第九章统计与概率（教案）.docx

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1、第九章统计与概率（教案）1 § §9.1 统计及统计案例教学目的：1.理解三种抽样方法的特点； 2.会用样本的频率去估计总体分布； 3.了解正态分布的意义、主要性质及应用； 4.了解线性回来的方法，会求线性回来方程 。教学重点：三种抽样方法的特点; 正态分布的意义、主要性质及应用 教学难点：会用样本的频率去估计总体分布 教学过程：一、学问梳理 1.三种常用抽样方法: （1）简洁随机抽样：设一个总体的个数为 N。假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简洁随机抽样。简洁随机抽样的常用方法：抽签法，随机数表法 用随机数表进行

2、抽样的步骤：将总体中的个体编号；选定起先号码；获得样本号码。（2）系统抽样（也称为机械抽样）：当总体的个数较多时，采纳简洁随机抽样较为费事。这时可将总体分成均衡的几个部分，然后根据预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所须要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。系统抽样的步骤：采纳随机的方式将总体中的个体编号；完全的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔 k。当 N/n（N 为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，k=N/n;当 N/n 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数 N 能被 n 整除，这时 k=N′/n；在第一段用简洁

3、随机抽样确定起始的个体编号 1；根据事先确定的规则抽取样本（通常是将 1 加上间隔 k 得到第 2 个编号 1+k,第 3 个编号 1+2k，这样接着下去，直到获得整个样本）。（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的状况，常将总体分成几个部分，然后根据各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简洁随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 从总体中逐个抽取总体中的个数较少 系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取 在起始部分抽样时采纳

4、简洁随机抽样 总体中的个数较多 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采纳简洁随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 2、总体分布的估计：随着试验次数的不断增加,试验结果的频率值在相应的概率值旁边摇摆.当试验次数无限增大时,频率值就变成相应的概率了.此时随着样本容量无限增大其频率分布也就会解除抽样误差,精确地反映总体取的概率分布规律,通常称为总体分布. 用样本的频率分布去估计总体分布：由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体分布,一般地,样本容量越大,估计越精确. 总体分布的估计的两种方式(1)频率分布表 (2)频率分布直方图。3、正态分布的概念及主要性

5、质：2 正态分布的概念：假如连续型随机变量ξ的概率密度曲线为222) (21) (sms pj-=xe x ，其中m s , 为常数，并且 0 s ，则称ξ听从正态分布，简记为 ) , ( s m x N 。正态分布的期望与方差：若 ) , ( s m x N ，则2, s x m x = = D E 。正态分布的主要性质：）曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x=μ对称；）曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右延长时，曲线渐渐降低；）曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形态由σ确定，σ越大，曲线越：矮胖；反之曲线越高瘦。标准正态分布：当&mu

6、;=0，σ=1 时， ) (x j 可以写成2221) (xe x-=pj，这时称ξ听从标准正态分布，简记为) 1 , 0 ( N x 。标准正态分布的函数表：由于标准正态分布应用非常广泛，已制成特地的标准正态函数表，供人们查阅。在标准正态分布表中，相应于每一个0x 的函数值 Φ ) (0x 是指总体取小于0x 的值的概率（函数 Φ ) (0x事实上是正态总体 N(0,1)的累积分布函数），即 Φ ) (0x = ) (0x x P 。= ) (x F φ ) (sm - x 若 ) , ( s m x N ，则 ) 1 , 0 ( Nsm x

7、h-= ， ) ( ) ( ) (smfsmf-= a bb x a P4、线性回来：(1)相关关系：自变量取值肯定时，因变量的取值带有肯定随机性的两个变量之间的关系。注：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。(2)回来分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。(3)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形。(4)回来直线方程：a bx y + =)，其中- =-=x b y ax n xy x n y xbniinii i2121，=niixnx11。相应的直线叫回来直线，对两个变量所进行的上述统计叫做回来分析。(5)相关系数：) ( ) (212 21211y n

8、y x n xy x n y xrniiniinii i- -= = = 相关系数的性质：（1）|r|≤1。（2）|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小 二、典型例题：例 1：某批零件共 160 个，其中一级品有 48 个，二级品 64 个，三级品 32 个，等外品 16 个从3 中抽取一个容量为 20 的样本请说明分别用简洁随机抽样、系统抽样、分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率相同 解：（1）简洁随机抽样法：可采纳抽签法，将 160 个零件按160 编号，相应地制做160 号的 160 个签，从中随机抽个。明显每个个体被抽到的概率为8116020=

