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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第九章 统计与概率的教案统计与概率主要争论现实生活中的数据和客观世界中的随机现象；它通过 对数据收集、整理、描述和分析以及对时间发生可能性的刻画,来帮忙人们科 学、客观地熟识世界；它是数学科学的一个重要的分支；在新的课程标准中将“ 统计与概率” 作为义务训练阶段数学课程 义；4 个学习领域之一,具有重要意第一节 统计与概率教案的意义、内容和要求一、统计与概率教案的意义1、适应社会进展需要 在以信息和技术为基础的现代社会,人们面临更多的机会和挑选,经常需 要在不确定的情境中,依据大量无组织的数据,做出合理的决策；概率统计的问题涉及到社会生活 的方
2、方 面 面；例 如 ：“ 今日天津地 区的降水概率是30%” ,“ 这场篮球赛,某球队赢的可能性比较大,” “ 火车站的日客流量突破 十万人次,” “ 某商场实行购物抽奖,中奖面达到三分之一” 等；从学校习统 计与概率学问越来越重要,这是时代进展的需要；2、提高解决实际问题的才能“ 统计与概率” 与人们的日常工作和社会生活亲密相关,在日常生活中常 常需要我们在不确定的情形中通过自己的观看,对大量无组织的数据惊醒分 析,从这些大量的偶然性现象背后揭示出某些规律来,作出合理的决策,独立 地区获得问题的解决；统计与概率所供应的“ 运用数据进行推断” 的摸索方法 已经成为现代社会一种普遍适用的思维方式
3、；统计与概率的思想方法,将随着 社会的不断进展而越来越重要；在义务训练阶段,让同学经受统计与概率活动 的全过程,是同学熟识统计与概率的基本思想方法,帮忙同学在面对大量数据 和不确定情境中,制定较为合理的决策,有利于进展同学综合运用所学学问解 决问题的才能；3、是同学获得积极的情感体验 统计与概率这一领域的内容对同学来说是布满趣味和吸引力的；动手收集 与出现数据是一个活动性很强并且布满挑战和乐趣的过程,做概率嬉戏本身就 是对思维的一种挑战,也是一个特别好玩的过程；这有助于培育同学对数学的 积极情感体验；二、统计与概率教案的内容1、统计与概率历史 1 概率的历史 概率论起源于博弈问题； 1516
4、世纪意大利数学家帕乔塔塔利亚和卡尔丹 的著作中层争论过“ 假如两个人赌博提前终止,该如何安排赌金” 等概率问 题； 1654 年左右,费马与帕斯卡在一系列通讯中争论类似的合理安排赌金问 题,并用组合方法给出正确解答；他们的通讯引起了荷兰术数学家惠更斯的兴 趣,后者在 1657 年发表论赌博中的运算,这是最早的概率论著作；一般认为,概率论作为一门独立数学分支,其真正奠基人是雅各布 伯努 利,他在遗著推测术中首次提出了后来以“ 伯努利定理” 著称的极限定1 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 理；伯努利定理刻画了大
5、量的体会观测中出现的稳固性,作为大数定律的最早形式而在概率论进展史上占有重要位置；伯努利之后,（棣莫弗）、蒲丰、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性奉献；19 世纪后期,极限理论的进展成为概率论争论的中心课题,俄国数学家切比雪夫在这方面做出了杰出的奉献；切比雪夫的成果又被他的同学马尔可夫等发扬光大,影响了20 世纪概率论进展的进程； 19 世纪末,概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行说明 的需要；另外,科学家们在这一时期发觉的一些概率论悖论也揭示出古典概率 论中基本概念存在的冲突与模糊之处；最早对概率论经行严格化尝试的,是我国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯
6、M 西斯,他们都提出了一些公理来作为概率论的前提,但他们的公理理论都是不完善的；真正严格的公理化概率论只 有在测度论与实变函数理论的基础上才可能建立；作为测度论的奠基人,博雷 尔早在 1905 年就指出概率论假如采纳测度论术语来表述将会便利很多,并第一 将测度论方法引入概率论重要问题争论；原苏联数学家科尔莫戈罗夫也从 1920 岁月中期起开头从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述,其结果是 1933 年以德文出版的经典型著作概率论基础；科尔莫戈罗夫提出了 6 条公理,整个概率论大厦可以从这 6 条公理动身建筑起来；科尔莫戈罗夫的公理系统主 见获得了数学家们的普遍承认；由于公理化,概率论成为一
7、门严格的演绎科 学,获得了与其他数学分支同等的位置,并通过集合论与其他数学分支亲密地联系着；科尔莫戈罗夫是 涯中最重要的成就； 2 统计的历史20 世纪最杰出的数学家之一,概率论无疑是他科同学简洁的统计古来就有,在 18、19 世纪显现了统计推断思想的萌芽,并有一 定进展,但以概率论为基础、以统计推断为主要内容的现代意义的数理统计 学,直到 20 世纪才告成熟；1763 年英国人贝叶斯发表论机会学说问题的求解其中的“ 贝叶斯定理” 给出在已知结果E 后,对全部缘由C 运算其条件概率（后验概率）PC的公式,可以看出是最早的一种统计推断程序；拉普拉斯和高斯等利用贝叶斯 公式估量参数,特殊是高斯由于
8、运算行星轨道的需要建立了以“ 最小二乘法”为基础的误差分析；这些都是促使统计摆脱了对观测数据的单纯描述二向强调 推断的阶段过渡；英国生物学家和统计学家K 皮尔逊在现代数理统计的建立上起了重要作用；皮尔逊在 19 世纪末、 20 世纪初进展了他老师高尔顿第一提出的“ 相关”与“ 回来” 的理论,胜利的创立了生物统计学（1901）；皮尔逊提出了“ 总体” 的概念,明确指出统计学不是争论样本取出的个体是否“ 拟合” ,从理论 上确定了总体分布的问题；皮尔逊的工作是所谓“ 大样本统计” 的前驱；他的 同学戈赛特在 1908 年以笔名“ 同学” 发表的“ 同学分布” 就开创了小样本统计 理论；小样本理论
9、强调样本必需从总体中随机地抽取,即必需是随机样本,从 而使统计学争论对象从群表达象转变为随机现象；现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家费希尔；费希尔 毕业与剑桥高校,做过中学教员,曾长期在农业试验站工作,在将统计学应用于农业与遗传学方面有丰富的积存；在1920 和 1930 岁月,费希尔提出了很多重要的统计方法,开创了一系列统计学的分支领域；1946 年,瑞典数学家克拉默发表了统计学的数学方法,用测度论系统总结了数理统计的进展,标志2 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 着现代数理统计学的成熟；2
10、、统计与数率的教案内容标准对“ 统计与概率” 规定的内容为：统计在第一学段是数据统计初 步,其次学段是简洁数据统计过程,概率在第一学段不做要求,其次学段,只 要求同学体会随机现象,并能对随机现象发生的可能性大小作定性描述；详细学习内容要求如下：第一学段：能依据给定的标准或者自己选定的标准,对事物或数据进行分类, 感受分类与分类标准的关系； 经受简洁的数据收集和整理过程,明白调查、车辆等收集数据的简 单方法,并运用自己的方式,（文字、图画、表格等）出现整理数 据的结果； 通过对数据的简洁分析,体会运用数据进行表述与沟通的作用,感 受数据蕴涵的信息；其次学段：（1） 简洁数据统计过程 经受简洁的数
