A、B 两点的电位差两点的电位差 若选取若选取 为电位参（即为电位参（即 ），），则任意点则任意点 的电位为的电位为第8页，共106页，编辑于2022年，星期二 对于点电荷的电场，其电位为对于点电荷的电场，其电位为 体电荷体
5、电荷 、面电荷、面电荷 、线电荷、线电荷 产生的电位分别为产生的电位分别为若取若取 处的电位为零，则处的电位为零，则第9页，共106页，编辑于2022年，星期二 解：取如图所示坐标系，场点解：取如图所示坐标系，场点 的电位等于两个点电荷电位的叠加的电位等于两个点电荷电位的叠加 而而当当因此因此由于由于得电偶极子的电位得电偶极子的电位电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度例例3.1.1 3.1.1 求电偶极子求电偶极子 的电位的电位(教材例教材例3.3.1)3.3.1)。第10页，共106页，编辑于2022年，星期二2.2.静电位的微分方程（泊松方程静电位的微分方程（泊松方程 拉普拉斯方程）拉普拉
6、斯方程）由由在直角坐标系中在直角坐标系中电电位位的的泊泊松松方方程程若空间电荷分布为零，则有若空间电荷分布为零，则有电位满足的拉普拉斯方程电位满足的拉普拉斯方程 补充例题补充例题 半径为半径为a 的带电导体球，其电位为的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。位。解：解：球外空间的电位满足拉氏方程球外空间的电位满足拉氏方程 电位满足的边界条件电位满足的边界条件由题意可知电位及电场具有球对称性由题意可知电位及电场具有球对称性在球坐标系下在球坐标系下直接积分因此因此第11页，共106页，编辑于2022年，星期二电位的边界条件电位的边
7、界条件：第12页，共106页，编辑于2022年，星期二例3.1.3 两块无限大接地导体板分别位于x=0,x=a处，在两块导体板间o ox xy yb ba a第13页，共106页，编辑于2022年，星期二补充内容：补充内容：点电荷的点电荷的 函数表示函数表示 格林函数格林函数 为表示点电荷的体密度，引入为表示点电荷的体密度，引入 函数函数 于是位于于是位于 处的点电荷处的点电荷q 的体密度为的体密度为 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 定义格林函数定义格林函数第14页，共106页，编辑于2022年，星期二格林定理格林定理 泊松方程的积分公式泊松方程的积分公式
8、格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理由散度定理设设而而得得格林第一恒等式格林第一恒等式同理，若设同理，若设格林第一恒等式表示为格林第一恒等式表示为格林第二恒等式格林第二恒等式第15页，共106页，编辑于2022年，星期二利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解以上公式说明，只要知道区域以上公式说明，只要知道区域 内的电荷分布内的电荷分布 以及区域边界面以及区域边界面 上的电上的电位位 和电位梯度和电位梯度 值，就可求出区域内的电位分布。值，就可求出区域内
9、的电位分布。第16页，共106页，编辑于2022年，星期二惟一性定理惟一性定理 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就 是边值问题的是边值问题的惟一性定理惟一性定理 实际边值问题的边界条件分为三类实际边值问题的边界条件分为三类第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件 惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。惟一性定理的意
10、义：是间接求解边值问题的理论依据。第17页，共106页，编辑于2022年，星期二 当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。极化强度：极化强度：用用p 表示极化的程度，即表示极化的程度，即式中：式中：N 为单位体积内被极化的分子数为单位体积内被极化的分子数 极化体电荷极化体电荷 由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极
11、化面电荷。由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。极化面电荷极化面电荷 （为介质表面外法线方向的单位矢量）为介质表面外法线方向的单位矢量）第18页，共106页，编辑于2022年，星期二 小圆柱侧面积，h为无穷小量，该面积趋于零一、电位移矢量一、电位移矢量D D 的边界条件的边界条件n nh 将电场基本方程将电场基本方程 用于所用于所作的圆柱形表面。作的圆柱形表面。设两种不同的电介质设两种不同的电介质 ，其分界面的法线方向为，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为面，两底面分别位于
12、介质两侧，底面积为 ，h 为无穷小量。为无穷小量。方程左边方程左边电位移矢量电位移矢量D D 的边界条件的边界条件用矢量表示用矢量表示方程右边方程右边为分界面上的自由电荷面密度为分界面上的自由电荷面密度第19页，共106页，编辑于2022年，星期二二、电场强度二、电场强度E E 的边界条件的边界条件（其中（其中 为回路所为回路所围面积的法线方向）围面积的法线方向）因为回路是任意的，其所围面的法向也因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有是任意的，因而有电场强度电场强度E E的边界条件：的边界条件：或表示为或表示为 在分界面上作一小的矩形回路，其两边在分界面上作一小的矩形回路，其两边
