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1、高中数学探究5622984952020高考导数大题必刷热点题型MST1（2020抚顺模拟）已知函数（1）若在处取得极值，求的单调区间；（2）若在，上没有零点，求的取值范围2（2020镇海区校级模拟）已知实数，设函数（）当，时，证明：；（）若有两个极值点，证明：3（2020宣城二模）已知函数，（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围4（2020春东海县期中）已知函数（1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值5（2020大兴区一模）已知函数（）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）求证：函数有且只有一个零点6（2020春海淀区校级期中）已知函数，其中，（1）当
2、时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）讨论函数的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数有两个极值点，证明：7（2020春沙坪坝区校级期中）已知函数，（1）若的切线过，求该切线方程；（2）讨论与图象的交点个数8（2020春浙江期中）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（1）求实数的取值范围；（2）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式9（2020徐州模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，百米，百米该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内修建健身广场，在区域内种植花草已知修建健
3、身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）10（2020东湖区校级模拟）已知函数（1）当时，若函数在上有两个零点，求的取值范围；（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由11（2020榆林三模）已知是函数的极值点（1）求的最小值；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围12（2020榆林三模）已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若对存在，使得，求实数的取值范围13（2020抚顺模拟）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论在区间上的零
4、点个数14（2020深圳一模）已知函数（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求证：对任意的，15（2020江西模拟）设函数（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由16（2020甘肃模拟）函数，且（1）若，判断函数的单调性；（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方17（2020全国卷模拟）已知：仅有1个零点（1）求实数的取值范围；（2）证明：18（2020春滨海新区期中）已知函数，（）求函数的单调区间；（）若，且，使得成立，求的取值范围；（）若函数有两个不同的极值点，求证：19（2020厦门一模）已知函数（
5、1）当时，求函数的极值点；（2）若在区间，内有且仅有4个零点的充要条件为，求证：20（2020山东模拟）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在，上的零点个数21（2020台州模拟）已知函数，（）求证：存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；（）若，求证：（注为自然对数的底数、22（2020宿迁模拟）某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆、半圆和正方形组成的，且设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签，标签的其中两个顶点，在上，另外两个顶点，在上，分别是，的中点）设的中点为，矩形的面积为（1）写出关于的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大？23（2020合肥模拟
6、）已知函数（1）当时，求证：；（2）若函数，求证：函数存在极小值24（2020盐城三模）设函数，其中恒不为0（1）设，求函数在处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，是否存在实数，使得在上恒成立？若存在，请求出实数，满足的条件；若不存在，请说明理由25（2020湖北模拟）已知函数，（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）若，求的取值范围26（2020武汉模拟）已知函数，（1）求的单调区间，（2）若关于不等式对任意和正数恒成立，求的最小值27（2020肇庆三模）设函数，为自然对数的底数（1）求的单调区间：（2）若成立，求正实数的取值范围28（2020济宁模拟）已
