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1、第三章 刚体和流体的运动,一、掌握刚体绕定轴的转动定律，理解转动惯量的概念。,二、理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。,3-0教学基本要求,三、掌握刚体绕定轴转动的角动量守恒定理及其适用条件。,1. 刚体,刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。,3- 1 刚体模型及其运动,刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。,-物体内任意两点的距离不变。,刚体运动研究的基础：,刚体是由无数个连续分布的质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元dm。每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的运动是这些质
2、量元运动的总和。,刚体上任一给定直线(或任意二质点间的连线)在运动中空间方向始终不变而保持平行。平动,(一)平动,2. 平动和转动,刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动。,特点：各点位移、速度、加速度均相同-可视为质点。,定点转动转轴上只有一点相对参考系静止，转动方向不断变动。,定轴转动整个转轴相对参考系静止。,如果刚体上所有的质点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称刚体的转动，这条直线称转轴。,(二)转动,陀螺,(三)刚体的复杂运动平动和转动的叠加。,3.自由度,确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标的数目,它反映了运动的自由程度。,火车：被限制在轨道上运动，自由度为1。,飞机：在空中
3、飞行，自由度为3。,轮船：在一水平面上运动，自由度为2。,刚体的自由度,刚体总自由度i=6：,平动自由度t=3,转动自由度r=3,刚体绕CA轴转动,CA的方位,其中两个是独立的。,4. 刚体的定轴转动,定轴转动：,刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动。,且在相同时间内转过相同的角度。,特点：,角位移，角速度和角加速度均相同；质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。,刚体的定轴转动,角位移,角速度,角加速度,?疑 问?,转动平面,沿z 轴分量为 对z 轴力矩,对O 点的力矩：,3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律,一、力矩,力不在转动平面内,相对于转轴,是转轴到力作用线的距离，称为力臂。
4、,(2),(1)在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。,注:,描写刚体转动位置的物理量。,在转动平面内，过O点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右，则OP与极轴之间的夹角为。,角称为角坐标(或角位置)。,角坐标为标量，但可有正负。,二、 刚体转动的角量描述,1.角坐标,描写刚体位置变化的物理量。,角坐标的增量：,称为刚体的角位移。,描写刚体转动快慢和方向的物理量。,角速度,方向：满足右手定则，四指指刚体转动方向，大拇指指向为角速度矢量方向。,2.角位移,3.角速度,角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表
5、示角速度的方向，不必用矢量表示。,刚体上任一质元的速度表示为,4.角加速度,刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为,角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。,说明： 角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；,位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。,三、定轴转动定律,由牛顿运动定律推导：,根据牛顿第二定律有,外力矩,内力矩,对所有质量元求和，且它们的角加速度 均相同，有,合外力矩,合内力矩,因为内力中任一对作用力和反作用力
6、的力矩为零，所以有,令,则,刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。定轴转动定律,讨论：,(4)J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。,(3)J 和质量分布有关；,(2)M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；,(1) M 一定，,质元的质量,质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式,按转动惯量的定义有,四、转动惯量,区别：,平动：,线动量,平动定律,转动：,角动量,转动定律,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,转动惯量反映转动状态 改变的难易
7、程度。,J与M及M对转轴的分布有关；,J与体密度有关；,J与转轴的位置有关。,影响J的因素,五、转动惯量的计算,转动惯量的计算：点线面体,例一 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。(1)轴通过棒的中心并与棒垂直。(2)轴通过棒的一端并与棒垂直。,解：(1)在棒上取质量元，长为 dx，离轴 O 为 x，棒的线密度为,整个棒对轴 O 的转动惯量为,则 dm 对转轴的转动惯量为,(2),平行轴定理,或利用平行轴定理,同样得,例二 求质量为 m，半径为 R 的细圆环和均匀薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动时的转动惯量。,解：(1)在圆环上取一质量元为,该质量元对轴O 的转动惯量为
8、,整个细圆环对轴O 的转动惯量为,(2)在 r 处取一宽为 dr 的圆环，质量为,于是有,整个薄圆盘对轴 O 的转动惯量为,中间挖空后如何？,例三 计算钟摆的转动惯量。(已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r),解：,摆杆转动惯量：,摆锤转动惯量：,根据牛顿定律和转动定律列方程。,解：隔离物体，受力分析，作示力图。,六、定轴转动定律的应用,绳与滑轮无相对滑动,联立(1)(4)式可解得,例2 一长为l 、质量为m 的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定绞链 O 相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力的作用下由静止开始绕绞链 O
9、转动。试计算细杆转到与铅直线呈角时的角加速度和角速度。,由转动定律,于是得,细杆绕轴 O 的转动惯量为,由角加速度定义,进行变换,移项得,积分后化简得角速度为,对上式积分，并利用初始条件,解：建立如图坐标系，在距原点 x 处取宽为 dx 的细薄板，根据题意，其受空气的阻力为,其对Oy 轴的转动阻力矩为,整个薄板的转动阻力矩为,细薄板对Oy 轴的转动惯量为,整个薄板的转动惯量为,由转动定律,即,得,所以得,例4 一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在O点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求：(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度和角加速度。,解：,C,O,B,A,(1),(2),例5 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为o，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘才停止 (设摩擦系数为) 。,解：,作业： P13831,3,4,5,