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1、2019年中考数学真题分类训练专题二十：几何探究型问题1（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EMAE，垂足为E，交CD于点M，AFBC，垂足为F，BHAE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求ACD的面积（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE解：（1）作CGAD于G，如图1所示：设PG=x，则DG=4-x，在RtPGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，在RtDGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，17-x2=9+8x-x2，解得：x=1，即PG=
2、1，GC=4，DP=2AP=4，AD=6，SACDAD×CG6×4=12（2）证明：连接NE，如图2所示：AHAE，AFBC，AEEM，AEB+NBF=AEB+EAF=AEB+MEC=90°，NBF=EAF=MEC，在NBF和EAF中，NBFEAF，BF=AF，NF=EF，ABC=45°，ENF=45°，FC=AF=BF，ANE=BCD=135°，AD=BC=2AF，在ANE和ECM中，ANEECM，CM=NE，又NFNEMC，AFMC+EC，ADMC+2EC2（2019广州）如图，等边ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E
3、为边AC上一动点（不与点C重合），CDE关于DE的轴对称图形为FDE（1）当点F在AC上时，求证：DFAB；（2）设ACD的面积为S1，ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时求AE的长解：（1）证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60°，由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，DFC=C=60°，DFC=A，DFAB（2）存在，如图，过点D作DMAB交AB于点M，AB=BC=6，BD=4，CD=2DF=2，点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，当点F在DM上时，SABF最小，BD=4
4、，DMAB，ABC=60°，MD=2，SABF的最小值6×（22）=66，S最大值2×3（66）=-36（3）如图，过点D作DGEF于点G，过点E作EHCD于点H，CDE关于DE的轴对称图形为FDE，DF=DC=2，EFD=C=60°，GDEF，EFD=60°，FG=1，DGFG，BD2=BG2+DG2，16=3+（BF+1）2，BF1，BG，EHBC，C=60°，CH，EHHCEC，GBD=EBH，BGD=BHE=90°，BGDBHE，EC1，AE=AC-EC=73（2019安徽）如图，RtABC中，ACB=90°
5、;，AC=BC，P为ABC内部一点，且APB=BPC=135°（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3证明：（1）ACB=90°，AB=BC，ABC=45°=PBA+PBC，又APB=135°，PAB+PBA=45°，PBC=PAB，又APB=BPC=135°，PABPBC（2）PABPBC，在RtABC中，AB=AC，PA=2PC（3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，PF=h1，PD=h2，PE=
6、h3，CPB+APB=135°+135°=270°，APC=90°，EAP+ACP=90°，又ACB=ACP+PCD=90°，EAP=PCD，RtAEPRtCDP，即，h3=2h2，PABPBC，即：h12=h2·h34（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交E于点D，连接OD（1）求证：直线OD是E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交E于点G，连接BG当tanACF时，求所有F点的坐标_（直接写出）；求的最大值解：（1）证
7、明：如图1，连接DE，BC为圆的直径，BDC=90°，BDA=90°，OA=OB，OD=OB=OA，OBD=ODB，EB=ED，EBD=EDB，EBD+OBD=EDB+ODB，即EBO=EDO，CBx轴，EBO=90°，EDO=90°，点D在E上，直线OD为E的切线（2）如图2，当F位于AB上时，过F作F1NAC于N，F1NAC，ANF1=ABC=90°，ANFABC，AB=6，BC=8，AC10，即ABBCAC=6810=345，设AN=3k，则NF1=4k，AF1=5k，CN=CA-AN=10-3k，tanACF，解得：k，即F1（，0）如
8、图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2MCA于M，AMF2ABC，设AM=3k，则MF2=4k，AF2=5k，CM=CA+AM=10+3k，tanACF，解得：，AF2=5k=2，OF2=3+2=5，即F2（5，0），故答案为：F1（，0），F2（5，0）方法1：如图4，CB为直径，CGB=CBF=90°，CBGCFB，BC2=CG·CF，CF，CG2+BG2=BC2，BG2=BC2-CG2，令y=CG2（64-CG2）=-CG4+64CG2=-（CG2-32）2-322=-（CG2-32）2+322，当CG2=32时，此时CG=4，方法2：设BCG=，则sin，co
9、s，sincos，（sin-cos）20，即：sin2+cos22sincos，sin2+cos2=1，sincos，即，的最大值5（2019宁夏）如图，在ABC中，A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x（1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值解：（1）MQBC，MQB=90°，MQB=CAB，又QBM=ABC，QBMABC
10、（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，MNBQ，BQ=MN，四边形BMNQ为平行四边形（3）A=90°，AB=3，AC=4，BC5，QBMABC，即，解得，QMx，BMx，MNBC，即，解得，MN=5x，则四边形BMNQ的面积（5x+x）x（x）2，当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为6（2019江西）在图1，2，3中，已知ABCD，ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且EAG=120°（1）如图1，当点E与点B重合时，CEF=_°；（2）如图2，连接AF填空：FAD_EAB（填“>”