7、知两个函数（）当时，求在区间，上的最大值；（）求证：对任意，不等式都成立29（2020和平区校级二模）已知函数，若曲线与曲线都过点且在点处有相同的切线（）求切线的方程；（）若关于的不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围30（2020嘉兴模拟）定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”已知函数，（）求函数的单调区间；（）若为的一个“子函数”，求的最小值参考答案与试题解析1（2020抚顺模拟）已知函数（1）若在处取得极值，求的单调区间；（2）若在，上没有零点，求的取值范围【分析】（1）求出原函数的导函数，由（1）求得，代入导函数的解析式，再由导函
8、数小于0求解减区间，导函数大于0求解增区间；（2），得，把在，上没有零点转化为在，上满足或结合（1），只需证在，上满足对分类讨论可得在，上的单调性，求出最小值，由最小值大于0可得的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域为，且在处取得极值，（1），得，经验证符合题意；当时，当时，的单调减区间为，单调增区间为；（2），则要使在，上没有零点，只需在，上满足或又（1），只需证在，上满足当时，在，上单调递减，则，解得，与矛盾；当时，在，上单调递减，在，上单调递增，由，得，；当时，在，上单调递增，满足题意综上，的取值范围是【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查分类讨论的数学思想
9、方法，是中档题2（2020镇海区校级模拟）已知实数，设函数（）当，时，证明：；（）若有两个极值点，证明：【分析】（）依题意，即证，换元令，则即证，令，又令二次函数的对称轴，则利用导数可知在，上递增，等价于证明（1），即证，再令，利用导数判断函数的单调性，进而求得其大于等于0恒成立，由此得证；（）根据题意，可求得，构造函数，可证，令，则，令，利用导数可知，即可得证【解答】证明：（），即为，亦即，令，则，令，令对称轴，则，时，时，时，在上递增，在，上递减，且，在，上递增，故只需证（1），即证，即证，令，则，在上递减，而（1），当时，当时，即时，当时，即成立，当，时，成立；（），有两个极值点，令，则
10、，易知，当时，当时，在上递减，在上递增，故，即，由，可得，则，则，由，得，下证，即证，即证，等价于证，令，则，故，即，令，则，令，则，在上递减，即【点评】本题考查导数的综合运用，涉及了变换主元法，分析法，消元法，换元法，构造法等常见数学方法的运用，培养了转化思想，放缩思想等数学思想的建立，锻炼了学生运算化简，逻辑推理等数学能力，综合性强，难度大3（2020宣城二模）已知函数，（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，再求出与的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，即设，可得令，可得，分，三类分析求解满足题意的的取值范围
11、【解答】解：（1）当时，则，又，曲线在，处的切线方程为；（2）由，得，即设，则令，若，即，当时，在上单调递增，而，时，恒成立，满足题意；若，当时，在上单调递增，而，时，恒成立，满足题意；若，当时，由，解得，在上单调递减，则，不满足题意综上所述，的取值范围是，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题4（2020春东海县期中）已知函数（1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值【分析】（1）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，分与可得导函数在不同区间内的符号，得到函数的单调性，从而求得函数的极值；（2）当时，由（1）知，在，上
12、单调递减，故的最大值；当时，由（1）知，在，上单调递减，的最大值；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增结合（1），得的最大值为；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增结合（1），知的最大值为（1）【解答】解：（1），由，解得当时，若，可得，若，可得，在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数取得极小值；当时，若，可得，若，可得，在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数求得极大值综上，若，当时，函数取得极小值；若，当时，函数取得极大值（2）当时，由（1）知，在，上是单调减函数，而，在，上单调递减，故的最大值；当时，由（1）知，为，上的单调减函数，而，在，上单调递减，故的最大值
13、；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增又满足（1），故的最大值为；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增又满足（1），故的最大值为（1）综上，【点评】本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题5（2020大兴区一模）已知函数（）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）求证：函数有且只有一个零点【分析】（）求出函数的导数，然后分别求出时的函数值、导数值，利用点斜式即可求切线方程；（）函数有且只有一个零点，可转化为在上只有一个零点，可通过研究的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解【解答】解：（）当时，函数，所以
14、，所以函数在点，（1）处的切线方程是（）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于的方程在上有且只有一个解设函数，则，令，则，由，得10单调递减极小值单调递增由于（1），所以，所以在上单调递增，又（1），当时，（1），函数在有且只有一个零点，当时，由于，所以存在唯一零点综上所述，对任意的函数有且只有一个零点【点评】本题考查了函数的零点的判断方法，导数在研究函数单调性、极值中的应用同时考查学生利用函数与方程思想、转化与化归思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力属于中档题6（2020春海淀区校级期中）已知函数，其中，（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程
15、；（2）讨论函数的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数有两个极值点，证明：【分析】（1）当时，求出导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程（2）因为，通过当时，当时，当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值（3）函数有两个极值点，是方程两个根利用韦达定理，转化求解，令，利用函数的导数，通过函数的单调性，推出即可【解答】解：（1）当时，（1），又因为（1），所以切线方程为：（2）因为，当时，令，解得，0极大值函数仅有1个极大值点，没有极小值点；当时，与同正负，又因为，所以在上存在两个不相等的根，又，所以，不妨设，00极大值极小值函数恰有2个
16、极值点，它们是1个极大值点和1个极小值点；当时，恒成立，则函数在上单调递增，所以函数没有极值点（3）函数有两个极值点，由（2）可知，并且，是方程两个根，令，恒成立，在上单调递增，（1）成立即【点评】本题考查函数的导数的应用，考查切线方程的求法，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难题7（2020春沙坪坝区校级期中）已知函数，（1）若的切线过，求该切线方程；（2）讨论与图象的交点个数【分析】（1）求得的导数，设切点为，运用导数的几何意义和两点的斜率公式，求得切点，可得切线的斜率，进而得到所求切线的方程；（2）设，即讨论的零点个数求得的导数，分别讨论，结合函数的零
17、点定义和零点存在定理，以及函数的单调性、极值，可得所求零点个数【解答】解：（1）的导数为，设切点为，则，化简得，所以，切线方程为；（2）设，即讨论的零点个数，时，只有一个零点；时，在，时，均，此时，有两个零点；时，时，时，由得，若时，在上递增，只有一个零点；若时，极大值、极小值均小于0，从而也只有一个零点综上，时，与的图象只有一个交点；时，有两个交点【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值，考查函数的零点个数的判断，主要考查分类讨论思想和方程思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题8（2020春浙江期中）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（1）求实数的取值范围；（2）若
18、方程恰好有两个不同的根，求的解析式【分析】（1）先通过求出，再对函数求导，令（1），可得，将其代入中，令，则或，由于在取得最大值，所以，解之即可得解；（2）通过列表、随的变化情况可知，函数的单调区间和极值，若方程恰好有两个不同的根，则使其极小值等于，求出的值即可得解【解答】解：（1）函数的图象经过坐标原点，对函数求导，有，（1），令，则或，当时，取得极大值，解得，故实数的取值范围是（2）、随的变换情况如下表， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增极小值方程恰好有两个不同的根，解得，故的解析式为【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查学生的分析能力和运算能力，
19、属于中档题9（2020徐州模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，百米，百米该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内修建健身广场，在区域内种植花草已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得，（2）分别求出，可得，设三项费用之和为，可得，利用导数求出最值【解答】解：（1）过点作，垂足为，在中，在中，在中，由正弦定理可得，；（2）在中，由正弦定理可得，又，设三项费用之和为，则，
20、令，解得，当，时，函数单调递减，当，时，函数单调递增，答：三项费用总和的最小值为万元【点评】本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计算，属于中档题10（2020东湖区校级模拟）已知函数（1）当时，若函数在上有两个零点，求的取值范围；（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由【分析】（1）将代入，求导，当时显然不成立，当时，利用零点存在性定理可得出结论；（2）分析可知（1）是函数的最大值，也是函数的极大值，故（1），而当时，利用导数可知恒成立，进而得出结论【解答】解：（1）当时，当时，在上单调递增，不合题意，舍去；当时，令，解得，进而在上单调递
