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1、SnSn12020 数列大题必刷热点题型数列大题必刷热点题型1（2020抚顺模拟）设an是一个首项为2，公比为q(q1)的等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列（1）求an的通项公式；（2）已知数列bn的前n项和为Sn，b11，且1(n2)，求数列anbn的前n项和Tn2（2020福建二模）已知数列a 满足a1，a0，(1a)(1a)(1a)(1a)a，n N*n1n1（1）证明数列是等差数列；an1（2）求数列an1an 2的前n项和Tn123n1n13（2020安阳二模）记数列an的前n项和为Sn，已知Sn2an2n1（）求数列an的通项公式；（）记b (1)n2 4)4，数列b 的前
2、n项和为T，求T nlog23(an3nnnn4（2020春武汉期中）已知数列a 各项均为正数，S为其前n项的和，且a，S，a2(nN*)成等差数nnnnn列（1）写出 a1、a2、a3的值，并猜想数列an的通项公式 an；（2）证明（1）中的猜想；（3）设bn 10 2an，Tn为数列|bn|的前n项和，求Tn5（2020 春 武 昌 区 校 级 期 中）在 数 列 an，bn 中，a1 b1 1，an1 4bn an 2n 1，b 4a b 2n1,nN*等差数列c 的前两项依次为 a，b n1nnn23（1）求cn的通项公式；（2）求数列(an bn)cn的前n项和 Sn6（2020 春
3、杭州期中）设数列a 前n项 和 S，且 S 2a 2(n N*)，递 增数 列b 满 足nnnnn2b b b(nN*)，b a，且b，b，b 成等比n1nn211124（）求数列an，bn的通项公式；（）求证：1 11 23a1 b(nN*)1bnn2na(1)7（2020春武侯区校级期中）已知数列an满足a11，an13an(为常数）（1）试探究数列a 1是否为等比数列，并求 a；n2n（2）当 2 时，求数列n(a 1)的前n项和T n2n8（2020深圳一模）公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，S315，且a1，a3，a11成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设b a5n
4、，试问数列b 是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n的值；若不存在，请说明nn(6)n理由9（2020河西区一模）设an是各项均为正数的等差数列，a11，a31是a2和a8的等比中项，bn的前n项和为 S，2b S 2(n N*)nnn（）求an和bn的通项公式；（）设数列c 的通项公式c an 2,n为奇数n N*nnb,n为偶数(i)求数列cn的前 2n 1项和 S2n1；i(ii)求i(nN*)i1ci*nknnknnn10（2020晋中模拟）已知等差数列an前n项和为Sn，a59，S525（1）求数列an的通项公式及前n项和 Sn；（2）设b (1)nS，求b 前n项和T nnnn1
5、1（2020重庆模拟）已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1（）求an的通项公式；（）设b log(aa)，数列b 的前n项和为T，求证：111 2 n3nn1nnTTT12n12（2020宝ft区二模）定义：an是无穷数列，若存在正整数k使得对任意nN，均有aa(aa)则称an是近似递增（减)数列，其中 k 叫近似递增（减)数列an的间隔数（1）若 an n (1)，a 是不是近似递增数列，并说明理由；（2）已知数列a 的通项公式为 a 1a，其前n项的和为 S，若 2 是近似递增数列S 的间隔数，n求a的取值范围；n(2)n1nn（3）已知 a n sin n，证明a 是近似
6、递减数列，并且 4 是它的最小间隔数n2n2nn16n1nn2213（2020西城区模拟）从前n项和Snnp(pR)，aa3，a11且2aaa这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答在数列a 中，a 1，其中nN*n1（）求an的通项公式；（）若 a，a，a 成等比数列，其中m，n N*，且 m n 1，求m的最小值1nm注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分14（2020滨海新区模拟）已知数列a 前n项和为S1n211n，数列b 等差，且满足b 11，前 9n项和为 153（）求数列an、bn的通项公式；n22n3（）设c 3，数列c 的前n项和为T n(2a 11)(2
