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1、优质文本导数专题经典例题剖析考点一：求导公式。例1. 是的导函数，那么的值是 。 解析：，所以 答案：3 考点二：导数的几何意义。例2. 函数的图象在点处的切线方程是，那么 。 解析：因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以，所以答案：3例3.曲线在点处的切线方程是 。解析：，点处切线的斜率为，所以设切线方程为，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为：答案： 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。解析：直线过原点，那么。由点在曲线C上，那么，。又，在处曲线C的切线斜率
2、为，整理得：，解得：或舍，此时，。所以，直线的方程为，切点坐标是。答案：直线的方程为，切点坐标是 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例在R上是减函数，求的取值范围。解析：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。所以，当时，函数对为减函数。（1） 当时，。由函数在R上的单调性，可知当是，函数对为减函数。（2） 当时，函数在R上存在增区间。所以，当时，函数在R上不是单调递减函数。综合123可知。答案： 点评：此题考查导数在函数单调性中的
3、应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例6. 设函数在及时取得极值。1求a、b的值；2假设对于任意的，都有成立，求c的取值范围。解析：1，因为函数在及取得极值，那么有，即，解得，。2由可知，。当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。那么当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为。答案：1，；2。 点评：此题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：求导数；求的根；将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。考点六：函数的最值。例7. 为实数，。求导数；2假设，求在区间上的最大值和最
4、小值。解析：1，。2，。令，即，解得或， 那么和在区间上随的变化情况如下表：000增函数极大值减函数极小值增函数0，。所以，在区间上的最大值为，最小值为。答案：1；2最大值为，最小值为。 点评：此题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数在区间上的极值，然后与和进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。1求，的值；2求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。解析： 1为奇函数，即，的最小值为，又直线的斜率为，因此，2。，列表如下：增函数极大减函数极小增函数所以函数的单调增
5、区间是和，在上的最大值是，最小值是。答案：1，；2最大值是，最小值是。点评：此题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等根底知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一） 选择题1. 曲线的一条切线的斜率为，那么切点的横坐标为 A A1B2C3D42. 曲线在点1，1处的切线方程为 B ABCD3. 函数在处的导数等于 D A1B2C3D44. 函数的解析式可能为 A ABCD5. 函数，在时取得极值，那么= D A2B3C4D56. 函数是减函数的区间为( D )7. 假设函数的图象的顶点在第四象限，那么函数的图象是 A xyoAxyoDxyoCxyoB8. 函数在区间上的最
6、大值是AABCD9. 函数的极大值为，极小值为，那么为 A A0 B1 C2D410. 三次函数在内是增函数，那么 A A B CD 11. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 D A3B2C1D012. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下列图，那么函数在开区间内有极小值点A A1个 B2个 C3个D 4个（二） 填空题13. 曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_。14. 曲线，那么过点“改为在点的切线方程是_15. 是对函数连续进行n次求导，假设，对于任意，都有=0，那么n的最少值为 7 。16. 某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置
7、吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么20吨（三） 解答题17. 函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值求这个极小值及的值J解析：。据题意，1，3是方程的两个根，由韦达定理得，极小值极小值为25，。18. 函数1求的单调减区间；2假设在区间2，2.上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解析：1 令，解得所以函数的单调递减区间为2因为 所以因为在1，3上，所以在1，2上单调递增，又由于在2，1上单调递减，因此和分别是在区间，解得故 因此即函数在区间上的最小值为7.19. 设，点P，0是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线
8、。1用表示；2假设函数在1，3上单调递减，求的取值范围。 解析：1因为函数，的图象都过点，0，所以， 即.因为所以. 又因为，在点，0处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，2.当时，函数单调递减.由，假设；假设由题意，函数在1，3上单调递减，那么所以又当时，函数在1，3上单调递减.所以的取值范围为20. 设函数，是奇函数。1求、的值。2求的单调区间与极值。解：1，。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；2由知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要
9、求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为m，那么长为 (m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得舍去或，因此.当时，；当时，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为。22. 函数在区间，内各有一个极值点1求的最大值；2当时，设函数在点处的切线为，假设在点处穿过函数的图象即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧，求函数的表达式解析：1因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为，那么，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是162解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，那么不是的极值点而，且假设，那么和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在当时，当时，；或当时，当时，设，那么当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，那么，所以，又由，得，故