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1、20092009 年年 XXXX 省普通高校“专转本”统一考试省普通高校“专转本”统一考试高高等等数数学学一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2424 分）分）x2 ax b 3，则常数a,b的取值分别为（）1、已知limx2x 2A、a 1,b 2B、a 2,b 0C、a 1,b 0D、a 2,b 1x2 3x 22、已知函数f(x)，则x 2为f(x)的2x 4A、跳跃间断点断点B、可去间断点C、无穷间断点D、震荡间x 00,13、设函数f(x)在点x 0处可导，则常数的取值 X 围为（）x sin,x 0 xA、01
2、4、曲线y A、1B、01C、1D、12x 1的渐近线的条数为（）(x 1)2B、2C、3D、45、设F(x)ln(3x 1)是函数f(x)的一个原函数，则A、f(2x 1)dx（）D、1 C6x 43 C12x 8B、3 C6x 4C、1 C12x 86、设为非零常数，则数项级数n（）2nn1A、条件收敛 B、绝对收敛C、发散D、敛散性与有关二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2424 分）分）7、已知lim(xxx)2，则常数C.x C8、设函数(x)2x0tetdt，则(x).9、已知向量a (1,0,1)，b (1,2,1
3、)，则a b与a的夹角为.10、设函数z z(x,y)由方程xz yz 1所确定，则2z.xann111、若幂函数2x(a 0)的收敛半径为，则常数a.2n1n12、微分方程(1 x)ydx (2 y)xdy 0的通解为.2三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共8 8 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，满分分，满分 6464 分）分）x313、求极限：limx0 x sin xx ln(1t)dy d2y,2.14、设函数y y(x)由参数方程所确定，求2dx dxy t 2t 315、求不定积分：sin2x 1dx.16、求定积分：10 x22 x2dx.17、求通过直线xy 1z 2
4、且垂直于平面x y z 2 0的平面方程.32122yd，其中D(x,y)0 x 2,x y 2,x y 2.18、计算二重积分D2z19、设函数z f(sin x,xy)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求.xy20、求微分方程y y x的通解.四、综合题（本大题共四、综合题（本大题共2 2 小题，每小题小题，每小题 1010 分，满分分，满分 2020 分）分）21、已知函数f(x)x 3x 1，试求：（1）函数f(x)的单调区间与极值；（2）曲线y f(x)的凹凸区间与拐点；（3）函数f(x)在闭区间2,3上的最大值与最小值.322、设D1是由抛物线y 2x和直线x a,y 0所围成的平
5、面区域，D2是由抛物线2y 2x2和直线x a,x 2及y 0所围成的平面区域，其中0 a 2.试求：（1）D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2.（2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等.五、证明题（本大题共五、证明题（本大题共2 2 小题，每小题小题，每小题 9 9 分，满分分，满分 1818 分）分）ex23、已知函数f(x),x 0，证明函数1 x,x 0f(x)在点x 0处连续但不可导.24、证明：当1 x 2时，4xln x x2 2x 3.20092009 年年 XXXX 省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案省普通高校“专
6、转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、B3、C4、B5、D6、C7、ln28、4xe2x9、310、z22xz y11、212、ln x 12x2 2ln y y C13、limx33x2x0 x sin x limx01 cos x 6，.14、dx 11 tdt,dy (2t 2)dt，dydx(2t 2)dt1 2(t 1)2，1tdt2yddyddxdx2dx4(t 1)dt1 4(t 1)2.1 tdt215、令2x 1 t,x t12sin2x 1dx sint tdt td cost t cost cost dt t cost sint C 2x 1cos2x 1 sin2x
7、1 C16、令x 2sin，当x 0,0；当x 1,4.，10 x22 x2dx 402sin22 cos2 cosd4011(1 cos2)d(sin 2)4204217、已知直线的方向向量为s0(3,2,1)，平面的法向量为n0(1,1,1).由题意，所求平面i的法向量可取为n s0 n0(3,2,1)(1,1,1)3jk21 (1,2,1).又显然点(0,1,2)111在所求平面上，故所求平面方程为1(x 1)(2)(y 1)1(z 2)0，即x 2y z 0.18、2ydDDsindd2sind42cos21d2(8csc2 2 2 sin)d3421(8cot 2 2 cos)2 2
8、342zz19、f1cos x f2 y；f2 xcosx f12 xyf22xxy20、积分因子为(x)e，2dxx eln x21.2xdy2y x.dxx1dy2y1在方程两边同乘以积分因子2，得到23.xxx dxx化简原方程xy 2y x为2d(x2y)1.化简得：dxxd(x2y)1dx.等式两边积分得到通解dxx故通解为y x lnx x C21、（1）函数f(x)的定义域为R，f(x)3x 3，令f(x)0得x 1，函数f(x)的单调增区间为(,1,1,)，单调减区间为1,1，极大值为f(1)3，极小值为222f(1)1.（2）f(x)6x，令f(x)0，得x 0，曲线y f(
9、x)在(,0上是凸的，在0,)上是凹的，点(0,1)为拐点.（3）由于f(1)3，f(1)1，f(3)19，故函数f(x)在闭区间2,3上的最大值为f(3)19，最小值为f(1)f(2)1.22、（1）V1a 2a（2）A1222a20 x2dy a4.V2(2x2)2dy(32 a5).a245a02x2dx x02232a.A22x2dx(8 a3).由A1 A2得a 34.a3323、证（1）因为limf(x)limex0 x1，limf(x)lim(x 1)1，且f(0)1，所x0 x0以函数f(x)在x 0处连续。f(x)f(0)ex1f(x)f(0)x 11 lim 1，lim（2）因为lim lim 1，x0 x0 x0 x0 x 0 xx 0 x所以f(0)1,f(0)1.由于f(0)f2(0)，所以函数f(x)在x 0处不可导.24、证 令f(x)4xln x x 2x 3，则f(x)4ln x 2x 2，f(x)相信能就一定能44 2x，由于当1 x 2时，f(x)0，故函数f(x)在1,2)上单调 2 xx增加，从而当1 x 2时f(x)f(1)0，于是函数f(x)在1,2)上单调增加，从而当1 x 2时，f(x)f(1)0，即当1 x 2时，4xln x x2 2x 3