7、b1)nnnn15（2020滨海新区模拟）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn（）求数列an、bn的通项公式；n2n2，数列bn满足：anlog2bn，nN*1an 2n为奇数,（）设cn，T 为数列c 的前n项和，求T nnn2nn为偶数,bn2na16（2020金凤区校级模拟）已知数列a 满足a2，na(n1)a2n(n1)，设bann1n1nnn（）证明数列bn是等差数列，并求其通项公式；（）若 cn 2n n，求数列c 的前n项和b17（2020春江岸区校级期中）（1）数列an的前n项和为Sn10nn，求数列|a|的前n项和（2）已知等差数列a 满足 a 0，a a 10 求数列an的
8、前n项和n2682n118（2020宿迁模拟）已知数列a 的前n项和为S，把满足条件aS(nN*)的所有数列a 构成的nnn1nn集合记为 M（1）若数列a 的通项为 a 1，则a 是否属于 M？nn2nn（2）若数列an是等差数列，且an n M，求 a1的取值范围；4n（3）若数列an的各项均为正数，且anM，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，n给出一个数列an的通项：若不存在，说明理由n nS19（2020濮阳一模）已知数列a 满足2na2n1a1，数列b 是各项均为正数的等比数列，且nnn1nb4b6 4b5b7，a1 b1 1（）求an和bn的通项公式；n 1,n为偶数（
9、）设 p 2，求数列 p 的前 2n 项和 S nn2nbn,n为奇数20（2020武汉模拟）已知数列an的前n项和为Sn，a11，Snan1(l)求数列an的通项公式；（2）若b n，求数列b 的前n项和为T nnnn21（2020济宁模拟）已知数列an为等差数列，且a23，a4a5a60（）求数列an的通项 an，及前n项和 Sn；（）请你在数列an的前 4 项中选出三项，组成公比的绝对值小于 1 的等比数列bn的前 3 项，并记数列bn的前n项和为Tn若对任意正整数 k，m，n，不等式 Sm Tn k 恒成立，试求 k 的最小值222（2020ft东模拟）已知数列an是等比数列，且a11
10、，其中a1，a21，a31成等差数列（1）数列an的通项公式；（2）记ban,n为奇数，求数列b 的前 2n 项和T nlog a,n为偶数n2n2n23（2020浙江模拟）数列a 满足a1且a(11)a 1(n1)n(I)证明：an2(n2)；（）证明：an e(n1)1n1n2 nn2n24（2020滨海新区模拟）已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项数列b 满足b 1，数列(bb)a 的前n项和为2n2 nn1n1nn（）求数列an的通项公式；（）求数列bn的通项公式2n25（2020 罗湖区校级模拟）已知递增等差数列 an满足 a1 a5 10，a
11、2a4 21，数列 bn满足2 log2bn an 1，n N*（）求bn的前n项和 Sn；（）若Tn nb1(n 1)b2 bn，求数列Tn的通项公式26（2020黔东南州模拟）设Sn为数列an的前n项和，a11，且Sn12Snn1（1）证明：数列Sn n 为等比数列，并求 an（2）求数列 an的前n项和T n27（2020朝阳区模拟）已知集合SnX|X(x1，x2，xn0，1，i1，2，n(n2)，对于A (a1，a2，an)Sn，B (b1，b2，bn)Sn，定义 A与 B的差为 A B (|a1b1|，|a2b2|，|an bn|)；A 与 B 之间的距离为 d(A,B)|a1 b1
12、|a2 b2|an bn|（）若 A B (0,1)，试写出所有可能的 A，B；（）A，B，C Sn，证明：(i)d(A C，B C)d(A，B)；(ii)d(A，B)，d(A,C)，d(B,C)三个数中至少有一个是偶数；（）设 P Sn，P 中有 m(m 2，且为奇数）个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 dp，证明：dn(m1)p2mbb28（2020嘉兴模拟）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn为b1 1，且b2 b3 20（）求an和bn的通项公式；n2n2公比大于 0 的等比数列bn的首项(a)27*（）若c n，求证：c c c c ，(n N)123nn29（2020天津
