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1、专题四破体向量专题四破体向量征询题一：破体向量的最值、范围征询题征询题一：破体向量的最值、范围征询题一、考情分析破体向量中的范围、最值征询题是抢手征询题,也是难点征询题,此类征询题综合性强,表达了知识的交汇组合其基此题型是按照已经清楚条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,处置思路是树破目标函数的函数分析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数与“形的双重身份,因此处置破体向量的范围、最值征询题的不的一种思路是数形结合二、阅历分享1.使用破体向量的数量积可以处置几多何中的垂直、夹角、长度等征询题,即只需将征询题转化为向量方法,用向量的运算来求解.假设可以树破
2、适当的直角坐标系,用向量的坐标运算屡屡更为轻便.1.破体向量线性运算征询题的稀有典范及解题策略2.几多何图形中向量的数量积征询题是近多青年高考的又一抢手,作为一类既能调查向量的线性运算、坐标运算、数量积及破体几多何知识,又能调查老师的数形结合才干及转化与化归才干的征询题,实有其公正之处.处置此类征询题的常用方法是：使用已经清楚条件,结合破体几多何知识及向量数量积的全然不雅念开门见山求解(较易)；将条件通过向量的线性运算停顿转化,再使用求解(较难)；建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的征询题屡屡有特不好结果.3坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量征询题转化为代数征询题来处
3、置,而坐标的获得素日要借助于直角坐标系.关于某些破体向量征询题,假设能树破适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几多何关联转化为复杂昏暗的代数关系,添加推理过程,有效地落低思维量,起到事半功倍的结果 上面两题全然上通过树破坐标系将向量征询题转化为函数与不等式征询题求解,表达了向量解题的货色性.三、知识拓展1.2四、题型分析四、题型分析(一一)破体向量数量积的范围征询题破体向量数量积的范围征询题已经清楚两个非零向量跟,它们的夹角为,把数量叫做跟的数量积(或内积),记作.即=,规那么,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已经清楚向量的模跟夹角时,可使用定义法求解,即=；(2)当已经清楚向量的坐标时,
4、可使用坐标法求解,即假设 a(x1,y1),b(x2,y2),那么 abx1x2y1y2；3使用破体向量全然定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算学科-网【例 1】在边长为 2 的等边三角形中,是的中点,为线段上一动点,那么的取值范围为【分析】使用向量的加法或减法法那么,将向量分不表示,结合已经清楚条件设|,将用变量表示,进而转化为二次函数的值域征询题【点评】将用某个变量表示,转化为函数的值域征询题,其中选择变量要有可把持性【小试牛刀】【2018 届华南师范大年夜学从属中学高三综合测试】如图,半径为 1 的扇形中,是弧上的一点,且称心,分不是线段上的动点,那么的最大年夜值为A.B.C.1
5、D.【答案】C【分析】扇形的半径为 1,应选 C.(二二)破体向量模的取值范围征询题破体向量模的取值范围征询题设,那么,向量的模可以使用坐标表示,也可以借助“形,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合破体几多何知识求解,尤其留心,假设开门见山求模不易,可以将向量用基底向量表示再求【例 2】已经清楚向量称心与的夹角为,那么的最大年夜值为A B C D【分析】按照已经清楚条件可树破直角坐标系,用坐标表示有关点向量,判定变量称心的等式跟目标函数的分析式,结合破体几多何知识求最值或范围.【分析】设；以 OA 所在直线为 x,O 为坐标原点树破破体直角坐标系,与的夹角为,那么 A4,0,B2,2,设 C
6、x,y,x2+y2-6x-2y+9=0,即x-32+y-12=1 表示以3,1为圆心,以 1 为半径的圆,表示点 A,C 的距离即圆上的点与点 A4,0的距离；圆心到 B 的距离为,的最大年夜值为,应选：D【点评】树破直角坐标系的原那么是能精确快捷地表示有关向量或点的坐标,精确寻到变量间的关系,以及目标函数代表的几多何意思是解题关键【小试牛刀】【2018 届山东省济南高三上学期期末】已经清楚破体上的两个向量跟称心,且,假设向量,且,那么的最大年夜值为_学科网【答案】【分析】来源:学_科_网(三三)破体向量夹角的取值范围征询题破体向量夹角的取值范围征询题设,且的夹角为,那么【例 3】已经清楚向量
7、与的夹角为,时获得最小值,事前,夹角的取值范围为A.B.C.D.【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值征询题,事前,取最小值,由已经清楚条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解【分析】由题意知,因此,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,求得,因此,故应选 C.【点评】求变量的取值范围、最值,屡屡要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值征询题,时代要留心变量之间的关系,进而得解【小试牛刀】已经清楚非零向量称心,假设函数在 R 上存在极值,那么跟夹角的取值范围为A.B.C.D.【答案】B【分析】,设跟夹角为,由于有极值,因此,即,即,因此四四破体向量系