13、分居于分界面两侧，而高分居于分界面两侧，而高 。将。将方程方程 用于此回路用于此回路介质分界面两侧电场强度的介质分界面两侧电场强度的切向分量切向分量连续连续第20页，共106页，编辑于2022年，星期二对于电位对于电位 由由由由 例例 3.9.1 3.9.1 半径分别为半径分别为a和和b 的同轴线，外加电压的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示圆柱电极间在图示 角部分角部分填充介电常数为填充介电常数为 的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2)3.9.2)解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系，解：问题具有轴对称性，选用柱坐
14、标系，待求函数待求函数 ，在圆柱坐标系下在圆柱坐标系下于是电位于是电位 满足的拉普拉斯方程满足的拉普拉斯方程其通解为其通解为同理同理第21页，共106页，编辑于2022年，星期二其中系数其中系数A、B、C、D可由边界条件确定可由边界条件确定边界条件边界条件于是于是由此可知由此可知内导体表面单位长度的电荷内导体表面单位长度的电荷由由内导体和区域内导体和区域1 1的边界条件的边界条件由由内导体和区域内导体和区域2 2的边界条件的边界条件得得同轴线单位长度上的电容同轴线单位长度上的电容第22页，共106页，编辑于2022年，星期二第23页，共106页，编辑于2022年，星期二3.1.3 3.1.3
15、导体系统的电容导体系统的电容1.双导体电容的计算双导体电容的计算 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的电位差与极板间的电位差 U 的比的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容电容，即电容为，即电容为 电容的单位电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有容只有 F。实际中，通常取。实际中，通常取 F （微法）及（微法）及 pF（皮法）作为（皮法）作为电容单位。电容单位。第24页，共106页，编辑于2022年，星期二2.2.部分电容
16、部分电容 N 个导体组成的导体系统，其中第个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为为 其中其中 为常数，称为为常数，称为电位系数电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。有关。（共有（共有 N 个方程）个方程）由以上由以上N 个方程可解出个方程可解出（共有（共有 N 个方程）个方程）当当 时时 称为称为电容系数电容系数，时时 称为称为感应系数感应系数，且，且 引入引入，方程，方程 可写为可写为与导体i的电位成正比与导体i、j的电位差成正比其比值其比值第25页，共1
17、06页，编辑于2022年，星期二 例3.1.4图示的平平行行双双线线传传输输线线，每根导线的直径为a，双导线间的距离为D(Da)，周围是空气。求传输线单位长度的电容。解：设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为l，则双导线间的电场强度电场强度为将上式积分即得双导线双导线间的电压电压:第26页，共106页，编辑于2022年，星期二根据电容的定义得平行双导线平行双导线单位长度的电容电容为第27页，共106页，编辑于2022年，星期二例例 3.1.5 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之间，内外导体之间填充介质的介电常数为填充介质的
18、介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。解解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。对称，可以应用高斯定律。ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面体作一个圆柱面作为高斯面S，则，则那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 第28页，共106页，编辑于2022年，星期二3
19、.1.4 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。设系统完全建立时，最终的电荷分布为设系统完全建立时，最终的电荷分布为 ，电位为，电位为 。设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加，则各点的电增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为时，其电位分布为 。的变化为的变化为 。整个充电过程外界对整个系统提供的总能量整个充电过程外界对整个系统提供的总能量 用场变量
20、表示该能量为用场变量表示该能量为 单位体积的能量，称为能量密度单位体积的能量，称为能量密度 对某一体积元对某一体积元 ，变为变为 时（此时电位为时（此时电位为 电荷增加电荷增加 ）外界提供的能量外界提供的能量第29页，共106页，编辑于2022年，星期二 例例3.1.6 在半径为a的球体内均匀分布着体电荷密度为的电荷，计算电场能量。解：解：用高斯定理可以得到电场为(ra)第30页，共106页，编辑于2022年，星期二所以 第31页，共106页，编辑于2022年，星期二解法二：第32页，共106页，编辑于2022年，星期二 补充例题补充例题 部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能
