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1、第六章统计量及其分布第1页，本讲稿共28页数理统计学的任务：数理统计学的任务：1.1.试验设计和抽样调查设计，即研究如何更有效更合理地获得数据；试验设计和抽样调查设计，即研究如何更有效更合理地获得数据；2.2.统计推断，即研究如何分析数据，对所研究的问题作出尽可能精统计推断，即研究如何分析数据，对所研究的问题作出尽可能精确、可靠的结论确、可靠的结论.对随机现象进行观测或试验对随机现象进行观测或试验收集整理统计资料收集整理统计资料对研究对象作出推断对研究对象作出推断数理统计学概述第2页，本讲稿共28页本章内容 6.1 6.1 总体与样本总体与样本 6.2 6.2 统计量统计量 6.3 6.3 抽
2、样分布抽样分布 6.4 6.4 经验分布函数经验分布函数第3页，本讲稿共28页 6.1 6.1 总体与样本总体与样本总体：总体：所研究对象的全体构成的集合所研究对象的全体构成的集合.个体：个体：总体中的每一个元素总体中的每一个元素.例：考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命例：考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命.例：考察某大学学生的身高与体重例：考察某大学学生的身高与体重.总体总体=？个体？个体=？总体总体=？个体？个体=？1.定义定义一、总体和个体一、总体和个体 (1)总体和个体具有总体和个体具有两重性两重性：一方面指所研究的：一方面指所研究的实体实体；另一方；另一方面又指实体的面又指实体的特征指标特征指标
3、.注：注：(2)有限总体与无限总体有限总体与无限总体.总体包含有限个个体总体包含有限个个体第4页，本讲稿共28页 2.2.总体的随机变量表示及总体的分布总体的随机变量表示及总体的分布总体就是随机变量总体就是随机变量.可以是一维的，可以是二维的可以是一维的，可以是二维的.考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命.记作记作X；X的每一个取值就是一个灯泡的寿命的每一个取值就是一个灯泡的寿命.考察某大学学生的身高与体重考察某大学学生的身高与体重.总体总体(X,Y),X“身高身高”，Y“体重体重”.总体的分布就是随机变量的分布总体的分布就是随机变量的分布.以后所研究的总体多是以后所研究的
4、总体多是正态总体正态总体.第5页，本讲稿共28页 简单随机样本简单随机样本：设取自总体设取自总体X的样本的样本(X1,X2,Xn)满足满足:(1)每个每个Xi 与总体与总体X同分布同分布（代表性）（代表性）;(2)X1,X2,Xn相互独立相互独立（独立性）（独立性）.则称则称 样本样本(X1,X2,Xn)为为简单随机样本简单随机样本，简称为，简称为样本样本.样本二重性：样本二重性：注在有限总体中要得到简单样本在有限总体中要得到简单样本,必须进行重复抽样必须进行重复抽样.但当但当总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到的样本也可近似看作
5、简单样本的样本也可近似看作简单样本.随机抽样：随机抽样：从总体从总体X中抽取部分个体的过程中抽取部分个体的过程.简称简称抽样抽样.样本与样本容量：样本与样本容量：抽取的部分个体抽取的部分个体(抽样的结果）叫样本；所含抽样的结果）叫样本；所含 个体的个数叫样本容量个体的个数叫样本容量.记为记为(X1,X2,Xn)二、样本容量为容量为n 的样本的样本(X1,X2,Xn)由于试验的随机性，由于试验的随机性，样本是样本是n维随机变量维随机变量试验后试验后(x1,x2,xn)数据数据=样本观测值样本观测值n维常数向量维常数向量第6页，本讲稿共28页统计推断统计推断:分析分析样本数据样本数据 对总体的分布
6、作出结论对总体的分布作出结论 样本从总体带出的信息样本从总体带出的信息 是是分散的、零乱的分散的、零乱的 统计量统计量 设总体设总体X的分布函数为的分布函数为F(x)，(X1,X2,Xn)是来自总体的样本是来自总体的样本，则则(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为连续型连续型:X f(x)，则样本，则样本(X1,X2,Xn)的密度函数为：的密度函数为：三、样本的分布三、样本的分布离散型：离散型：XP(X=xi)=pi i=1,2,则样本则样本(X1,X2,Xn)的分布为：的分布为：F(x1,x2,xn)=F(x1)F(x2)F(xn)P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)=P(X=x1
7、)P(X=x2)P(X=xn)f(x1,x2,xn)=f(x1)f(x2)f(xn)第7页，本讲稿共28页 设设(X1,X2,Xn)为来自总体为来自总体 X 的容量为的容量为n 的样本的样本,h(x1,x2,xn)为不含未知参数的为不含未知参数的n 元实值函数，则元实值函数，则 T=h(X1,X2,Xn)是一个随机变量，称为是一个随机变量，称为统计量统计量.6.2 6.2 统计量统计量 注注 ：（1 1）统计量是样本的已知函数，不含任何未知参数统计量是样本的已知函数，不含任何未知参数.（2 2）把样本观测值代入统计量，得到统计量的观测值）把样本观测值代入统计量，得到统计量的观测值.故统计量故统