11、“<”“=”）；求证：点F在ABC的平分线上（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值解：（1）四边形AEFG是菱形，AEF=180°-EAG=60°，CEF=AEC-AEF=60°，故答案为：60°（2）四边形ABCD是平行四边形，DAB=180°-ABC=60°，四边形AEFG是菱形，EAG=120°，FAE=60°，FAD=EAB，故答案为：=证明：如图，作FMBC于M，FNBA交BA的延长线于N，则FNB=FMB=90°，NFM=60
12、°，又AFE=60°，AFN=EFM，EF=EA，FAE=60°，AEF为等边三角形，FA=FE，在AFN和EFM中，AFNEFM（AAS）FN=FM，又FMBC，FNBA，点F在ABC的平分线上（3）如图，四边形AEFG是菱形，EAG=120°，AGF=60°，FGE=AGE=30°，四边形AEGH为平行四边形，GEAH，GAH=AGE=30°，H=FGE=30°，GAN=90°，又AGE=30°，GN=2AN，DAB=60°，H=30°，ADH=30°，AD=A
13、H=GE，四边形ABCD为平行四边形，BC=AD，BC=GE，四边形ABEH为平行四边形，HAE=EAB=30°，平行四边形ABEN为菱形，AB=AN=NE，GE=3AB，37（2019海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q（1）求证：PDEQCE；（2）过点E作EFBC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，D=ECQ=90°，E是CD的中点，DE=CE，又DEP=C
14、EQ，PDEQCE（2）证明：PB=PQ，PBQ=Q，ADBC，APB=PBQ=Q=EPD，PDEQCE，PE=QE，EFBQ，PF=BF，在RtPAB中，AF=PF=BF，APF=PAF，PAF=EPD，PEAF，EFBQAD，四边形AFEP是平行四边形；四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x，由（1）可得PDEQCE，CQ=PD=x，BQ=BC+CQ=1+x，点E、F分别是PQ、PB的中点，EF是PBQ的中位线，EFBQ，由知AP=EF，即1-x，解得x，PD，AP，在RtPDE中，DE，PE，APPE，四边形AFEP不是菱形8（2019陕西）问题提出：（1）如图1，
15、已知ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC，且使BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由（塔
16、A的占地面积忽略不计）解：（1）如图记为点D所在的位置（2）如图，AB=4，BC=10，取BC的中点O，则OB>AB以点O为圆心，OB长为半径作O，O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，BPC=90°，点P不能再矩形外，BPC的顶点P1或P2位置时，BPC的面积最大，作P1EBC，垂足为E，则OE=3，AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8（3）可以，如图所示，连接BD，A为BCDE的对称中心，BA=50，CBE=120°，BD=100，BED=60°，作BDE的外接圆O，则点E在优弧上，取的中点E，连接EB，ED
17、，则EB=ED，且BED=60°，BED为正三角形连接EO并延长，经过点A至C，使EA=AC，连接BC，DC，EABD，四边形ED为菱形，且CBE=120°，作EFBD，垂足为F，连接EO，则EFEO+OA-EO+OA=EA，SBDE·BD·EF·BD·EA=SEBD，S平行四边形BCDES平行四边形BCDE=2SEBD=1002·sin60°=5000（m2），所以符合要求的BCDE的最大面积为5000m29（2019天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，ABO=30°
18、;矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2（）如图，求点E的坐标；（）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE，点C，O，D，E的对应点分别为C，O，D，E设OO=t，矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S如图，当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时，CE，ED分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当S5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）解：（）点A（6，0），OA=6，OD=2，AD=OA-OD=6-2=4，四边形CODE是矩形，DEOC，AED=ABO=30°，在RtAED中，AE=2AD=8，ED4，OD=2
19、，点E的坐标为（2，4）（）由平移的性质得：OD=2，ED=4，ME=OO=t，DEOCOB，EFM=ABO=30°，在RtMFE中，MF=2ME=2t，FEt，SMFEME·FEtt，S矩形CODE=OD·ED=2×48，S=S矩形CODE-SMFE=8，St2+8，其中t的取值范围是：0<t<2；当S时，如图所示：O'A=OA-OO'=6-t，AO'F=90°，AFO'=ABO=30°，O'FO'A（6-t），S（6-t）（6-t），解得：t=6，或t=6（舍去），t=6
20、；当S=5时，如图所示：O'A=6-t，D'A=6-t-2=4-t，O'G（6-t），D'F（4-t），S（6-t）（4-t）×2=5，解得：t，当S5时，t的取值范围为t610（2019北京）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在ABC中，D，E分别
21、是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A=90°，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC4=2，弧2=（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OA=OC，AOC=90°，ACO=45°，DEOC，AED=ACO=45°，作EGAC交直线FP于G，FG=EF，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求，m，综上所述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，P（t，），DEBC，ADE=AOB=90°，AE，PD=PE，AED=PDE，AED+DAE=PDE+ADP=90°，DAE=ADP，AP=PD=PEAE，由三角形中内弧定义知，PDPM，AE，AE3，即3，解得：t，t>0，0<t