21、量部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量 解：设同轴线内导体电位解：设同轴线内导体电位 外导体电位外导体电位 ，则同轴线内外导体间单位长度的能量则同轴线内外导体间单位长度的能量 由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，内导体表面单位长度的电荷可知，内导体表面单位长度的电荷所以所以 由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，介质和空气中可知，介质和空气中的电场强度相等的电场强度相等于是介质中的能量密度、能量于是介质中的能量密度、能量空气中的能量密度空气中的能量密度、能量、能量第33页，共106页，编辑于2022年，星期二3.1.5 静电场力静电场力 1.1.两个点电荷间的相互作用
22、力两个点电荷间的相互作用力 已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷因此，点电荷 受到的电场力为受到的电场力为 若上式中若上式中 E 为点电荷为点电荷 q 产生的电场强度，则产生的电场强度，则 式中式中 为该点电荷周围介质的介电常数。那么，为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷点电荷 受到点电荷受到点电荷q 的作用力，或者说点电荷的作用力，或者说点电荷 q 对于点电荷对于点电荷 的作用力为的作用力为 式中式中er 为由为由 q 指向指向 的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验的单位矢量。上式就是
23、法国科学家库仑根据实验总结归纳的总结归纳的库仑定律库仑定律。第34页，共106页，编辑于2022年，星期二 2.用虚位移原理计算带电系统的静电力用虚位移原理计算带电系统的静电力 已已知知带带电电体体的的电电荷荷分分布布，原原则则上上，根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算带带电电体体电电荷荷之之间间的的电电场场力力。但但是是，对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，根根据据库库仑仑定定律律计计算算电电场场力力是是非非常常困困难难的的，有有时时甚甚至至无无法法求求积积。为为了了计计算算具具有有一一定定电电荷荷分分布布的的带带电电体体之之间间的的电电场场力力，通通常常采采用用虚虚位
24、位移移法法。这这种种方方法法是是假假定定带带电电体体在在电电场场作作用用下下发发生生一一定定的的位位移移，根根据据位位移移过过程程中中电电场场能能量量的的变变化化与与外力外力及及电场力所作的功电场力所作的功之间的关系计算电场力。之间的关系计算电场力。以以平平板板电电容容器器为为例例，设设两两极极板板上上的的电电量量分分别别为为+q 及及-q，板板间间距距离离为为 l。为为了了计计算算方方便便，假假定定在在电电场场力力作作用用下下，极极板板之之间间的的距距离离增增量量为为dl。众众所所周周知知，两两极极板板间间的的相相互互作作用用力力实实际际上上导导致致板板间间距距离离减减小。因此，求出的作用力
25、应为负值。小。因此，求出的作用力应为负值。dll-q+q第35页，共106页，编辑于2022年，星期二 既然认为作用力既然认为作用力F 导致位移增加，因此，作用力导致位移增加，因此，作用力F 的方向为位移的增的方向为位移的增加方向。这样，为了产生加方向。这样，为了产生 dg 位移增量，电场力作的功应为位移增量，电场力作的功应为 。根。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即由此求得由此求得式式中中脚脚注注 q=常常数数说说明明当当极极板板发发生生位位移移时时，极极板板上上的的电电量量没没有有发发生生变变化化，这这样样的的带带电系统称
26、为电系统称为常电荷系统常电荷系统。已已知知平平板板电电容容器器的的能能量量为为 。对对于于常常电电荷荷系系统统，发发生生位位移移时时电量电量 q 未变，只有电容未变，只有电容 C 改变了。改变了。第36页，共106页，编辑于2022年，星期二式式中中S 为为极极板板的的面面积积，l 为为两两极极板板的的间间距距。将将这这些些结结果果代代入入上上式式，求求得得平平板电容器两极板之间的作用力为板电容器两极板之间的作用力为 已知平板电容器的电容已知平板电容器的电容式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。如如果果假假定定发发生生位位移移时时，
27、电电容容器器始始终终与与电电源源相相连连，这这样样，在在虚虚位位移移过过程程中中，两两极极板板的的电电位位保保持持不不变变，这这种种系系统统称称为为常常电电位位系系统统。根根据据这这种种常常电电位位的的假假定定，也也可可以以计计算算平平板板电电容容器器两两极极板板之之间间的的作作用用力力，所所得得结结果果应应该该与与上上完完全相同。全相同。第37页，共106页，编辑于2022年，星期二 设设在在电电场场力力作作用用下下，极极板板间间距距的的增增量量为为dl。由由于于电电容容改改变变，为为了了保保持持电电位位不不变变，正正极极板板的的电电荷荷增增量量为为dq，负负极极板板的的电电荷荷增增量量为为