21、增，在上单调递减，依题意有，解得，又（1），且，在上单调递增，进而由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，下先证恒成立，令，则，易得在上单减，在上单增，进而（e），若，得，即当时，取，有，即存在，使得，进而由零点存在性定理可知在上存在唯一零点综上可得，；（2）当时，存在，使得不等式恒成立，证明如下：当时，设，依题意，恒成立，又（1），进而条件转化为不等式（1）对任意恒成立，（1）是函数的最大值，也是函数的极大值，故（1），又当时，令可得，令可得，故在上递增，在上递减，（1），即恒成立，综上，存在且的取值集合为【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查利用导数研究函数的零点，不等式的恒成立问题，
22、考查运算求解能力，属于较难题目11（2020榆林三模）已知是函数的极值点（1）求的最小值；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围【分析】（1），根据是函数的极值点可得，解得进而得出的最小值（2）对任意，存在，使得对，由（1）可得：对分类讨论利用单调性即可得出【解答】解：（1），是函数的极值点，解得可得时函数取得进极小值即最小值，的最小值为：（2）对任意，存在，使得对，由（1）可得：时，不适合题意，舍去若，满足，适合题意若，可得时，函数单调递减；时，函数单调递增时，函数取得极小值即最小值，（1），解得综上可得实数的取值范围是，【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方
23、程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（2020榆林三模）已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若对存在，使得，求实数的取值范围【分析】（1），由，可得时，；时，即可得出单调性（2）对分类讨论：若，则，容易判断出结论若，可得若，由（1）可知：函数的最小值为（1），只要，解得范围即可得出【解答】解：（1），时，；时，函数在上单调递增，在上单调递减时，函数取得极小值即最小值（1）（2）对分类讨论：若，则，不存在，使得成立若，则，满足题意若，由（1）可知：函数的最小值为（1），解得综上可得：实数的取值范围是，【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、
24、极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（2020抚顺模拟）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数【分析】（1）对函数求导，然后分别求出处的函数值、导数值，利用点斜式求直线方程；（2）分离参数，然后将问题转化为：与函数的图象交点个数的问题，利用导数研究的单调性、极值、端点处函数值的情况即可【解答】解：（1）因为，所以，所以，所以，故所求切线方程为（2）令，得，设，则，令，得；令，得或，则在和上单调递减，在上单调递增因为，当或时，无解，即在区间上没有零点；当或或时，有且仅有一个实解，即在区间上有且仅有一个零点；当或时，
25、有两解，即在区间上有两个零点综上，当或时，在区间上没有零点；当或或时，在区间上有且仅有一个零点；当或时，在区间上有两个零点【点评】本题考查导数的概念与应用，函数的零点问题等，要注意转化思想、分类讨论、函数与方程思想的应用，同时考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养属于中档题14（2020深圳一模）已知函数（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求证：对任意的，【分析】（1）根据导数和的几何意义，即可求出切线方程；（2）根据导数和函数单调性及最值，即可求出【解答】解：（1）当时，则，切线的斜率，曲线在点，处的切线方程为，即证明：（2）当时，当，时，则，在，上恒成立，在，上单调递增，（2
26、），故对任意的，【点评】本题考查了导数和几何意义和导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题15（2020江西模拟）设函数（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由【分析】（1）求导可得，然后分，及分类讨论即可得出单调性；（2）假设，则只需证明，而，则进一步转化为证明，构造函数，利用导数可知，由此假设不成立，即不是的根【解答】解：（1）由可知，因为函数的定义域为，所以若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；若时，则在恒成立，函数单调递增；若，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；（2）证
27、明：由题可知，当时，当时，且，欲证，只需证明，设，是方程的两个不相等的实根，不妨设，则，两式相减并整理得，从而，故只需证明，即，式可转化为，即，因为，所以，不妨令，即证成立，记，则，当且仅当时等号成立，在上单调递增，又（1），故，即不成立，故不是的根【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及函数的零点问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，运算求解能力，属于中档偏上题目16（2020甘肃模拟）函数，且（1）若，判断函数的单调性；（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方【分析】（1）直接对函数求导，然后判断导数在定义域内的符号；（2）只需要证明恒成立即可，然后求的单调性、极值以及最大
28、值即可【解答】解：（1）当时，当或时，；当，时，所以的减区间为，增区间为，（2）令，由得，由得，所以在上递增，在上递减故（1），又因为，所以恒成立，即当时，的图象恒在函数的图象的下方【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式恒成立问题，同时考查学生运用方程思想、转化思想的解题意识以及运算能力和逻辑推理能力属于中档题17（2020全国卷模拟）已知：仅有1个零点（1）求实数的取值范围；（2）证明：【分析】（1）求出的导数，对进行分类讨论，判断导函数的符号，判断函数单调性，利用零点存在性定理，判断是否为符合题意的的范围即可；（2）将不等式的左边可变形为，构造函数，利用导数证明，由（1）
29、可得不等式右边有，利用放缩法证明原不等式成立即可，在放缩过程中需要注意等号成立的条件【解答】解：（1），定义域为，当时，为增函数，而，仅有一个零点，满足题意；当时，令，解得，令，解得，在上，单调递减，在上，单调递增，当，即时，当，时，此时仅有一个零点，满足题意；当，即时，在上，单调递增，有一个零点，在上，单调递减，而，由零点存在性定理可得在上也有一个零点，不满足题意；当，即时，在上，单调递减，有一个零点，在上，单调递增，由值，即，由零点存在性定理可得在也有一个零点，不满足题意；综上所述，实数的取值范围为，；（2）证明：，令，则，令，则，即在上单调递增，又，在有且仅有一个零点，设为，则，即，的最
30、小值为，即，当且仅当时取等号，又由（1）知，当且仅当时取等号，可得，而以上两式不同时取等，故【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了利用导数证明不等式以及放缩法在不等式证明中的应用，考查了分类讨论的思想，属于较难题18（2020春滨海新区期中）已知函数，（）求函数的单调区间；（）若，且，使得成立，求的取值范围；（）若函数有两个不同的极值点，求证：【分析】（）研究函数导数的符号，然后确定原函数的单调性；（）要满足题意，只需函数在内有增有减，即存在极值点，则问题转化为函数的导数在内存在变号根即可；（）先求出的两个极值点，然后对两个极值点的函数值结合单调性作比较来证明结论
31、【解答】解：（），当，时，的增区间是，；当时，所以的减区间是（）依题意，函数在上不是单调函数，因为是连续函数，所以在上需有极值，由于，即在内有变号根，令，显然该函数在上递增，故需，即，解得所以的范围是（），设方程的两个不等实根是，则首先满足，即：又由解得，此时，随着的变化，的变化如下： ， ， 0 0 递增 极大值 递减 极小值递增所以是函数的极大值点，是的极小值点所以是极大值，是极小值，又因为，所以所以【点评】本题考查导数的综合运用，即利用导数研究函数的单调性、极值以及不等式问题同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力等，属于较难的题目19（2020厦门一模）已知函数（1）当时，求函数的极值
32、点；（2）若在区间，内有且仅有4个零点的充要条件为，求证：【分析】（1）将代入，可得，则在上单调递增，又，则易得函数的单调性情况，进而求得极值点；（2）依题意，等价于，令，求导可知在单调递减，在单调递增，而为偶函数，故只需函数与在上有两个交点，由，接下来估计的范围，可得，由此即可得证【解答】解：（1），在上单调递增，又，当时，单调递减，当时，单调递增，是函数的极小值点，无极大值点；（2）证明：当时，故等价于，令，则，当时，单调递减，当时，当时，令，则，单调递减，又，故存在，使得，且当时，单调递减，当，时，单调递增；当时，单调递增；综上在单调递减，在单调递增，由于为偶函数，只需函数与在上有两个交
33、点，以下估计的范围：，又，结论得证【点评】本题考查函数的单调性，导数及其应用，不等式等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于较难题目20（2020山东模拟）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在，上的零点个数【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，利用导函数的正负即可得到函数的单调性；（2）由已知得，对的范围分情况讨论，分别讨论函数的零点个数，从而得到在，上的零点个数为2个【解答】解：（1）由已知得函数的定义域为，当时，因为，所以在上单调递增，当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在
34、上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由已知得，则，当时，因为，所以在，上单调递减，所以，所以在，上无零点，当时，因为单调递增，且，所以存在，使得，当时，；当时，所以在，上单调递减，且，所以，又因为，所以，所以在，上存在一个零点，所以在，上有两个零点，当，时，所以在，上单调递增，因为，所以在，上无零点，综上所述，在，上的零点个数为2个【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，是中档题21（2020台州模拟）已知函数，（）求证：存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；（）若，求证：（注为自然对数的底数、【分析】（）由导数的几何意义可知，函数在点，处的切线