11、据收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用运算 器） 会依据实际的问题设计简洁的调查表,挑选适当的方法（如调查、实 验、测量）收集数据； 熟识条形统计图、扇形统计图、折线统计图；能依据分析问题的需 要,挑选适当的统计图； 体会平均数的意义,能运算平均数,能用自己的语言说明其实际意 义； 能从报刊、等电视等媒体中,有意识的获得一些数据信息,并能读懂 简洁的统计图表； 能说明统计结果,依据结果做出简洁的判定和推测,并能进行沟通；（2） 随机现象发生的可能性 结合详细情境,明白简洁的随机现象；能列出简洁的随机现象中全部 可能发生的结果； 通过试验、嬉戏等活动,感受随机现象结果发生的可能性是有大小 的
12、,能对一些简洁的随机现象发生的可能性大小做出定性描述,并和 同学沟通；三、“ 统计与概率” 的教案要求1、关注“ 统计与概率” 学问的形成过程 统计和概率是一个需要经受的过程,就想描述一件事情要有“ 起因、经 过、结果” 一样,为什么要进行统计,统计要做哪些事,统计的结果是什 么,这个结果有什么意义,只有经受了统计的全部过程,才能真正体会到 统计的意义和价值,感受统计与生活的亲密联系,才能真正学会一种解决 问题的技能,也才能感悟到学习数学的价值；传统的统计教案,往往把依据已知数据解决提出的问题作为统计学习的重 点之数据设计的的同学,可以解决依据已知数据设计的纷繁复杂的数学问 题,但是他们却不知
13、道运用什么样的方法搜集所需要的数据,不会主动的3 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 运用统计的方法去解决身边显现的问题；其主要缘由是,他们只经受了统 计过程中的一个部分,而这个部分不需要太多的主动性和独立性,只是根 据供应的素材机械的解决问题而已,这种学习方式,是一种盲目的被动学 习,同学所获得的仅仅是机械的解决才能,根本没有涉及统计的实质；统 计是一个需要同学去亲身经受的过程,因此老师需要细心设计统计的过 程,尽量把活动设计得完整一些,既要同学体会统计必要性的情形,仍要 有同学自主收集数据的细节；有整理数据
14、的过程,有观看分析、做出简洁 判定与推测的细节,使同学获得统计活动的亲身体验,逐步形成用数据分 析问题的思维习惯；2、关注“ 统计与概率” 的实际背景 统计与概率来源于生活,应用与生活,与日常生活紧密联系,例如小孩子 玩“ 石头、剪刀、布” 的嬉戏,需要记录数赢的次数；看到天空乌云重 重,妈妈会告知孩子“ 可能要下雨了” 等等,这些简洁的“ 统计与概率”经常会显现在同学的现实生活中；因此,学校生有“ 统计与概率” 的生活 体会,在同学已有的生活体会基础上,利用现实的情形或材料惊醒教案设 计,有利于让同学感觉到随机思维,体会到随机数学在处理问题上与确定 性数学的不同；在随机环境中学习随机思维,树
15、立随机意识；例如,对于 股市涨跌的可能性判定,对儿童来说是缺乏体会,但对于自己是否有坑获 得学校短跑竞赛的第一名,他们却有可能进行推测的；3、重视同学的活动体会 在义乌训练阶段,同学学习统计的核心目标是进展自己的“ 统计挂念” ；一提到“ 观念” 就绝非等同于运算、画图等简洁技能,而是一种需要在亲 身经受的过程中培育出来的感觉；“ 观念” 的建立需要同学亲身的经受,需要他们真正投入到统计活动中,在活动的过程中去体验和懂得学问的内 在意义；因此,在教案组织过程中,不要将一些概率统计学问简洁地当做 就是对那些表示概念的词汇的识记,或者将它简洁地当做一种程序性的技 能来反复操练,而要尽可能地使用一些
16、活动来组织,以增加同学在血丝过 程中的体验；对“ 统计过程的体验” 和“ 对可能性与不确定性的直观感 受” 不应由老师强加于同学,而必需是同学通过自主活动,从调查、操作 等活动中摸索、探究而来；四、学校统计与概率思维方式在统计与概率中涉及到两种不同思维方式,或然性思维与决策性思维 Biehler,1994；其中决策性思维旨在发觉数据的规律,对变异做出说明 或分类,在这个过程中,背景学问是相当重要的；而或然性思维的焦点就 是大事发生的稳固程度,并试图从少量的的样本去估量总体,在这个过程 中,最是要的是构造模型；我国统计学家史宁中也认为,传统数学在本质上争论的问题是确定性的,基础是定义和假设,遵循