28、-dq。设设正正负负极极板板的的电位分别为电位分别为 1 及及 2，则电场能量的增量为，则电场能量的增量为式中式中 为两极板之间的电压。为两极板之间的电压。为为了了将将 dq 电电荷荷移移至至电电位位为为 1的的正正极极板板，将将电电荷荷-dq移移至至电电位位为为 2的的负负极极板，外源必须作的功为板，外源必须作的功为第38页，共106页，编辑于2022年，星期二 根根据据能能量量守守恒恒原原理理，系系统统外外接接恒恒压压源源，外外源源作作功功的的一一部部分分供供给给电电场场力力作作功功，另一部分转变为电场能的增量，因此另一部分转变为电场能的增量，因此求得求得例例 利用虚位移法计算平板电容器极
29、板上受到的表面张力。利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。解解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为F。在此表面张力。在此表面张力F 的作用下，使极板面积扩大了的作用下，使极板面积扩大了dS，则电场力作的功为，则电场力作的功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即第39页，共106页，编辑于2022年，星期二已知平板电容器的能量为已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得，代入上式，得 若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保
30、持不变。那么，表面张力若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F 应为应为 那么将那么将 代入，即可获得同样结果。代入，即可获得同样结果。如果将如果将 及及 两式中的变量两式中的变量 l 理解为一种理解为一种广义坐广义坐标标，也就是说，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力广义力。第40页，共106页，编辑于2022年，星期二 显显然然，对对于于不不同同的的广广义义坐坐标标，其其广广义义力力的的含含义义不不同同。对对于
31、于位位移移而而言言，广广义义力力就就是是普普通通概概念念的的力力，单单位位为为N；对对于于面面积积，广广义义力力为为表表面面张张力力，单单位位为为N/m；对对于于体体积积，广广义义力力为为膨膨胀胀力力或或压压力力，单单位位为为N/m2；对对于于角角度度，广广义义力力为为转转矩矩，单单位位为为Nm。若若规规定定广广义义力力的的方方向向仍仍然然为为广广义义坐坐标标增增加加的的方方向向，那那么么，广广义义力力与与广广义义坐坐标的乘积仍然等于功标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为。这样，前两式可分别改写为两式中的微分符号变为两式中的微分符号变为偏微分偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有
32、关。是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，带电系统的能量与多少种广义坐带电系统的能量与多少种广义坐标有关标有关，就存在多少种广义力就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。第41页，共106页，编辑于2022年，星期二例例 计算带电肥皂泡的膨胀力。计算带电肥皂泡的膨胀力。解解 设肥皂泡的电量为设肥皂泡的电量为q，半
33、径为，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标 l 代表代表体积体积 V，则受到的膨胀力，则受到的膨胀力F 为为 已知半径为已知半径为a，电量为，电量为q 的带电球的电位为的带电球的电位为因此，携带的能量为因此，携带的能量为 又知球的体积为又知球的体积为 代入上式，得代入上式，得 第42页，共106页，编辑于2022年，星期二例3.1.7第43页，共106页，编辑于2022年，星期二3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.2.1 3.2.1 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 边界条件边界条件1.1.基本方程基本方程 恒定电
34、流空间存在的电场，称为恒定电场。恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。恒定电场中的二个基本变量为电流密度恒定电场中的二个基本变量为电流密度 和电场强度和电场强度 。描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即或或 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为恒定电场基本特性的第二个方程为或或 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即第44页，共10
35、6页，编辑于2022年，星期二 要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷极板的正电荷q抵抗电场力搬到抵抗电场力搬到A极板。极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。因此因此 Ee 是非保守场。是非保守场。设局外场强为设局外场强为设局外场强为设局外场强为 ，则电源电动势为，则电源电动势为电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。则则第45页，共106页，编辑于2022年，星期二与静电场的讨论类