13、一模）设an是等比数列，bn是等差数列已知a48，a3a22，b1a2，b2b6a5（1）求an和bn的通项公式；（2）设c a2m1b2m1,n 2m 1,其中 m N*，求数列c 的前 2n 项和n2m1,n 2m,n30（2019秋东城区期末）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”（）已知等比数列an(nN*)满足：a2a3a4，2a1a33a2，判断数列an是否为“M数列”；（）设m为正整数，若存在“M 数列”cn(n N*)，对任意不大于m的正整数 k，都有ckkck 1成立，求m的最大值n2SnSn1b1Sn1Sn2参考答案与试题解析参考答案与试题解析1（2020抚顺模拟
14、）设an是一个首项为2，公比为q(q1)的等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列（1）求an的通项公式；（2）已知数列bn的前n项和为Sn，b11，且1(n2)，求数列anbn的前n项和Tn【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的定义和通项公式可得 S，再由数列的递推式可得 a，则 ab 2(2n 1)3n1，结合数nnnn列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和【解答】解：（1）an是一个首项为2，公比为q(q1)的等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列，可得4a3aa，即42q322q2
15、，解得q3(1舍去），则a 23n1，n N*；213n（2）由1，且 1(n2)，可得 Sn是首项和公差均为 1 的等差数列，可得1 n 1 n，即 Sn n，可得 n 1时，b S 1；n2时，b S S n2(n 1)2 2n 1，对 n 1时，该式也成立，11nnn1则bn 2n 1，nN*，可得 anbn 2(2n 1)3n1，n1则Tn 2113359(2n 1)3，3Tn 21339 527 (2n1)3n，n1n3(13n1)n上面两式相减可得 2Tn 21 2(39 3)(2n1)3 2121 3(2n 1)3，化简可得Tn 2 2(n 1)3 n【点评】本题考查等差数列和等
16、比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题2（2020福建二模）已知数列a 满足a1，a0，(1a)(1a)(1a)(1a)a，n N*n1n1（1）证明数列是等差数列；an1（2）求数列an1an 2的前n项和Tn123n1n1【分析】本题第（1）题根据题意由(1 a1)(1 a2)(1 a3)(1 an1)an1，可得S1Sn(1 a)(1 a)(1 a)(1 a)(1a)a1，然后将两式相比并进一步转化计算可判别出数列是等123差数列；n1n2n2an1第（2）题先根据题干计算出1a2 1，再以第（1）题的结果可得到数列 21a
17、n1 的通项公式，即可得到 an1的表达式，进一步可计算出数列an1an 2的通项公式，然后运用裂项相消法可求出前n项和Tn【解答】（1）证明：依题意，由(1 a1)(1 a2)(1 a3)(1 an1)an1，可得(1 a)(1 a)(1 a)(1 a)(1a)a，a 0，nN*，可得1 aan 2，123n1n 2n2nn2an1两边同时乘以1an2，可得1an211an1，即1an21an1 1，数列1an1 是以 1为公差的等差数列（2）解：由题意，可知(1 a)(1 a)a，a 1，2(1 a)a，解得 a 2，则1 1，1221222a22由（1）知，1 1(1)(n 1)2n 1
18、，故a 2，n N*，an122n12n 1 a a(2)(2)4 2(11)，n1 n 22n 12n 1(2n 1)(2n1)2n 12n 1T a a aa aa 2(11)2(11)2(11)n2334n 1n23352n 12n 1 2(111111)2(11)4n3352n 12n 12n 12n 1【点评】本题主要考查等差数列的判别，以及运用裂项相消法求前n项和问题考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题3（2020安阳二模）记数列an的前n项和为Sn，已知Sn2an2n1（）求数列an的通项公式；（）记b (1)n2 4)4，
19、数列b 的前n项和为T，求T nlog23(an3nnn【分析】（）运用数列的递推式：n 1时，a1 S1，n2时，an Sn Sn1，化简整理，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；（）运用对数的运算性质化简可得bn(1)n，再对n讨论是奇数和偶数，运用并项求和，计算可得所n求和【解答】解：（）当n 1时，由Sn2an2n1，可得a1S12a121，即有a11当 n2时，an Sn Sn1 2an 2n 1 2an1 2n 2 1，n1n11S即为 an 2an1 2，可得 an 2 2(an1 2)，显然 an1 2 0，所以数列an 2是首项为 3，公比为 2 的等比数列，则a