8、数的取值范围征询题破体向量系数的取值范围征询题破体向量中涉及系数的范围征询题时,要留心使用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围【例 4】已经清楚,且与的夹角为锐角,那么的取值范围是【分析】与的夹角为锐角等价于,且与不共线同向,因此由,得,再拆除与共线同向的状况【分析】由于与的夹角为锐角,且与不共线同向,由,解得,当向量与共线时,得,得,因此的取值范围是且【点评】留心向量夹角与三角形内角的区不,向量夹角的范围是,而三角形内角范围是,向量夹角是锐角,那么且,而三角形内角为锐角,那么【小试牛刀】【2018 届辽宁省丹东市高三上学期期末】已经清楚扇形
9、的圆心角是,半径是 1,是弧上不与,重合的一点,设,假设存在最大年夜值,那么实数的取值范围为A.B.C.D.【答案】A【分析】设射线上存在,使,交于,由于,设,由三点共线可知,因此,那么存在最大年夜值 1,即在弧 AB 上存在与平行的切线,因此,应选 A.五、迁移使用五、迁移使用1【2018 届浙江省台州市高三上学期期末】已经清楚,是两个非零向量,且,那么的最大年夜值为A.B.C.4D.【答案】B【分析】,令,那么,令,妥事前,事前,事前,获得最大年夜值,应选 B.2【2018 届安徽省淮南市高三第一次2 月模拟】已经清楚是的重心,过点作直线与,交于点,且,那么的最小值是()A.B.C.D.【
10、答案】D【分析】如图三点共线,是的重心,解得,结合图象可知令故故当且仅当等号成破,应选 D3.【2018 上海市杨浦区高三数学一模】设、是半径为 1 的球面上的四个差异点,且称心,用、分不表示、的面积,那么的最大年夜值是A.B.2C.4D.8【答案】B【分析】设,两两互相垂直,扩大年夜为长方体,它的对角线为球的直径,即、分不表示、的面积,当且仅事前取等号的最大年夜值是,应选 B4【2018 届河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量称心,那么的最大年夜值等于学&*科网来源:ZXXKA.4B.2C.D.1【答案】A5【2018 届山西省芮城中学高三上学期期中】长度都为的向量,的夹角为,点在以为
11、圆心的圆弧劣弧上,那么的最大年夜值是A.B.C.D.【答案】B【分析】=m+n,2=m+n2,即,即 m2+n2+mn=1,故,当且仅当 m=n 时,等号成破；故,故的最大年夜值为,故答案为：6【2017 广东汕头市高三上学期期末】在破体内,定点称心,动点称心,那么的最大年夜值是ABC.D【答案】B【分析】甴已经清楚易得以为原点,直线为轴树破破体直角坐标系,如以下列图,那么设由已经清楚,得,又,因此,因此,它表示圆上的点与点的距离的平方的,因此,应选 B7【2017 届江西鹰潭一中高三上学期月考】在中,的交点为,过作动直线分不交线段,于,两点,假设,那么的最小值为ABCD【答案】D【分析】由,
12、三点共线可得存在实数使得,同因由,三点共线可得存在实数使得,解得,设,那么,即,即,故,即的最小值为,应选：D8【2017 届福建福州本国语黉舍高三适应性检验】三棱锥中,已经清楚,点是的重心,且,那么的最小值为A2BCD【答案】A9【2017 届福建福州本国语黉舍高三上学期期中】已经清楚向量称心,且关于的函数在实数集上单调递增,那么向量的夹角的取值范围是ABCD【答案】C【分析】求导数可得,那么由函数在实数集上单调递增,可得恒成破,即恒成破,故判不式恒成破,再由,可得,应选：C10【2017 届甘肃天水一中高三 12 月月考】已经清楚中,过中线的中点任作一条直线分不交边,于,两点,设,那么的最
13、小值【答案】【分析】由已经清楚可得,由.11【2017 吉林长春五县高二理上学期期末】已经清楚,向量与垂直,那么的最大年夜值为【答案】来源:学。科。网 Z。X。X。K【分析】由于向量与垂直,因此,即,因此,当且仅事前取等号,因此的最大年夜值为,故答案为.12【2017 河北武邑中学周考】已经清楚直角梯形中,是腰上的动点,那么的最小值为_.【答案】【分析】如以下列图,以直线分不为轴树破破体直角坐标系,那么,设,那么,因此,因此,因此的最小值为.13【2017 学年河北武邑中学周考】在破体直角坐标系中,为原点,动点称心,那么的最大年夜值是_.【答案】【分析】由题意可得,点在以为圆心的单位圆上,设点
14、的坐标为,那么14【2017 届河北武邑中学高三周考】已经清楚向量,其中为原点,假设向量与的夹角在区间内变卦,那么实数的取值范围是学&*科网【答案】15【2018 届辽宁师范大年夜学从属中学高三上学期期末】直角梯形中,是边长为的正三角形,是破体上的动点,设,那么的最大年夜值为_【答案】【分析】以为原点,为轴,所在直线为轴,树破直角坐标系,可设,由于,因此,即的最大年夜值为故答案为.16.【2018 届湖南师范大年夜学从属中学高三上学期月考】已经清楚向量夹角为,对任意,有,那么的最小值是_【答案】【分析】向量夹角为,对任意,有,单方平方拾掇可得,那么,即有,即,那么,由向量夹角为,由,即有,那么
15、,画出,树破破体直角坐标系,如以下列图,那么,表示与的距离之跟的倍,当共线时,获得最小值,即有,故答案为.17【2018 届江苏省泰州中学高三 12 月月考】在矩形中,假设,分不在边,上运动包括端点,且称心,那么的取值范围是_【答案】1,918.【2018 届安徽省蒙城“五校联考】在中,点在线段的延长线上,且,点在线段上与点不重合,假设,那么的取值范围是_【答案】【分析】由于,由于,点在线段上,因此,由于,因此.来源:19【2017 届四川双流中学高三训练】已经清楚向量,其中,全然上正实数,假设,那么的最小值是_【答案】【分析】由,得,即,因此又,全然上正实数,因此当且仅事前获得等号,现在,故答案为：20【2017 届江苏南京市盐城高三一模考】在中,已经清楚,那么的最大年夜值为.【答案】【分析】,由余弦定理得：,因此,当且仅事前取等号21【2017 届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已经清楚中,的最小值为,假设为边上任意一点,那么的最小值是【答案】【分析】令,事前,由于,因此,那么树破直角坐标系,设,那么,因此；事前,解得,因此,那么树破直角坐标系,设,那么,因此综上所述,事前,获得最小值来源: