经济数学基础考点版.doc

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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。3-2经济数学基础线性代数 一、 单项选择题1设A为矩阵, B为矩阵, 则下列运算中( A ) 能够进行. AAB BABT CA+B DBAT 2设为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( B ) A. B. C. D. 3 0, 则有A = 0, 或B = 08设是阶可逆矩阵, 是不为0的常数, 则( C ) A. B. C. D. 9设, 则r(A) =( D ) A4 B3 C2 D1 10设线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化为, 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为( A ) A1 B2 C3 D4 11线性方程组

2、解的情况是( A ) A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12若线性方程组的增广矩阵为, 则当( A) 时线性方程组无解A B0 C1 D213 线性方程组只有零解, 则( B ) .A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解14设线性方程组AX=b中, 若r(A, b) = 4, r(A) = 3, 则该线性方程组( B ) A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解15设线性方程组有唯一解, 则相应的齐次方程组( C ) A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定16设A为矩阵, B为矩阵, 则下列运算中( A ) 能够进行.AAB BABT

3、 CA+B DBAT17设为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( B ) A. B. C. D. 18设为同阶可逆方阵, 则下列说法正确的是( D ) A. 若AB = I, 则必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 19设均为n阶方阵, 在下列情况下能推出A是单位矩阵的是( D ) A B C D20设是可逆矩阵, 且, 则( C ) .A. B. C. D. 21设, , 是单位矩阵, 则 ( D ) A B C D22设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算, 那么( B ) 成立.AAB = AC, A 0, 则B = C BAB = AC, A可逆, 则B = CCA可逆,

4、 则AB = BA DAB = 0, 则有A = 0, 或B = 023若线性方程组的增广矩阵为, 则当( D) 时线性方程组有无穷多解A1 B C2 D 24 若非齐次线性方程组Amn X = b的( C ), 那么该方程组无解A秩(A) n B秩(A)m C秩(A) 秩 () D秩(A) = 秩()25线性方程组 解的情况是( A ) A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解26 线性方程组只有零解, 则( B ) .A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解27设线性方程组AX=b中, 若r(A, b) = 4, r(A) = 3, 则该线性方程组(

5、 B ) A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解28设线性方程组有唯一解, 则相应的齐次方程组( C ) A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定30. 设A, B均为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( B ). A. (AB)T = ATBT B. (AB)T = BTAT C. (AB T)-1 = A-1(BT)1 D. (AB T)-1 = A-1(B1) T 解析: (AB )-1B-1 A-1(AB)T = BTAT故答案是B31. 设A= (1 2), B= (-1 3), E是单位矩阵, 则ATB E ( A ). A. B. C. D. 解析: ATB E32.

6、设线性方程组AX = B的增广矩阵为, 则此线性方程组一般解中自由未知量的个数为( A ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析: 33. 若线性方程组的增广矩阵为(A, B)=, 则当(D)时线性方程组有无穷多解. A. 1 B. 4 C. 2 D. 解析: 34. 线性方程组 解的情况是( A ). A. 无解B. 只有零解 C. 有惟一解 D. 有无穷多解解析: 35. 以下结论或等式正确的是( C ) A若均为零矩阵, 则有B若, 且, 则 C对角矩阵是对称矩阵 D若, 则 36. 设为矩阵, 为矩阵, 且乘积矩阵有意义, 则为( A ) 矩阵 A B C D 37. 设均为阶

7、可逆矩阵, 则下列等式成立的是( C ) A, B C D 38. 下列矩阵可逆的是( A ) A B C D 39. 矩阵的秩是( B ) A0 B1 C2 D3 二、 填空题1两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 与是同阶矩阵2计算矩阵乘积=43若矩阵A = , B = , 则ATB=4设为矩阵, 为矩阵, 若AB与BA都可进行运算, 则有关系式 5设, 当 0 时, 是对称矩阵.6当 时, 矩阵可逆.7设为两个已知矩阵, 且可逆, 则方程的解 8设为阶可逆矩阵, 则(A)= n 9若矩阵A =, 则r(A) = 2 10若r(A, b) = 4, r(A) = 3, 则线性方程组AX

8、 = b无解11若线性方程组有非零解, 则-112设齐次线性方程组, 且秩(A) = r n, 则其一般解中的自由未知量的个数等于 n-r 13齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 (其中是自由未知量) 14线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 =-1 时, 方程组有无穷多解.15若线性方程组有唯一解, 则只有0解 . 16两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 . 答案: 同阶矩阵17若矩阵A = , B = , 则ATB=答案18设, 当 时, 是对称矩阵. 答案: 19当 时, 矩阵可逆. 答案: 20设为两个已知矩阵, 且可逆, 则方程的解答案: 21设为阶可逆矩阵,

9、 则(A)= 答案: 22若矩阵A =, 则r(A) = 答案: 223若r(A, b) = 4, r(A) = 3, 则线性方程组AX = b答案: 无解24若线性方程组有非零解, 则答案: 25设齐次线性方程组, 且秩(A) = r n, 则其一般解中的自由未知量的个数等于答案: 26齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .答案: (其中是自由未知量)27线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 时, 方程组有无穷多解. 答案: 28. 计算矩阵乘积= 4 . 29. 设A为阶可逆矩阵, 则(A)= n . 30. 设矩阵A =, E为单位矩阵, 则(E A) T= 31. 若