20、n 2 32，即有an32 2，nN*；（）b(1)n2 4)4(1)n22n1 2)4 (1)nlog 2n(1)nn，nlog23(an3log23(332当n为偶数时，Tn(1 2)(3 4)(n 1 n)1n；2当n为奇数时，T T b 1(n 1)n 1(n 1)nn1n22综上可得，T1n,n为偶数 2nn 1,n为奇数 2【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式以及求和公式，同时考查对数的运算性质，对数值n的奇偶性进行分类讨论求解，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题4（2020春武汉期中）已知数列a 各项均为正数，S为其前n项的和，且a，S，a2(nN*)成
21、等差数nnnnn列（1）写出 a1、a2、a3的值，并猜想数列an的通项公式 an；（2）证明（1）中的猜想；（3）设bn 10 2an，Tn为数列|bn|的前n项和，求Tn2*a a2【分析】本题第（1）题由a，S，a(nN)成等差数列，可得 S nn，然后依次将n 1、2、3 代nnnn2入表达式进行计算可得 a1、a2、a3的值，并由此可猜想出数列an的通项公式；第（2）题可应用公式 aS1,n 1证明（1）中的猜想；nnSn1,n2第（3）题先根据第（2）题的结果计算出数列bn的通项公式并进行转化可发现数列bn是以 8 为首项，2为公差的等差数列，然后对数列bn的正负性进行分析可得数列
22、|bn|的通项公式，即当1n5时，|bn|bn，；当 n6时，|bn|bn，然后根据分1n5和 n6两种情况分别求和，根据等差数列的求和公式可计算出Tn的表达式，最后综合可得结果【解答】（1）解：依题意，由 a，S，a2(n N*)成等差数列，可得 Sa a2nnnnnn2a a2当n 1时，a S11，解得a0（舍去），或a1，11211*nn1nn1nn1n2a a2当n 2时，S22aa1a，解得a 1（舍去），或a2，2212222a a2当n 3时，S33aaa3a，解得a 2（舍去），或a3，32123333 a1 1，a2 2，a3 3，猜想：数列an的通项公式 an n，n N
23、*a a2aa2（2）证明：当 n 1时，a11满足猜想，当 n2时，由 Snnn，可得 S2n1n1，n12a a2aa2a S Snnn1n1化简整理，得(a a)(a a 1)0，nnn122nn1nn1an 0(nN)，则a a 0，a a1 0，即a a1，数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，an 1 1(n 1)n，n N*即猜想成立（3）解：由（2）知，bn 10 2an 10 2n 8 (2)(n 1)，故数列bn是以 8 为首项，2 为公差的等差数列令bn，0，即10 2n0，解得1 n 5，令bn，0，即10 2n 0，解得 n6，当1n5时，|bn|bn；当
24、n6时，|bn|bn，当1n5时，T|b|b|b|b b b 8n n(n 1)(2)n2 9n，n12n12n2当 n6时，Tn|b1|b2|bn|b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 bn 2(b b b b b)(b b b)2(52 95)(n2 9n)n2 9n 40，1234512nn29n,1n5综上所述，可得Tn 9n 40,n6【点评】本题主要考查运用归纳猜想再加以证明的方法求得数列的通项公式，以及绝对值数列的求和问题考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，等差数列的判别及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属综合性较强的中档题5（2020 春 武 昌
25、 区 校 级 期 中）在 数 列 an，bn 中，a1 b1 1，an1 4bn an 2n 1，b 4a b 2n1,nN*等差数列c 的前两项依次为 a，b n1nnn23（1）求cn的通项公式；（2）求数列(an bn)cn的前n项和 Sn【分析】本题第（1）题先根据题干中的递推关系式分别计算出 a2、b2、b3，然后设等差数列cn的公差为12n1n12n1nd，再根据c1 a2，d b3 a2即可计算出等差数列cn的首项和公差，从而可得等差数列cn的通项公式；第（2）题先将题干中的两个递推关系式相加，化简整理可得 an1 bn1 3(an bn)，即可发现数列an bn是以 2 为首项