17、商定原就进行严格的运算或者推理,因此更多的 是演绎；统计学在本质上争论的问题是随机的,是非确定性的,通过较多 的数据进行推断,也就是通过很多的个别来推断一般,可以认为是一种归 纳；也就是说,统计与概率的教案不仅可以使同学对数学有一个更全面的 熟识,而且在思维方式上也是一种互补；在统计问题解决过程中通常涉及两种思维类型：一般思维类型和统计思维4 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型；其中,一般思维类型包括： 挑选有效的策略,包括确定争论问题,形成方案,并考虑实际要求 和限制： 查找说明： 建模及模型的应用 :
18、 方法的运用,包括仿照已有的案例,对原型进行确认与应用,以及 利用问题解决的工具；统计思维的基本类型包括： 熟识到数据的必要性： 转换,包括从实际情境中获得测量方法,变换数据的表征形式,通 过数据沟通信息： 考察变异性,包括挑选度量,通过建模去推测、说明与监控,对变 异性进行说明与处理： 基于统计建模的推理： 整合统计及其背景的信息、学问与概念；（一） 学校统计思维进展过程在开头学习之前,很多儿童在描述某一个现象的时候,往往就是简洁地对现象 的直观熟识,他们基本上仍不会通过收集数据,并利用这些数据对这些现象进 行更为精确的描述或推测；儿童在形成统计思想方法的过程中,主要会表现如 下一些特点：1
19、. 是相伴着操作活动逐步形成的 儿童的统计思想是在现实的操作中逐步形成的；例如,一个学龄前的儿童,面对由很多梨和苹果组成的一堆水果时（图9-la ）,在开头的时候,可能只会采用先数出梨的个数,在数出苹果的个数的方式来比较哪种水果多；图但是,当这些水果的数量足够多的时候,渐渐地,他可能就会想到将这些水果 先分开来,然后在去分别数；随着体会的增长,他逐步可能会想到将这些水果 分类对应排起来（图 9-1b）,于是,对这个儿童来说,基本的统计思想就产生 了；2数据的分析与利用才能的形成是渐进的 儿童对数据的分析与利用才能的进展是一个渐进的进程,对一个学龄前的儿童 来说,数字往往只是表示单个物体量的一个
20、符号,并不是用来描述自己观看到 的现象的；因此,数字之间往往是不相关的；例如,他可能关注到,有一个小 伴侣一天里吃了 1 块水果糖,吃了 5 块巧克力糖；然而,他眼里,这些只不过 就是一些静止的和不相关的数字,他也只是获得了一些事实；可是,对于一个 低年级的学校生来说,他可能已经从这两个好像不相关的数字钟,可以推断出“ 这个小伴侣可能偏爱巧克力糖而不太喜爱水果糖” 这样的结论来；而对于一 个更高年纪的儿童来说,他可能已经会从中受到启示,然后通过某些调查猎取 数据,去选择类似“ 在校内里到底是买水果糖好些,仍是买巧克力糖好些” 这5 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共
21、 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 样的行为了；3. 对数据的懂得是逐步进展的在儿童的体会中,往往是通过对一组单一数据的比较,来做出简洁的且具有惟一性的判定；当他们在最初接触到一组复杂数据的时候,往往就会采纳体会中的方法来做出判定；例如,小明语文期终考试的成果是85 分,小红语文期终考试的成果是 91 分；这样的数据说明白什么？这样的问题可能对一个学龄前的儿 童来说,也能作出回答；可是,当他们面对如下一组数据的时候（表 9-1 ）,可能不简洁做出判定： A、B、C 三个班举办长跑竞赛,每个班级选出 10 人,其 结果如下；现在你将如何确定这三个班长跑竞赛的好坏？能不能排出