36、似，由与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数可引入恒定电场的电位函数 恒定电场的电位恒定电场的电位由由2.2.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件若用电位表示若用电位表示 将恒定电场的基本方程将恒定电场的基本方程 、分别用于二种不同导电媒分别用于二种不同导电媒 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。第46页，共106页，编辑于2022年，星期二3.2.2 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电已知无外源
37、区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：场方程如下：恒定电流场恒定电流场静电场静电场可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电场强度相当于静电场的电场强度 E，电流线相当于电场线。，电流线相当于电场线。第47页，共106页，编辑于2022年，星期二 因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电
38、场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为称为静电比拟静电比拟。例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。第48页，共106页，编辑于2022年，星期二 解：设同轴线内外导体是解：设同轴
39、线内外导体是理想导体，则导体内理想导体，则导体内 ，导体表面是导体表面是等位面等位面，于是漏电，于是漏电介质中的介质中的电位只是径向电位只是径向r 的函数的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为柱坐标系下拉普拉斯方程为其通解其通解边界条件为边界条件为得得导电媒质中的电场强度导电媒质中的电场强度电流密度电流密度单位长度上的漏电流单位长度上的漏电流单位长度上的漏电导单位长度上的漏电导 例例 3.2.1 3.2.1 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a和和b，填充的介质填充的介质 ，具有漏电现，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的，求漏电介质内的 和单位
40、长度的绝缘电阻和单位长度的绝缘电阻（漏电电导）。（漏电电导）。第49页，共106页，编辑于2022年，星期二例3.2.2 计算半球形接地器的接地电阻。第50页，共106页，编辑于2022年，星期二 例题例题 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 和和 外加电外加电压压U，介质分界面上的自由电荷密度。，介质分界面上的自由电荷密度。解：设电容器极板为理想导体，故极板解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿是等位面，电流沿z方向。方向。由边界条件由边界条件得得相应的电场相应的电场外加电压外加电压U 等于等于得得于是于是由边界条件由边界条件上极
41、板上极板 的自由电荷面密度的自由电荷面密度下极板下极板 的自由电荷面密度的自由电荷面密度介质分界面介质分界面 上的自由电荷上的自由电荷 第51页，共106页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中媒质中 ，不仅有，不仅有恒定电场恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场，同时还有不随时间变化的磁场 ，简，简称称 恒定磁场恒定磁场。首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A A;确立确立磁场的边界
42、条件；在特定条件下引入标量位磁场的边界条件；在特定条件下引入标量位 。最后讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。最后讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。3.3.1 3.3.1 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程和边界条件和边界条件 3.3.2 3.3.2 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位 3.3.3 3.3.3 电感电感 3.3.4 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 3.3.5 磁场力磁场力 第52页，共106页，编辑于2022年，星期二斯托克斯定理3.3.1 3.3.1 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间
43、的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则流和传导电流的实质相同，则将将得得令令（为磁介质中的（为磁介质中的磁场强度矢量）磁场强度矢量）于是磁介质中的基本方程于是磁介质中的基本方程微分形式微分形式 由实验证明，除铁磁性物质外，由实验证明，除铁磁性物质外，M 和和H之间之间有一定的线性关系，即有一定的线性关系，即得得（为磁介质中的（为磁介质中的本构关系本构关系）媒质的磁导率媒质的磁导率（除铁磁性物质外（除铁磁性物质外 ）媒质的相对磁导率媒质的相对磁导率磁化率磁化率式中式中 均为传导