9、 。（2）系统抽样法：将 160 个零件按160 编号，按编号依次分成 20 组，每组 8 个。先在第一组用抽签法抽得 k 号 ) 8 1 ( k ，则在其余组中分别抽得第 ) 19 , 3 , 2 , 1 ( 8 L = + n n k 号，此时每个个体被抽到的概率为81。（3）分层抽样法：按比例8116020= ，分别在一级品，二级品，三级品，等外品，是抽取68148 = 个， 88164 = 个， 48132 = 个， 28116 = 个。每个个体被抽到的概率分别为486，648，324，162，即都是81。综上所述，无论实行哪种抽样，总体和每个个体被抽到的概率都是81。说明：三种抽样方

10、法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同，这样样本的抽取体现了公允性和客观性。例 2：将温度调整器放置在贮存着某种液体的容器内，调整器设定在 C d，液体的温度 x （单位：C）是一个随机变量，且 ) 5 . 0 , ( 2d N x 。（1）若= 90 d ，求 89 x 的概率 （2）若要保持液体的温度至少为80 的概率不低于 0.99，问 d 至少是多少？（其中若01 . 0 ) 327 . 2 ( ) 327 . 2 ( , 9772 . 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 , 0 ( = - = - F = = F h h h P P N ，则 ）。剖析：（1）要求 P（ 89 x ）

11、F（89），因为 ) 5 . 0 , ( d N x 不是标准正态分布，而给出的是 ) 327 . 2 ( ), 2 ( - F F ，故需转化为标准正态分布的数值。（2）转化为标准正态分布下的数值求概率 p ，再利用 . 99 . 0 d p 解 解：（1）0228 . 0 9772 . 0 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( )5 . 090 89( ) 89 ( ) 89 ( = - = F - = - F =-F = = F P x（2）由已知 d 满意 , 01 . 0 1 ) 80 ( 1 ), 80 ( 99 . 0 - - x x P P 即327 . 25 . 080), 327

12、 . 2 ( 01 . 0 )5 . 080( . 01 . 0 ) 80 ( - - - F = -F d dP x1635 . 81 , 1635 . 81 至少为 故d d 说明：（1）若 ). 1 , 0 ( ), 1 , 0 ( N Nsm xh x-= 则4 （2）标准正态分布的密度函数 ) (x f 是偶函数， 0 x 时， ) (x f为减函数。例 3：已知测量误差 ) )( 100 , 2 ( cm N x ，必需进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的肯定值不超过 cm 8 的频率大于 0.9？ 解 ：设 h 表 示 n 次 测 量 中 绝 对 误 差 不 超 过 cm

13、8 的 次 数 ， 则 ). , ( p n B h 其 中. 5671 . 0 8413 . 0 1 7258 . 0 ) 1 ( 1 ) 6 . 0 ( )102 8( )102 8( ) 8 ( = + - = F + - F =- -F -F = - - = = - = nP P P n P h h h 应满意 Q75 . 2) 4329 . 0 lg(1) 5671 . 0 1 lg() 9 . 0 1 lg(=-=- n ， 因此，至少要进行 3 次测量，才能使至少有一次误差的肯定值不超过 cm 8 的概率大于 0.9。例 4：有一个容量为 100 的样本，数据的分组及各组的频数如

14、下： ) ; 6 , 5 . 15 , 5 . 12 ) ; 16 , 5 . 18 , 5 . 15 ) ; 18 , 5 . 21 , 5 . 18 ) ; 22 , 5 . 24 , 5 . 21 ) ; 20 , 5 . 27 , 5 . 24 ) ; 10 , 5 . 30 , 5 . 27 ) 8 , 5 . 33 , 5 . 30（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于 30.5 的概率。解：（1）样本的频率分布如下：分组 频数 频率 12.515.5 6 0.06 15.518.5 16 0.16 18.521.5 18 0.18 21.524.

15、5 22 0.22 24.527.5 20 0.20 27.530.5 10 0.10 30.533.5 8 0.08 合计 100 100 （2）频率分布直方图如图（3）数据大于等于 30.5 的频率是 0.08，所以，小于 30.5 的频率是 0.92. 所以，小于 30.5的概率约是 0.92. 例 5：一个工厂在某年里每月产品的总成本 y（万元）与该月产量 x（万件）之间有如下一组数据：x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.