26、，3为公比的等比数列，计算出数列an bn的通项公式，再计算出数列(an bn)cn的通项公式，最后运用错位相减法可计算出前n项和 Sn【解答】解：（1）由题意，可知：a24b1a121141214，b2 4a1 b1 2 1 1 4 1 2 1 2，则b3 4a2 b2 2 2 1 4 4 2 4 1 11，设等差数列cn的公差为 d，则：c1 a2 4，d b3a2114 7，故 cn 47(n 1)7n 3，nN*（2）由题意，将 an1 4bn an 2n 1与bn1 4an bn 2n 1相加，可得：an1 bn1 4bn an 2n 1 4an bn 2n 1 3(an bn)，a
27、1 b1 1 1 2，数列a b 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，a b 23n1，nnnn(a b)c 2(7n 3)3n1，nnn Sn(a1 b1)c1(a2 b2)c2(a3 b3)c3 (an1 bn1)cn1(an bn)cn 241 21131 21832 2(7n 10)3n22(7n 3)3n1，则3Sn 243 2113 2(7n10)3 2(7n 3)3，两式相减，可得：2Sn 241 273 273 273 2(7n 3)312n1n33nnnn814(3 3 3)2(7n 3)381413 2(7n 3)3 8 7(3 3)2(7n 3)3(14n 13)3n
28、13 S14n 133n1322【点评】本题主要考查数列由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法计算前n项和问题考查了转化与化归思想，等比数列的判别及求和公式的运用，逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题6（2020 春杭州期中）设数列a 前n项 和 S，且 S 2a 2(n N*)，递 增数 列b 满 足nnnnn2b b b(nN*)，b a，且b，b，b 成等比n1nn211124（）求数列an，bn的通项公式；nnb*bn（）求证：1 11 23a1 b(nN*)1bn【分析】（）由数列的递推式：n 1时，a1 S1；n2时，an Sn Sn1，化简结合等比数列的定义和通项公式，可得
29、an；再由等差数列的定义和通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到bn；（）不等式1111b(nN*)即1111 2n(n N*)运用数学归纳法证明，23a1nn2322n1注意首先验证 n 1成立；假设 n k 不等式成立，注意 n k 1 时，不等式的左边与 n k 时不等式的左边的项的差别，结合不等式的性质，即可得证【解答】（）解：因为 Sn 2an 2(n N)，所以 Sn1 2an1 2，相减得 an 2an1(n2)，由 S a 2a 2，得 a 2，所以数列a 是以首项和公比均为 2 的等比数列，a 2n；1111nn而 2b b b(n N*)，可得数列b 为等差数列，且b a
30、 2，n1nn2n11由b，b，b 成等比，可得b b b2，即 2(2 3d)(2 d)2，可得公差 d 2，b 2 2(n 1)2n；1241 42n（）证明：1111b(nN*)，即证1111 2n(n N*)23a1nn2322n1运用数学归纳法证明：（1）当 n 1时，左边 1 11 2 右边，所以命题对 n 1成立；23（2）假设n k(k N*)时，命题1112 2k 成立2322k1则当n k 1时，左边11111 12322k122k22k 2 11111(11)(11)2322k122k22k22k122k22k22k 22k(2 22k1)2k 122k 22k122k
31、22k 2 22k 2k 1 1 2k 2 2(k 1)右边，命题对 n k 1 也成立综上可证1 11 23a1 b(n N*)1bn【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，以及数列递推式的运用，考查数学归纳法的运用，主要考查化简运算能力、推理能力，属于中档题7（2020春武侯区校级期中）已知数列an满足a11，an13an(为常数）nn（1）试探究数列a 1是否为等比数列，并求 a；n2n（2）当 2 时，求数列n(a 1)的前n项和T n2n【分析】本题第（1）题将题干中的递推公式进行转化可得 a1 3(a 1)，然后根据 a 1，可得n12n21a 1 0 和 a 1 0