44、电流均为传导电流第53页，共106页，编辑于2022年，星期二 小小圆圆柱柱侧侧面面积积，h为为无无穷穷小小量量，该该面面积积趋趋于于零零2.2.磁场的边界条件磁场的边界条件一、磁感应强度一、磁感应强度B B的边界条件的边界条件 设两种不同的磁介质设两种不同的磁介质 ，其分界面的法线方向为，其分界面的法线方向为n。在分界面上作一小圆柱形表。在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h为无穷小量。为无穷小量。n nh 将磁场基本方程将磁场基本方程 用于所用于所作的圆柱形表面。作的圆柱形表面。方程左边方程左边磁感应强度磁感应强度B 的边界条
45、件的边界条件用矢量表示用矢量表示分界面上分界面上B 的法向分量连续的法向分量连续第54页，共106页，编辑于2022年，星期二二、磁场强度二、磁场强度H H的边界条件的边界条件 在分界面上作一小的矩形回路，其两边在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高分居于分界面两侧，而高 ，取，取H 沿此回路的环积分为沿此回路的环积分为 设分界面上的自由电流面密度为设分界面上的自由电流面密度为 则回路所围面积上通过的电流为则回路所围面积上通过的电流为（其中（其中 的方向为的方向为回路所围面积的法回路所围面积的法线方向）线方向）矢量矢量 可写为可写为 方程方程 变为变为 因为回路是任意的，其
46、所围面的法向因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有也是任意的，因而有磁场强度磁场强度H 的边界条件：的边界条件：若分界面上没有自由的表面电流若分界面上没有自由的表面电流第55页，共106页，编辑于2022年，星期二 磁导率为无限大的媒质称为磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体理想导磁体。在理想导磁体中不可能。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，否则，由式存在磁场强度，否则，由式 可见，将需要无限大的磁感应强可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在理
47、想导磁体中不可能存在磁场强能量，显然这是不可能的。因此，在理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的切向分量是连续的，可见，在理想导磁体度。因为边界上磁场强度的切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，换言之，表面上不可能存在磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直磁场强度必须垂直于理想导磁体表面于理想导磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。例例1 在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N 匝线圈，如图匝线圈，如图示。环形磁芯的磁导率为示。环形磁芯的磁导率为 ，平均半径为，
48、平均半径为r0，线圈的半径，线圈的半径为为a a，则 从图 3-12 可见，第63页，共106页，编辑于2022年，星期二如果ra，则 从图 3-12 可见，第64页，共106页，编辑于2022年，星期二所以 式中，m=Ia2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为 第65页，共106页，编辑于2022年，星期二第66页，共106页，编辑于2022年，星期二位于点r的磁矩为m的磁偶极子，在点r处产生的磁矢位为 位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力及力矩的公式。作用力为 力矩为
49、第67页，共106页，编辑于2022年，星期二 例例 3.3.2 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。图 3-11 直导线磁矢位 第68页，共106页，编辑于2022年，星期二解解:当lz时，有 上式中，若再取lr,则有 第69页，共106页，编辑于2022年，星期二 当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出 从上式，用圆柱坐标的旋度公式，可求出 第70页，共106页，编辑于2022年，星期二例例 3.3.2 3.3.2 求无限长直线电流的矢量位求无限长直线电流的矢量位A 磁感应强度磁感应强度B。解：首先计算一根长度
50、为解：首先计算一根长度为 的长直线电流的长直线电流I产生的矢量位。产生的矢量位。由线电流的矢位计算公式由线电流的矢位计算公式积分可得积分可得第71页，共106页，编辑于2022年，星期二当当 时时若若 ，则，则 这时可在这时可在A 的表达式中附加一个常矢量的表达式中附加一个常矢量则则磁感应强度磁感应强度B 等于等于磁场强度磁场强度H H 等于等于与例与例3.32.13.32.1直接积分所得的结果相同直接积分所得的结果相同第72页，共106页，编辑于2022年，星期二3.3.3 3.3.3 电感电感 在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的 B