35、为，依题意，则，则，设，对函数求导后，可知在单调递增，结合零点存在性定理可知，有唯一零点，即有唯一解，故也只有唯一解，即得证；（）要证，即证，变换主元令（a），则（a）是一次函数，故只需证明，同时注意到对于同一，（1）（2），所以只要证明，接下来只需分别证明成立即可【解答】证明：（）由知，在，处的切线为，当该直线为时，可得，故，令，则当时，在单调递增，而（1），（2），由零点存在性定理可知，存在唯一的实数，使得，相应的也是唯一的，即存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；（）要证，即证，令（a），对于确定的，（a）是一次函数，只需证明，注意到对于同一，（1）（2），所以只要证明，先证明：记（1），
36、则，令，由得，由此可知在区间，递减，在，递增，又因为，（2），在区间，上存在唯一实数，使得，故在区间，递减，在区间，递增，于是，得证；再证明：记（2），当，时，利用不等式得；当，时，利用不等式得，于是，其中二次函数开口向上，对称轴为，当，时，有最小值为，（2），；综上，不等式均成立，当，时，对任意，总有，即得证【点评】本题考查导数的综合运用，考查了转化思想，变换主元思想，函数与方程思想等，考查逻辑推理能力及运算求解能力，掌握常见不等式，能提高解题效率，平时应多总结归纳，此题属于难题22（2020宿迁模拟）某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆、半圆和正方形组成的，且设计人员想在心形
37、盒子表面上设计一个矩形的标签，标签的其中两个顶点，在上，另外两个顶点，在上，分别是，的中点）设的中点为，矩形的面积为（1）写出关于的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大？【分析】（1）依题意，可得，则，；（2）由于恒成立，故当时，【解答】解：（1）由题意知，（2分），（4分）则，即，（6分）（2）（8分）因为，所以，所以，（10分）故当时，恒成立，所以在上单调递增，（12分）故当时，答：当为时，矩形的面积最大，最大值为64 （14分）【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查三角函数恒等变换及余弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题23（2020合肥模拟）已知函数（1）当时，求证
38、：；（2）若函数，求证：函数存在极小值【分析】（1）求导可知，由此函数在上单调递减，进而得证；（2），求导，再令，可知导函数在上单调递增，且，使得，进而得到函数在，上单调递减，在上单调递增，由此求得函数的极小值【解答】证明：（1）依题意，因为，且，故，故函数在上单调递减，故（2）依题意，令，则；而，可知当时，故函数在上单调递增，故当时，；当时，函数单调递增，而，又，故，使得，故，使得，即函数单调递增，即单调递增；故当，时，故函数在，上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有极小值【点评】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于中档题24（2020盐城三模）设函数，
39、其中恒不为0（1）设，求函数在处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，是否存在实数，使得在上恒成立？若存在，请求出实数，满足的条件；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求出函数在处的切线方程；（2）先求出导函数和，依题意，构造函数，则是的零点，利用导数得到函数的零点存在且唯一；（3）先求出导函数和，记，对，的值分情况讨论，分别分析导函数和的符号即可【解答】解：（1）因为，所以，（1），又（1），函数在处的切线方程为，即；（2）因为，所以，又，所以，是函数与的公共极值点，即，令，则是的零点，函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，又（1），
40、（e），且函数在上连续不间断，由零点存在性定理可知，函数的零点存在且唯一；（3）因为，由（2）得，记，当时，若，则，此时，不符合题意（舍去）；若，与符号相反，此时，满足题意，当时，若，则，若，当时，则，由，得，所以，所以，1，时，此时函数与，不符合题意（舍去），若，则，由，得，所以，所以，时，此时函数与，不符合题意（舍去），当时，若，则，若，则，由，得，所以，所以，时，此时函数与，不符合题意（舍去），若，当时，则，由，得，所以，1，时，此时函数与，不符合题意（舍去），综上所述，当且时，函数与满足在上恒成立【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的极值，是中
41、档题25（2020湖北模拟）已知函数，（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）若，求的取值范围【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）先判断函数的奇偶性，再根据导数和函数最值的关系即可求出的范围，需要分类讨论【解答】解：（1）若时，则，斜率，曲线在点，处的切线方程为，即（2），为偶函数，当时，令，当时，在，上单调递增，即，在，上单调递增，满足条件，当时，显然不满足条件，当时，若，令，解得，存在，使得当，在上单调递减，即，即，在上单调递减，即，所以不满足条件，综上所述的取值范围为，【点评】本题考查了曲线的切线，函数的单调性与极值，函数导数的综合应用，考查学生的推理论证能力，抽象概括能力，考查了化归与转化思想和分类讨论的思想26（2020武汉模拟）已知函数，（1）求的单调区间，（2）若关于不等式对任意和正数恒成立，求的最小值【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）先根据（1）利用导数和函数最值的关系求出，可得，设（a），利用导数求出函数的最小值即可【解答】解：（1），当时，在上单调递减，若时，令，在时，为增函数，在时，