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1、学习好资料 欢迎下载 三角函数最值问题的几种常见解法 宜兴市丁蜀高级中学 谈琴 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一 配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是 2 时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二
2、次函数的最值问题来处理。例 1 函数3cos3sin2xxy的最小值为（）.A 2 B.0 C.41 D.6 分析本题可通过公式xx22cos1sin将函数表达式化为2cos3cos2xxy，因含有 cosx 的二次式，可换元，令 cosx=t，则,23,112ttyt配方，得41232 ty,11t当 t=1 时,即 cosx=1 时，0miny,选 B.例 2 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值 分 析：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。48331612,221sin683316812,22,1sin,1si
3、n183345sin21sin5sin2sin21sin5maxmin222yzkkxxyzkkxxxxxxxxy 学习好资料 欢迎下载 二 引入辅助角法 例 3 已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合。分析 此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解。解：.47,6,2262,4562sin21452sin232cos2121452sin432cos41122sin2322cos121maxyzkkxkxxxxxxxxy 三 利用三角函数的有界性 在三
4、角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例 4求函数1cos21cos2xxy的值域 分析 此为dxcbxaycoscos型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为1cos,1cos221xxy，可直接得到：3y或.31y 解法一：原函数变形为 ,1121,1cos,121cosyyxyyx3y或.31y 例 5（2003 年高考题）已知函数)cos(sinsin2xx
5、xxf，求函数 f(x)的最小正周期和最大值。分析 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。三角函数最值问题是三角函数中的基本内容也是高中数学中经常涉及的问题这部分内容是一个难点它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高解决这一类问题的基本途径同求解其他函数最值一样一方面应充分利用三角函数自值问题下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法一配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数切它们次数是时一般就需要通过配方或换元将给定的函数化为二次函数的最值问题来处理例函数的最小值为分析本题可通过
6、公一个为正弦一个为余弦角分别是单角和倍角所以先化简使三角函数的名和角达到统一学习好资料欢迎下载二引入辅助角法例已知函数当函数取得最大值时求自变量的集合分析此类问题为的三角函数求最值问题它可通过降次化简整理学习好资料 欢迎下载 解：42212sin2cos1cossin2sin22xsnxxxxxxf f(x)的最小正周期为，最大值为21。四 引入参数法（换元法）对 于 表 达 式 中 同 时 含 有sinx+cosx，与sinxcosx的 函 数，运 用 关 系 式,cossin21cossin2xxxx 一般都可采用换元法转化为 t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。例
7、 6 求函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。分析解：.cossin21cossin2xxxx令sinx+cosx=t，则ttyttxx21,2,221cossin22，其中2,2t 当.221,14sin,2maxyxt 五 利用基本不等式法 利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例 7 求函数xxy22cos4sin1的最值。解：xxy22cos4sin1=9225tan4cot5tan14cot12222xxxx 当且仅当,tan4cot22xx 即2cotx时，等号成立，故9miny。六 利用函数在区间内的单调
8、性 例 8 已知,0 x，求函数xxysin2sin的最小值。分析 此题为xaxsinsin型三角函数求最值问题，当 sinx0,a1，不能用均值不等式求最三角函数最值问题是三角函数中的基本内容也是高中数学中经常涉及的问题这部分内容是一个难点它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高解决这一类问题的基本途径同求解其他函数最值一样一方面应充分利用三角函数自值问题下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法一配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数切它们次数是时一般就需要通过配方或换元将给定的函数化为二次函数的最值问题来处理例函数的最小值为分析本题可通过公一个为正弦一个为余弦角分别是单角和倍角所
9、以先化简使三角函数的名和角达到统一学习好资料欢迎下载二引入辅助角法例已知函数当函数取得最大值时求自变量的集合分析此类问题为的三角函数求最值问题它可通过降次化简整理学习好资料 欢迎下载 值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设ttyttx1,10,sin，在（0，1）上为减函数，当 t=1 时，3miny。七 数形结合 由于1cossin22xx，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。例 9 求函数xxxy0cos2sin的最小值。分析 法一：将表达式改写成,cos2sin0 xxyy 可看成连接两点
10、 A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点 A 的切线与半圆相切与点 B,则.0ykAB 可求得.3365tanABk 所以 y 的最小值为33（此时3x）.法二：该题也可利用关系式 asinx+bcosx=xbasin22（即引入辅助角法）和有界性来求解。八 判别式法 例 10 求函数xxxxytansectansec22的最值。分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：kkxxyyxyxyxxxxxxxxy,0tan,1
11、01tan1tan11tantan1tantantansectansec22222 1y时此时一元二次方程总有实数解 三角函数最值问题是三角函数中的基本内容也是高中数学中经常涉及的问题这部分内容是一个难点它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高解决这一类问题的基本途径同求解其他函数最值一样一方面应充分利用三角函数自值问题下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法一配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数切它们次数是时一般就需要通过配方或换元将给定的函数化为二次函数的最值问题来处理例函数的最小值为分析本题可通过公一个为正弦一个为余弦角分别是单角和倍角所以先化简使三角函数的名和角达到统一学习
12、好资料欢迎下载二引入辅助角法例已知函数当函数取得最大值时求自变量的集合分析此类问题为的三角函数求最值问题它可通过降次化简整理学习好资料 欢迎下载 .3310313,014122yyyyy 由 y=3，tanx=-1，3,4maxyzkkx 由.31,4,1tan,31minykxxy 九 分类讨论法 含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例 11 设 20214sincos2xaxaxxf，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a).解：.214sinsin2axaxxf令 sinx=t,则,10 t .21442214222aaataattxftg（1）当12a，即 tga,2在0，
13、1上递增，;21431agaM（2）当,120a即20a时，tg在 0，1 上 先 增 后 减，;214422aaagaM（3）当,02a即 tga,0在0，1上递减，.4210agaM 0,42120,21442,21432aaaaaaaaM 以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。三角函数最值问题是三角函数中的基本内容也是高中数学中经常涉及的问题这部分内容是一个难点它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高解决这一类问题的基本途径同求解其他函数最值一样一方面应充分利用三角函数自值问题下面就
14、介绍几种常见的求三角函数最值的方法一配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数切它们次数是时一般就需要通过配方或换元将给定的函数化为二次函数的最值问题来处理例函数的最小值为分析本题可通过公一个为正弦一个为余弦角分别是单角和倍角所以先化简使三角函数的名和角达到统一学习好资料欢迎下载二引入辅助角法例已知函数当函数取得最大值时求自变量的集合分析此类问题为的三角函数求最值问题它可通过降次化简整理学习好资料 欢迎下载 2005-1-1 三角函数最值问题是三角函数中的基本内容也是高中数学中经常涉及的问题这部分内容是一个难点它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高解决这一类问题的基本途径同求解其他函数最值一样一方面应充分利用三角函数自值问题下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法一配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数切它们次数是时一般就需要通过配方或换元将给定的函数化为二次函数的最值问题来处理例函数的最小值为分析本题可通过公一个为正弦一个为余弦角分别是单角和倍角所以先化简使三角函数的名和角达到统一学习好资料欢迎下载二引入辅助角法例已知函数当函数取得最大值时求自变量的集合分析此类问题为的三角函数求最值问题它可通过降次化简整理