32、两种情况，当 a10时，数列a 1是常数列，不是等比数列；当121212n2a 1 0 时，数列a 1是等比数列，且首项为 a 1 1 1，公比为 3，此时通过计算出数列12n2122a 1的通项公式即可进一步计算出数列a 的通项公式n2n第（2）题将 2 代入数列a 1的通项公式，并进一步计算出数列n(a 1)的通项公式，然后运n2n2用错位相减法计算前n项和Tn【解答】解：（1）依题意，由a3a，可得a13a 13(a 1)，n1nn12n2n2a 1，当 2，即 a 1 0 时，数列a1不是等比数列，112n2此时 a 1 a 1 a 1 0，a a 1，n N*当 2，即 a 1 0
33、时，a 1 0，n2121n112n2数列a 1是等比数列，且首项为 a111，公比为3，此时a1(a1)3n1(11)3n1，n2122n2122an(11)3n11，nN*22（2）由（1）知，当 2 时，an 23n11，则n(a1)2n3n1，2T 211 231 332 (n 1)3n2 n3n1，12n1n3Tn 213 23 (n 1)3 n3 ，12n1n13nn1n1，可得2Tn 2(1 3 3 3 n3)2(n3)2(n)3132 ，2Tn(n 1)3n122【点评】本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前n项和问题考查了转化与化归思想，整体思
34、想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题8（2020深圳一模）已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，S315，且a1，a3，a11成等比数列（1）求数列an的通项公式；n（2）设b a5n，试问数列b 是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n的值；若不存在，请说明nn(6)n理由【分析】本题第（1）题先通过等差数列的求和公式和等差中项的性质可计算出 a2 5，再设等差数列an的公差为 d(d 0)，将 a1，a3，a11均表示成 a2与d 的表达式，根据等比中项的性质列出算式，即可计算出公差d 的值，即可计算出等差数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果
35、计算出数列b 的通项公式，然后假设数列b 存在最大项，则有bnbn1，bnbn1代入通项公式列出不等式组，化简整理并计算出n的取值范围，再判断出n的值是否存在即可判断数列bn是否存在最大项【解答】解：（1）由题意，可知S3(a1 a3)32a23a 15，解得 a 5，32222设等差数列an的公差为 d(d 0)，则 a1 5 d，a3 5 d，a11 5 (11 2)d 5 9d，a，a，a 成等比数列，a2 aa，即(5 d)2(5 d)(5 9d)，13113111整理，得d23d0，解得d0（舍去），或d3，a5(n2)33n1，nN*（2）由（1）知，b a5n(3n 1)5n，依
36、题意，假设数列b 存在最大项，则有bnbn1，nn()()n66(3n 1)5n(3n 2)5n 1bnbn1()()666(3n 1)5(3n 2)1619即55，化简，得5(3n 1)6(3n 4)，解得3n3，n N*，n 6，(3n 1)()n(3n 4)()n166故数列bn存在最大项，且取得最大项时n的值为 6【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的相关计算，以及通过计算不等式组的方法找到数列的最大项考查了转化与化归思想，方程思想，以及不等式的运算能力，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题9（2020河西区一模）设an是各项均为正数的等差数列，a11，a31是a2和a8的等比中项
37、，bn的前n项和为 S，2b S 2(n N*)nnn（）求an和bn的通项公式；nnn2na(1)2n,45（）设数列c 的通项公式c an 2,n为奇数n N*nnb,n为偶数(i)求数列cn的前 2n 1项和 S2n1；i(ii)求i(nN*)i1ci【分析】（）根据等差数列和等比数列的通项公式和 Sn与 an的关系列式子求解即可；（）(i)根据（）中an和bn的通项公式，列出数列cn的通项公式，分奇数组和偶数组求解数列cn的前 2n 1项和 S2n1；(ii)将i分为奇数和偶数两种情况，当i为奇数时，设 A 111，当i 为偶数时，n1335(2n1)(2n1)111112na(1)设
38、 B 2()2 4()46()6(2n 2)()2n2 2n()2n，分别求解出后，相加求得i(nN*)n22222i1ci的值即可【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a11，a31是a2和a8的等比中项，(a 1)2 a a，即(1 2d 1)2(1 d)(1 7d)，解得 d 1，328an是各项均为正数的等差数列，d 1 an 1 (n 1)1 n，2b S 2(nN*)2b S 2(n2)，两式相减得：bn 2(n2)，nnn1n1bn1当 n 1时，2b S 2，b 2，b 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 b b qn1 2n111nn1（）(i)解：cnn 2,n为奇