8、计量 也具有也具有二重性二重性.一、统计量的定义一、统计量的定义第8页，本讲稿共28页 例例2 当总体当总体 XN(,2)，其中参数，其中参数 ,2 未知时未知时 不是统计量不是统计量例例1 当参数当参数 已知已知,2 未知时，结论如何？未知时，结论如何？都是统计量都是统计量第9页，本讲稿共28页二、常用统计量 定义定义 设样本设样本(X1,X2,Xn)来自总体来自总体 X，常用统计量：，常用统计量：样本均值样本均值:样本方差：样本方差：样本样本k阶原点矩：阶原点矩：样本样本k阶中心矩：阶中心矩：样本标准差样本标准差:第10页，本讲稿共28页 样本均值和样本方差的性质样本均值和样本方差的性质
9、定理定理2.1 设总体设总体 X 的均值为的均值为 EX=，方差为，方差为 DX=2，样本样本(X1,X2,Xn)来自总体来自总体 X，则，则 证：由于证：由于(X1,X2,Xn)是简单随机样本，所以是简单随机样本，所以EXi=EX=，DXi=DX=2(i=1,2,n)，而且有，而且有 23=2ES)(第11页，本讲稿共28页 定理定理2.1 设总体设总体 X 的均值为的均值为 EX=，方差为，方差为 DX=2，样本样本(X1,X2,Xn)来自总体来自总体 X，则，则 第12页，本讲稿共28页自由度自由度表示独立随机变量的个数表示独立随机变量的个数 6.3 6.3 抽样分布抽样分布（1）定义定
10、义：若：若X的密度函数为：的密度函数为：1.1.2 分布分布 一、一、数理统计学的三个重要分布数理统计学的三个重要分布则称则称X服从服从 自由度为自由度为 n 的的 2分布分布.记为记为 X 2(n).第13页，本讲稿共28页（2）有关）有关 2分布的结论分布的结论 20 若若 X 2(n),Y 2(m),且且X与与Y相互独立相互独立,则则 X+Y 2(n+m).10 若随机变量若随机变量XN(0,1)，则，则X2 2(1).40 若若 X1,X2,Xn相互独立相互独立，同服从于正态分布同服从于正态分布N(i,i2)，则则 30 设随机变量设随机变量X1,X2,Xn相互独立相互独立,且同服从且
11、同服从N(0,1)，则则 2=X12+X22+Xn2 2(n).构构造造性性定定义义第14页，本讲稿共28页（3）2分布的临界值（上分布的临界值（上 分位点）分位点）例：例：3.94第15页，本讲稿共28页2.t 分布分布 （1）定义：若随机变量的密度函数为）定义：若随机变量的密度函数为则称则称X服从服从可以证明，当自由度可以证明，当自由度n无限增大时，无限增大时，t分布将趋于标准正态分布分布将趋于标准正态分布.判定：判定：构构造造性性定定义义第16页，本讲稿共28页(2)t 分布的临界值（上分布的临界值（上 分位点）分位点）例：例：1.397第17页，本讲稿共28页 例 若 XN(,2)，Y
12、/2 2(n)，且X与Y相互独立，证明：证明：证明：且且X与与Y相互独立相互独立所以所以第18页，本讲稿共28页3.F 分布 则称则称X服从服从第一自由度为第一自由度为n1，第二自由度为第二自由度为n2 的的F分布分布.定义定义则则构构造造性性定定义义第19页，本讲稿共28页例例 设设(X1,X2,X6)来自来自XN(0,2)，则则()F(2,4).解：解：第20页，本讲稿共28页二、正态总体下的抽样分二、正态总体下的抽样分布布两个定理五个结论两个定理五个结论.1.1.样本线性函数的分布样本线性函数的分布 定理定理1 设设Y=a1X1+a2X2+a n X n，则，则 以下假设样本（以下假设样
13、本（X1,X2，X n）来自正态总体）来自正态总体 XN(,2)其中其中 a1,a2,an 为不全为零常数为不全为零常数.重要结论重要结论1 1 设设(X1,X2，X n)取自取自 XN(,2)，则则第21页，本讲稿共28页2.2.样本均值和样本方差的分布样本均值和样本方差的分布 定理定理2 2 设设X N(,2)，样本，样本(X1,X2,Xn)取自总体取自总体X，则则第22页，本讲稿共28页重要结论重要结论2 2 且且相互独立相互独立设样本设样本(X1,X2,Xn)取自总体取自总体X N(,2)，则则证：证：第23页，本讲稿共28页 3.两正态总体的抽样分布两正态总体的抽样分布设样本设样本(
14、X1,X2,X n)来自正态总体来自正态总体XN(1,12),(Y1,Y2,Y n2)来自正态总体来自正态总体YN(2,22)，并假定，并假定X 与与 Y 相互独立相互独立.记记第24页，本讲稿共28页重要结论重要结论3 3第25页，本讲稿共28页解解：且相互独立且相互独立 例例1 若若 XN(,2)，样本，样本(X1,X2,X n+1)来自总体来自总体X.Xn 与与 Sn2 为样本均值和样本方差为样本均值和样本方差.求统计量求统计量 的分布的分布且相互独立，则且相互独立，则第26页，本讲稿共28页解：解：独立独立 例例2 若若 XN(0,0.5 2)，样本，样本(X1,X2,X 10)来自总体来自总体X.求求第27页，本讲稿共28页重点：重点：1 1个重要性质个重要性质+3+3个构造性定义个构造性定义+2+2个重要定理个重要定理 +3 +3重要结论重要结论.本章小结第28页，本讲稿共28页