22、三个班长跑竞赛的名次并说明理由？”图4. 对统计样本的懂得缺乏体会的支持 统计往往需要挑选样本,挑选什么样的样本？挑选多大的样本才合理？这些可能对一个低年级儿童来说,都是比较困难的；由于在儿童的体会中,收集的样 本经常都是可以穷尽的总数,例如问一下班级的全部同学,就知道班级里有29个同学不喜爱穿运动鞋,假如班级里有35 位同学,就可以得到这样的结论：班级里大部分同学都不喜爱穿运动鞋；可是,是不是全校的同学中,也是大部分 同学都不喜爱穿运动鞋呢？当同学调查另一个班级并发觉只有 9 个人（班级人 数也是 35 人）不喜爱穿运动鞋的时候,他们就会发觉,这个结论并不适用于现 在这个班级；当然,同学可能
23、仍是可以通过全部数据的调查来回答这个问题 的；可是,当问及整个城市中的同龄同学的时候呢？一个比较好的方法就是通 过挑选适当的对象和合适的范畴进行调查,然后来估量；然而,什么样的对象 抑或多少对象可以称作是“ 合适” 的？怎样的范畴可以称作是“ 合适” 的？这 对一个儿童来说是比较困难的,由于他们的体会往往仍不能有效的支持他们做 出这种合适的挑选；5、对数据特点的熟识集中在外部的明显特点上一般说来,儿童主要是从“ 大、小” 开头熟识数的,因而,对低年级的儿童来说,他们往往对数据的“ 最大” 或“ 最小” 比较敏锐,当他们对一组数据进行排序的时候,最关注的是“ 谁大” “ 谁小” 这样的数据特点,
24、仍不能将这一组数据作为一个描述现象的一个整体来看待；到了中、高年段,儿童已经开头知道,面对一组数据,不仅需要关注单个数据的特点,仍要关注整个数据组的特点；例如,通过调查 一年内上电影院看电影的情形后,得知分别为：一个低年段的儿童来说,他们所能描述的可能就是A、B、C、D、E、F、G 七位同学在 7 次、 5 次、 8 次、 9 次、 2 次和 11 次；对 E 同学每年上电影院看电影的次数是不多的；因而,对于他们来说,熟识“ 平均数” 、“ 众数” 等的意义就比较简洁了；（二）学校概率思维进展过程 皮亚杰等对概率概念的懂得进行过最早、做全面的争论；他们指出,儿童对概率的熟识发 展要经受三个主要
25、阶段；第一阶段,即前运算阶段（8 岁之前）的儿童会区分因果大事和立即大事；处于这一阶段的孩子重视试图在无序中发觉有序,由于他们信任肯定存在隐匿着的序；此阶段的孩 子总是想象自己能够推测结果,无论是单独一次试验的结果,仍是在已知从前结果基础上 的下一次试验结果；他们信任没有发生过的结果比已经发生过的更有可能发生,由于全部6 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结果应当轮番显现；当他们“ 依据补偿性原就推测一个个结果都不胜利时,他经常转而预测到目前为止发生频率最高的结果” ,由于“ 它们比其他结果更简洁显现” ；其
26、次阶段,即详细运算阶段的儿童,年龄从8 岁到 12 岁左右,能区分确定与不确定,此阶段的儿童开头知道如何量化概率,但在运算复杂情境的概率时拥有一套不完整的对 策；对于不放回的试验,他们经常意识不到整体构成的转变,“ 因而他只考虑初始构成,而想不到比例是可变的” ,他们拒绝在一次试验的情形下推测结果,认为试验结果可以是 任意的,但他们认为如干次试验的结果应当表现出肯定的分布规律；然而,这一阶段的儿 童对这种规律的熟识才能并不随试验次数增加到大数次而增加,相反,他们信任“ 次数较 少的试验更简洁” 表现这种规律；面对某一结果一再显现时,处于其次阶段的同学已经能 够识别“ 偶然的离差” 与“ 因果的规律” 之间的差别,他们试着查找一个理由说明为什么某个极不行能的结果会如此频繁地发生；他们会给出 的排序,但方法是建立在体会上的,且带有缺陷；2 个、 3 个甚至 4 个元素全部可能有最终是形式运算阶段的孩子,大约从 12 岁开头,他们已经能够将演绎规律与随机概念统合起来了；处于这一阶段的孩子能熟识到从 1600 次试验获得分布信息比从 16 次获得的分布信息更具代表性；无论有无放回,他们都能作精确的概率运算；假如要求他们给出两个或三个元素全部可能的排序时,能够有条不紊地完成任务,并能够归纳出更多元素排列的一般结论；7 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页