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1、精选优质文档-倾情为你奉上2 解析函数的孤立奇点一、教学目标或要求：掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明重点：解析函数的孤立奇点的分类难点: 许瓦兹引理的叙述和证明三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 472 解析函数的孤立奇点1. 孤立奇点的三种类型若为的孤立奇点，则在点的某去心邻域内可以展开成Laurent展式 。定义5.3 设点为函数的孤立奇点：(1)若在点的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent展式不含负幂项），则称点为的可去奇点；(2)若在点的罗朗级数
2、的主要部分有有限多项，设为则称点为的级（阶）极点；(3)若在点的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点为的本性奇点依定义，点为的可去奇点，点为的二级极点，点为的本性奇点2. 可去奇点定理5.3 若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：(1) 在点 的主要部分为0；(2)(3) 在点 的某去心邻域内有界。证 由于 且在内解析，从而连续，故 。由于 ,故 取 ，则 , 即得。设 ， 考虑 在 的主要部分则对 成立，故当 时， 即得。3.Schwarz引理如果函数在单位圆内解析，并且满足条件则在单位圆内恒有 且有。如果上式等号成立，或在圆内一点处前一式等号成立，则，其中为一实常数。证 设 ，令由于在
3、 内,作为和函数 是解析,又当 时， ，在 时， ，故在内,于是在 内,是解析的。任取,若满足条件,则根据最大模原理,令,则,从而,又，即 。由于 时 ，故 ，又，故可统一成（1）的形式。当3)或4)成立时,由最大模定理 在 或0点取到了最大模，因此 常数 ，使，即，故 。4. 极点定理5.4 若以为孤立奇点,则下列三个条件是等价的:(1) 在点 的主要部分为； (2) 在点 的某去心邻域内能表示成，其中在点的邻域内解析且 ；(3) 以 为 级零点(可去奇点要当作解析点看，只要令 。证 “” 在点 的某去心邻域、内有其中在的邻域上解析，且在 的某去心邻域 中，其中在内解析且，故在点连续，从而存
4、在中 的某一个邻域 ，其上 ，从而在 上解析，故 由可去奇点的特征知，为的可去奇点，令，则以 为 级零点。若以为级零，则在的某个邻域内，其中在上解析,且,于是存在的某个邻域,其上,于是在上解析,故有Taylor展式: 故定理5.5 的孤立奇点 为极点 .证 根据定理5.4，以为极点以 零点。例 求 的奇点,并确定其类型。解 的奇点为，由于以为一级零点,以 为二级零点,故以为一级极点，以 为二级极点。例 求的全部有限奇点。并确定其类型。解 的全部有限奇点为,由于为 的聚点，故 为 的非孤立奇点。现考虑 为 的几级零点。故为的一级零点，从而为的一级极点。5.本性奇点 定理5.6 的孤立奇点为本性奇
5、点，即 不存在。证 由于 的孤立奇点为可去奇点为为极点 ，即得。定理5.7 若为的孤立奇点,且在的充分小的去心邻域内不为0,则也为的本性奇点。证 令则由为的孤立奇点，且在的充分小的可去邻域内 知 为 的孤立奇点。若为的可去奇点，则；若 则此时为的极点,与已知矛盾；若,则,此时为的可去奇点, 也与已知矛盾。若为的极点,则,从而 ，即 为 的可去奇点，与已知矛盾。综合知，只能是的本性奇点。例 为的本性奇点，因为不存在。6毕卡定理定理5.8 如果点为的本性奇点，则对于任何常数，不管它是有限数还是无穷，都有一个收敛于的点列，使得.换句话说，在本性奇点的无论怎样小的去心邻域内，函数可以取任意接近于预先给
6、定的任何数值（有限的或无穷的）。证 “” 当时,由于为的本性奇点，故一定不是的可去奇点,由定理5.3，在的任何一个去心邻域内无界，对任意的 都存在 则 当时,若在的任意小去心邻域内都有某一点使,则结论已得。若的充分小去心邻域内,令则在内解析。由于为的本性奇点,也为的本性奇点,由定理5.7,为的本性奇点，类似于中的证明由不是的可去奇点知，存在点列 从而 根据已知条件得 不存在，由定理5.6即得。例 设，试求在复平面上的奇点，并判定其类别解 首先，求的奇点的奇点出自方程的解解方程得若设，则易知为的孤立奇点另外，因所以，由零点的定义知为的一级零点从而知均为的一级极点例 求出的全部零点和级别。解：由=
7、0 解此方程.即 =1 即 -zi=0两边同乘以得-2i-1=0 即 ，从而有=I令即有 , 即 ，从而有 ，。故，1，)为的全部零点。又 ， 因此，1，)是的二级零点。例 求函数(k=1,) 是的奇点，其中是孤立奇点，因为，且0故是的一级极点。又 ,因此，是的聚点, 故是非孤立零点。课后讨论1.到目前为止，我们学过了解析函数的哪些表达式？2.何谓解析函数的零点？零点是否必是解析点？3.Laurent展开的条件是什么？有哪些展开方法？4. 将函数 以z=0为中心进行Laurent展开和在z=0的去中心领域中进行Laurent展开有区别？为什么？5.在单连通区域 内解析的函数的Taylor展开和
8、Laurent展开是否一样？在复通区域中解析的函数呢？试举例说明。6.以下推理是否正确？为什么？ 因为Laurent展开的系数公式为 故由解析函数的高阶导数公式（1.2.18）有 7.易于得到，函数 以 为中心的Laurent展开式为 和 还是否与Laurent展开的惟一性相矛盾8.何谓孤立奇点？何谓非孤立奇点？孤立奇点又分为哪几类？9.试小结判定奇点类型的方法，并用你所小结归纳的方法判定，函数， 的诸奇点各属哪类？10.函数 的解析性与奇点分类与函数 的解析性与奇点分类之间有什么关系？11.对于 为孤立奇点，如何对其进行分类？12.函数 在 的去心邻域能否展开为Laurent级数？为什么？专心-专注-专业