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1、.1/5第五章第五章教学课题教学课题：第二节第二节解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点教学目的教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型；2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的所有情况；4、充分理解关于本性奇点的两大定理。教学重点教学重点：孤立奇点的三种类型教学难点教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理教学方法教学方法：启发式、讨论式教学手段教学手段：多媒体与板书相结合教材分析教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域一个解析函数的性质。教学过程教学过程：1、解析函数的孤立奇点：解析函数的孤立奇点：设函数f(z)在去
2、掉圆心的圆盘)0(|0:0RRzzD确定并且解析，那么我们称0z为f(z)的孤立奇点。在D，f(z)有洛朗展式,)()(0nnnzzzf其中,.)2,1,0(,)()(2110CnnndzfiC是圆)0(|0Rzz。,)(00nnnzz为 f(z)的正那么局部，,)(10nnnzz为 f(z)的主要局部。例如，0 是zezzzz12,sin,sin的孤立奇点。一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负数幂的情况主要局部的情况，可以把孤立奇点分类如下：.2/52 2、可去奇点、可去奇点如果当时n=-1,-2,-3,，0n，那么我们说0z是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在0z有可去奇点
3、。这是因为令00)(zf，就得到在整个圆盘Rzz|0的解析函数f(z)。例如，0 分别是zezzzz12,sin,sin的可去奇点、单极点及本性奇点。定理定理 5.35.3 函数f(z)在)0(|0:0RRzzD解析，那么0z是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，0)(lim0zfzz，其中0是一个复数。证明证明：必要性必要性。由假设，在Rzz|00，f(z)有洛朗级数展式：.)(.)()(0010nnzzzzzf因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在Rzz|0解析，于是显然存在着0)(lim0zfzz。充分性充分性。设在Rzz|00，f(z)的洛朗级数展式是,
4、)()(0nnnzzzf由假设，存在着两个正数M及)(0R，使得在00|0zz，,|)(|Mzf那么取，使得00，我们有,.)2,1,0(221|1nMMnnn当n=-1,-2,-3,时，在上式中令趋近于 0，就得到,.)3,2,1(0nn。于是0z是f(z)的可去奇点。推论推论 5.35.3 设函数f(z)在)0(|0:0RRzzD解析，那么0z是f(z)的可去奇点 的必要与充分条件是：存在着某一个正数)(0R，使得f(z)在00|0zz有界。.3/53.3.席瓦尔兹席瓦尔兹(Schwarz)(Schwarz)引理引理如果函数)(zf在单位圆1z解析，并且满足条件)1(,1)(,0)0(zz
5、ff那么在单位圆1z恒有1)0()(fzzf且有如果上述等式成立或在圆1z一点00z出前一式等号成立那么当且仅当)1(,)(zzezfi4.4.极点极点下面研究极点的特征。如果只有有限个至少一个整数n，使得0n，那么我们说0z是f(z)的极点。设对于正整数m，0m，而当n1，我们也称0z是f(z)的单极点或m重极点。设函数f(z)在Rzz|00解析，0z是f(z)的)1(m阶极点，那么在Rzz|00，f(z)有洛朗展式：.)(.)(.)()()(0010011010nnmmmmzzzzzzzzzzzf在这里0m。于是在Rzz|00.)(.)(.)()()(0010011010nnmmmmzzz
6、zzzzzzzzf在这里)(z是一个在Rzz|0解析的函数，并且0)(0z。反之，如果函数f(z)在Rzz|00可以表示成为上面的形状，而)(z是一个在Rzz|0解析的函数，并且0)(0z，那么可以推出0z是f(z)的m阶极点。定理定理 5.45.4 设函数f(z)在)0(|0:0RRzzD解析，那么0z是f(z)的极点的必要与充分条件是：)(lim0zfzz。.4/5证明证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数)(0R，使得在00|0zz，0)(zf，于是)(1)(zfzF在00|0zz解析，不等于零，而且0)(1lim)(lim00zfzFzzzz。因此0z是
7、F(z)的一个可去奇点，从而在00|0zz，有洛朗级数展式：.)(.)()(0010nnzzzzzF我们有0)(lim00zFzz。由于在00|0zz，0)(zF，由定理 5.1，可以设0,0.110mm。由 此 得)()()(0zzzzFm，其 中)(z在00|zz解析，并且不等于零)0)(0mz。于是在00|0zz，)()(1)(0zzzzfm，在这里，)(1)(zz在00|zz解析，)0)()(10mmz。因此0z是f(z)的m阶极点。推论推论 5.45.4 设函数f(z)在)0(|0:0RRzzD解析，那么0z是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：mmzzzfzz)()(lim00，
8、在这里m是一个正整数，m是一个不等于 0 的复数。5.5.本性奇点本性奇点关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：如果有无限个整数n0，使得0n，那么我们说0z是f(z)的本性奇点本性奇点。定理定理 5.65.6 函数f(z)在)0(|0:0RRzzD解析，那么0z是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限)(lim0zfzz。例 0 是函数ze1的本性奇点，不难看出zze10lim不存在。解：当z沿正实轴趋近于 0 时，ze1趋近于；.5/5当z沿负实轴趋近于 0 时，ze1趋近于 0；当z沿虚轴趋近于 0 时，ze1没有极限。6.毕卡毕卡PicardPicard定理定理定理定理 5.75.7 如果 a 为 f(z)的本性奇点，那么对于任何常熟 A 不管它是有限数还是无限数，都有一个收敛于 a 的点列 nz，使得Azfazn)(lim证略