39、数,所以 Sn为偶数,2n1(3 5 2n 3)(22 24 22n)(n 1)(3 2n 3)4(1 4n)21 4n1n2 4n 33(ii)解：当i 为奇数时，设 A 11 11(111111)11n1335(2n1)(2n1)23352n 12n 122(2n 1)当i 为偶数时，设 B 2 12 4 14 6 16 (2n 2)12n2 2n12n，()()()n222()()221B 2 14 416 6 18(2n12n 2n12n 2，()4n2()()222)()()22i3B 212 214 216 212n 2n12n 2，故 B8(3n 4)12n1，()()()4n2
40、22()()22n99(2)2na(1)251(3n 4)1i.A B()2n1i 1cinn182(2n 1)92【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，以及分组求和的方法，属于中档题10（2020晋中模拟）已知等差数列an前n项和为Sn，a59，S525（1）求数列an的通项公式及前n项和 Sn；（2）设b (1)nS，求b 前n项和T nnnn【分析】本题第（1）题根据等差数列的求和公式和等差中项的性质计算 S5 25 可得 a3 5，然后根据 a5 9即可计算出公差 d，则可得到等差数列an的通项公式及前n项和 Sn；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列b
41、n的通项公式，然后分n为偶数和n为奇数两种情况分别求和，运用分组求和法及等差数列的求和公式进行计算，最后综合两种情况可得前n项和Tn【解答】解：（1）由题意，S5(a1 a5)52a35a 25，即 a 5，设等差数列a 的公差为 d，则52233nd a5 a39 5 2，a a (n 3)d 5 2(n 3)2n 1，n N*532n3则a1 2111，Snn1 (2n 1)n22（2）由（1）知，b (1)nS (1)nn2，当n为偶数时，n 1为奇数，nnTn b1b2 bn 12223242(n1)2n2(2212)(4232)n2(n1)2(21)(21)(43)(43)n(n1)
42、n(n1)当n为奇数时，n 1为偶数，1 2 3 4 (n 1)n n(n 1)，2Tn b1b2 bn 12223242(n2)2(n1)2n2(2212)(4232)(n1)2(n2)2n2(2 1)(2 1)(4 3)(4 3)(n 1)(n 2)(n 1)(n 2)n2 1 2 3 4 (n 2)(n 1)n2n(n 1)n22 n(n 1)，上所述，可得T(1)nn(n 1)2n2i*nknnkn【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及正负交错类型数列的求和问题考查了转化与化归思想，分类讨论数学，方程思想，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题11（2020重庆模
43、拟）已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1（）求an的通项公式；（）设b log(aa)，数列b 的前n项和为T，求证：111 2 n3nn1nnTTT12n【分析】本题第（）题根据题干 an1 2Sn 1，可得当 n2时有 an 2Sn1 1成立，两式相减后再运用公式 an Sn Sn1(n2)，进一步转化计算可判断出数列an是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，即可得到数列an的通项公式；第（）题先由第（）题的结果计算出数列bn的通项公式并判别出数列bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T 的表达式，再代入11 1进行计算时运用nT
44、TT11n2n 11(n2)进行放缩即可证明不等式成立n12n【解答】（）解：依题意，由 an1 2Sn 1，可得当 n2 时，an 2Sn1 1，两式相减，得 an1 an 2Sn 1 2Sn1 1 3an(n2)，又a1 1，a2 2S1 1 2 1 1 3，a 3a 符合上式，数列a 是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，故 a 3n1，n N*21nn（）证明：由（）知，b log(aa)log(3n13n)log 32n1 2n 1，则b 2n 1 1 (n 1)2，n3nn133n故数列bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，T n(1 2n 1)n2，11 111 1
