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1、1/6三角函数最值问题的十种常见解法三角函数最值问题的十种常见解法高级中学高级中学锦平锦平三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本容，对三角函数的恒等变形能力与综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一转化一次函数一转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例 1求函数2cos
2、1yx的值域 分析分析 此为cosyaxb型的三角函数求最值问题，设设costx，由三角函数的有界性得 1,1t，则21 3,1yt 二二.转化转化sin()yAxb(辅助角法辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例 2（2017 年全国 II 卷）求函数()2cossinf xxx的最大值为.分析分析 此为sincosyaxbx型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()yAxB的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征一般可利用22|sincos|axbxab求最值.2()215f x .三三.转化二次函数转化二次
3、函数(配方法配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是 2 时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.2/6例 3 求函数3cos3sin2xxy的最小值.分析分析 利用22sincos1xx将原函数转化为2cos3cos2xxy，令costx，则,23,112ttyt配方，得41232 ty,11t当 t=1 时,即cosx=1 时，0miny四四.引入参数转化（换元法）引入参数转化（换元法）对 于 表 达 式 中 同 时 含 有 sinx+cosx，与 sinxcosx 的 函 数，运 用 关 系 式,cossin21cossin2xxxx一
4、般都可采用换元法转化为 t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值围.例 4.求函数sincossin.cosyxxxx的最大值.分 析分 析 解：令.cossin21cossin2xxxx，设sincos.txx则ttyttxx21,2,221cossin22，其中2,2t当.221,14sin,2maxyxt五五.利用基本不等式法利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例 5.已知,0 x，求函数1sin2sinyxx的最小值.分析分析 此题为xaxsinsin型三角函数求最值问题，当 sinx0,a1，不能
5、用均值不等式求最值，适合用函数在区间的单调性来求解.设11sin,01,2.222xttytttt ，当且仅当22t 时等号成立.六利用函数在区间的单调性六利用函数在区间的单调性3/6例 6.已知,0 x，求函数xxysin2sin的最小值.分析分析 此题为xaxsinsin型三角函数求最值问题，当 sinx0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间的单调性来求解.设ttyttx1,10,sin，在（0，1）上为减函数，当 t=1 时，3miny.七转化部分分式七转化部分分式例 7求函数1cos21cos2xxy的值域 分析分析 此为dxcbxaycoscos型的三角函数求最值问题，分
6、子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解.解法一：原函数变形为1cos,1cos221xxy，可直接得到：3y或.31y解法一：原函数变形为,1121,1cos,121cosyyxyyx3y或.31y八八 数形结合数形结合由于1cossin22xx，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得.例 8 求函数xxxy0cos2sin的最小值.分析分析 法一：将表达式改写成,cos2sin0 xxyy 可看成连接两点
7、 A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点 A 的切线与半圆相切与点 B,则.0 ykAB可求得.3365tanABk所以 y 的最小值为33（此时3x）.4/6法二：该题也可利用关系式 asinx+bcosx=xbasin22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九九 判别式法判别式法例 9 求函数22tantan1tantan1xxyxx的最值.分析分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：222tantan1tantan1
8、1 tan1 tan101,tan0,xxyxxyxyxyyxxkk1y时此时一元二次方程总有实数解.3310313,014122yyyyy由 y=3，tanx=-1，3,4maxyzkkx由.31,4,1tan,31minykxxy十十 分类讨论法分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例 10.设 20214sincos2xaxaxxf，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a).解：.214sinsin2axaxxf令 sinx=t,则,10 t .21442214222aaataattxftg5/6（1）当12a，即 tga,2在0，1上递增，;21431agaM（2）
9、当,120a即20 a时，tg在 0，1 上 先 增 后 减，;214422aaagaM（3）当,02a即 tga,0在0，1上递减，.4210agaM 0,42120,21442,21432aaaaaaaaM以上几种方法中又以配方法和辅助角法与利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用与抓住题目关键和本质所在.挑战自我：挑战自我：1.求函数 y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合.3.已知函数)cos(sinsin2xxxxf，求函数 f(x)的最小正周期和最大
10、值.参考答案：1.1.分分析析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.6/648331612,221sin683316812,22,1sin,1sin183345sin21sin5sin2sin21sin5maxmin222yzkkxxyzkkxxxxxxxxy2.2.分析分析 此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解.解：.47,6,2262,4562sin21452sin232cos2121452sin432cos41122sin2322cos121maxyzkkxkxxxxxxxxyf(x)的最小正周期为，最大值为21.3.3.分析分析 在此题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式.解：42212sin2cos1cossin2sin22xsnxxxxxxf