10、线性方程组有非零解, 则 1 . 32. 若线性方程组AX=B(B O)有惟一解, 则AX=O无非零解 .33.设矩阵, 则的元素.答案: 334.设均为3阶矩阵, 且, 则=. 答案: 35. 设均为阶矩阵, 则等式成立的充分必要条件是 .答案: 36. 设均为阶矩阵, 可逆, 则矩阵的解.答案: 37. 设矩阵, 则.答案: 三、 计算题 1设矩阵, , 求1解 因为 = =因此 = 2设矩阵 , , , 计算 2解: = = = 3设矩阵A =, 求 3解 因为 (A I )= 因此 A-1 = 4设矩阵A =, 求逆矩阵 4解 因为(A I ) = 因此 A-1= 5设矩阵 A =,

11、B =, 计算(AB)-1 5解 因为AB = (AB I ) = 因此 (AB)-1= 6设矩阵 A =, B =, 计算(BA)-1 6解 因为BA= (BA I )= 因此 (BA)-1= 7解矩阵方程7解 因为 即 因此, X = 8解矩阵方程. 8解: 因为 即 因此, X = 9设线性方程组 讨论当a, b为何值时, 方程组无解, 有唯一解, 有无穷多解. 9解 因为 因此当且时, 方程组无解; 当时, 方程组有唯一解; 当且时, 方程组有无穷多解. 10设线性方程组 , 求其系数矩阵和增广矩阵的秩, 并判断其解的情况. 10解 因为 因此 r(A) = 2, r() = 3. 又

12、因为r(A) r(), 因此方程组无解. 11求下列线性方程组的一般解: 11解 因为系数矩阵 因此一般解为 ( 其中, 是自由未知量) 12求下列线性方程组的一般解: 12解 因为增广矩阵 因此一般解为 ( 其中是自由未知量) 13设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解, 并求一般解. 13解 因为系数矩阵 A = 因此当l = 5时, 方程组有非零解. 且一般解为 ( 其中是自由未知量) 14当取何值时, 线性方程组 有解? 并求一般解.14解 因为增广矩阵 因此当=0时, 线性方程组有无穷多解, 且一般解为: 是自由未知量15已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为问取何值时, 方程

13、组有解? 当方程组有解时, 求方程组的一般解.15解: 当=3时, , 方程组有解. 当=3时, 一般解为, 其中, 为自由未知量.16设矩阵 A =, B =, 计算(BA)-1解 因为BA= (BA I )= 17设矩阵, 是3阶单位矩阵, 求解: 由矩阵减法运算得 利用初等行变换得即 18设矩阵, 求解: 利用初等行变换得即 由矩阵乘法得 19求解线性方程组的一般解 解: 将方程组的系数矩阵化为阶梯形一般解为 (是自由未知量) 20求当取何值时, 线性方程组有解, 在有解的情况下求方程组的一般解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形因此, 当时, 方程组有解, 且有无穷多解, 答案: 其中是自

14、由未知量 21求当取何值时, 线性方程组解: 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 当时, 方程组有解, 且方程组的一般解为 其中为自由未知量 22计算解 =23设矩阵, 求。解 因为因此( 注意: 因为符号输入方面的原因, 在题4题7的矩阵初等行变换中, 书写时应把( 1) 写成; ( 2) 写成; ( 3) 写成; ) 24设矩阵, 确定的值, 使最小。解: 当时, 达到最小值。25求矩阵的秩。解: 。26求下列矩阵的逆矩阵: ( 1) 解: ( 2) A =解: A-1 = 27设矩阵, 求解矩阵方程解: = 四、 证明题1试证: 设A, B, AB均为n阶对称矩阵, 则AB =BA1证 因为A

15、T = A, BT = B, (AB)T = AB 因此 AB = (AB)T = BT AT = BA 2试证: 设是n阶矩阵, 若= 0, 则2证 因为 = = 因此 3已知矩阵 , 且, 试证是可逆矩阵, 并求. 3. 证 因为, 且, 即, 得, 因此是可逆矩阵, 且. 4. 设阶矩阵满足, , 证明是对称矩阵.4. 证 因为 =因此是对称矩阵.5设A, B均为n阶对称矩阵, 则ABBA也是对称矩阵 5证 因为 , 且 因此 ABBA是对称矩阵 6、 试证: 若都与可交换, 则, 也与可交换。证: , 即 也与可交换。 即 也与可交换. 7试证: 对于任意方阵, , 是对称矩阵。证: 是对称矩阵。= 是对称矩阵。是对称矩阵. 8设均为阶对称矩阵, 则对称的充分必要条件是: 。证: 必要性: , 若是对称矩阵, 即而 因此充分性: 若, 则是对称矩阵. 9设为阶对称矩阵, 为阶可逆矩阵, 且, 证明是对称矩阵。 证: 是对称矩阵. 证毕.