45、1 111n2TTT1222n212 23(n 1)n12n1111111 2 1 2，不等式11 1 2 成立223n 1nnT1T2Tn【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题12（2020宝ft区二模）定义：an是无穷数列，若存在正整数k使得对任意nN，均有aa(aa)则称an是近似递增（减)数列，其中 k 叫近似递增（减)数列an的间隔数（1）若 an n (1)n，an是不是近似递增数列，并说明理由；n3nnn2n2（2）已知数列a 的通项公式为 a 1a，其前n项的
46、和为 S，若 2 是近似递增数列S 的间隔数，n求a的取值范围；n(2)n1nn（3）已知 a n sin n，证明a 是近似递减数列，并且 4 是它的最小间隔数n2n【分析】（1）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列1 (1)n（2）利用数列的 Sn2 an 和S1 1n2Snan1an2(1)n1 2a 0，进一步确定a的范围22（3）利用由a a 得：n ksin(n k)nsinn，即k 2sin(nk)sinn，进一步利用赋值法的nkn22应用求出结果【解答】解：（1）数列an是近似递增数列，由于an3ann3(1)n(1)32(1)0，或an2 an n 2(1)n(1)2
47、0，即an3 an，或an2 an所以：数列an是近似递增数列，1 (1)n（2）由题意得：Sn2 an 21(1)n an，或 S1132n2Snan1an2(1)n1 2a 0，22即a (1)(1)n恒成立令 c (1)(1)n，则(c)c 1，即a的取值范围是1)42n42nmax18(8,（3）由a a 得：n ksin(n k)nsinn，nkn22即 k 2sin(n k)sin n，由于n和k 为正整数，所以sin n 和sin(n k)均取不到 1所以 k 4 时，上式恒成立，即数列an是近似递减数列，4 是它的间隔数当 k 3 时，当n 5 时，2sin(5 3)sin 5
48、 3.9 3，故不等式成立当 k 2 时，当n 5 时，2sin(5 2)sin 5 3.23 32 故不等式不成立当k 1时，当 n 5时，2sin(51)sin5 1.36 1，故不等式不成立所以 4 是它的最小间隔数【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式和前n项和公式的应用，恒成立问题的应用，不等式的性质的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型13（2020西城区模拟）从前n项和Snnp(pR)，anan13，a611且2an1anan2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答2222n1nnn1在数列a 中，a 1，其中nN*n1（
49、）求an的通项公式；（）若 a，a，a 成等比数列，其中m，n N*，且 m n 1，求m的最小值1nm注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【分析】本题第（）题选择条件的方案时当 n 1时有 a1 S1，代入可解出 p 的值，得到 Sn的表达式，再利用公式 an Sn Sn1进行计算可发现数列an是等差数列，即可计算出数列an的通项公式；选择条件的方案根据条件及等差数列的定义即可判断出数列an 是以 3 为公差的等差数列，进一步计算即可得到数列an的通项公式；选择条件的方案时利用等差中项判别法判断出数列an是等差数列，再根据 a1 1及 a6 11计算出公差，即可得到数列an的通项公
50、式第（）题先根据三个方案都判别出数列an是等差数列，以及第（）题计算出的数列an的通项公式计算出 an，am的表达式，再根据等比中项的性质列出关于m、n的算式，并转化成用n表示m的性质，然后用二次函数的方法计算出在 n N*，且 n 1情况下m的最小值【解答】解：方案一：选择条件（）由题意，当 n 1时，a 1 S 12 p，解得 p 0，则 S n2，n N*11n当n2时，由Snn，得S(n1)，aSSn(n1)2n1(n2)，经检验，a 1符合上式，a 2n 1(n N*)1n（）依题意，由 a，a，a 成等比数列，可得 a2 a a，即(2n 1)2 1(2m 1)，1nmn1m化简，