16、03 3.14 3.26 3.36 3.505 (1)画出散点图 (2)求月成本与月产量之间的回来直线方程。解：（1）画出散点图如图所示： （2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x i1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y i2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 x i y i2.43 2.654 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090

17、5.652 6.096 6653 7.245 125 . 18= x8475 . 21217 . 34= = y , 808 . 291212= iix , 081 . 2 . 991212= iiy , 243 . 54121=iii yx 于是由公式可得：215 . 1 b ， 974 . 0 a因此所求的回来直线方程是 974 . 0 215 . 1 ˆ + = x y说明：求线性回来直线方程的步骤：（1）画散点图视察相关性（2）列出表格，求出某些数据（3）代入公式求得 a,b，进而得到直线方程。§ 9. 2随机事务的概率教学目的：使学生了解一个随机事务的发生既有随机

18、性，又在大量重复试验中存在着一种客观规律性频率的稳定性，以引出随机事务概率的意义和计算方法。教学重点：深刻理解随机事务在试验中发生的可能性大小的刻划方法，是用客观存在着的一个小于 1 的正数来表示。教学难点：深刻理解随机事务在试验中发生的可能性大小的刻划方法，是用客观存在着的一个小于 1 的正数来表示。教学过程：一、学问梳理 1.从这节起先，大约用 12 课时来学习一个新的数学分支概率论初步。概率论是探讨随机现象规律性的科学，随着现代科学技术的发展，概率论在自然科学、社会科学和工农业生产中得到了越来越广泛的应用。在现实世界中，随机现象是广泛存在的，而概率论正是一门从数量这一侧面探讨随机现象规律

19、性的数学学科。学习这一章之后对有些事6 件的发生或不发生或发生的可能性是百分之几有个估计和推算。这对是否能完成某一任务有肯定的了解。从而增加在工作中的主动性，削减在工作中的盲目性，使工作能达到预想的最好结果。2.在实际生活中，往往在完全相同的综合条件下出现的结果是不相同的。为了叙述的便利，我们把条件每实现一次，叫做进行一次试验，试验的结果中所发生的现象叫做事务。由于在肯定的条件下某些结果是肯定发生或肯定不发生或可发生也可不发生，所以事务被分为必定事务、不行能事务和随机事务三种。这节课要通过几个实例说明现实生活中的确存在着以上三种事务；这节课还要通过实例说明一个随机事务的发生是存在着统计规律性的

20、，一个随机事务发生的频率总是在某个常数旁边摆。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事务的概率。它从数量上反映了这个事务发生的可能性的大小。3.（1）事务：在肯定的条件下所出现的某种结果叫做事务。事务共分三种：必定事务记作 U（在肯定的条件下必定要发生的事务），不行能事务记作V（在肯定的条件下不行能发生的事务）、随机事务记作 A、B 等（在肯定的条件下可能发生也可能不发生的事务）。（2）随机事务在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的状况下，它的发生具有肯定的规律性，或称随机事务频率的稳定性，现在引出概率的统计定义：在 n 次重复进行同一试验时，事务 A 发生的次数为 m 次，则

21、称事务 A 发生的频率 m/n 为事务 A 的概率，记作 P（A）。由于随机事务 A 在各次试验中可能发生，也可能不发生，所以它在 n 次试验中发生的次数（称为频数）m 可能等于 0（n 次试验中 A 一次也不发生），可能等于 1（n 次试验中 A 只发生一次），也可能等于 n（n 次试验中 A 每次都发生）。我们说，事务 A 在 n 次试验中发生的频数 m 是一个随机变量，它可能取得 0、1、2、n 这 n+1 个数中的任一个值。于是，随机事务 A 的频率 P（A）=m/n 也是一个随机变量，它可能取得的值介于 0 与 1 之间，即 0≤P（A）≤1。特殊，必定事务的概率为 1，

22、即 P（U）=1；不行能事务的概率为 0，即 P（V）=0。这里说明随机事务的频率原委取得什么值具有随机性。然而，阅历表明，当试验重复多次时随机事务的频率又具有稳定性。（3）利用概率的统计定义，在计算每一个随机事务概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事务出现频率的近似值作为所求概率。二、典型例题：例：进行这样的试验：从 0、1、2、9 这十个数字中随机取一个数字，重复进行这个试验10000 次，将每次取得的数字依次登记来，我们就得到一个包括 10000 个数字的随机数表。在这个随机数表里，可以发觉 0、1、2、9 这十个数字中各个数字出现的频率稳定在 0.1旁边。归纳小结：7 随机事务在现实世界中是广泛存在的。在一次试验中，事务是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出肯定的规律性，即事务发生的频率总是接近于某个常数，在它旁边摇摆，这个常数就叫做这一事务的概率，记作 P（A）。且 0≤P（A）≤1。§ §9.3 古典概型教学目的：通过等可能事务概念的讲解，使学生得到一种较简洁的、较现实的计算事务概率的方法。.