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1、第1章随机过程的基本概念电子科技大学电子科技大学07-10月-22第1页，此课件共42页哦1.1 基本概念基本概念 Ex.1 对某城市的气温进行对某城市的气温进行n年的连续观察年的连续观察,记录得记录得一、实际背景一、实际背景 在许多实际问题中在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的且需要做多次的连续不断的观察观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程以观察研究对象随时间推移的演变过程.第2页，此课件共42页哦研究该城市气温有无以年为周期的变化规律研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?随机过程的谱分析问题
2、Ex.2从杂乱电讯号的一段观察从杂乱电讯号的一段观察Y(t),0t T中中,研究是否存在某种随机信号研究是否存在某种随机信号S(t)?)?过程检测 Ex.3监听器上收到某人的话音记录监听器上收到某人的话音记录Z(t),t 试试问他是否确实是追踪对象？问他是否确实是追踪对象？过程识别第3页，此课件共42页哦二、随机过程定义二、随机过程定义为为(F,P)上的一个随机过程上的一个随机过程.定义定义 设设(,F,P)是概率空间是概率空间,若对每个若对每个是概率空间是概率空间(F,P)上的随机变量上的随机变量,则称这族随机变量则称这族随机变量注注1)称称T是是参数集参数集(或或参数空间参数空间)当当T=
3、(1,2,，n),随机向量第4页，此课件共42页哦当当T=(1,2,n,),随机时间序列 随机过程是随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的维随机变量，随机变量序列的一般化一般化,是随机变量是随机变量X(t),的集合的集合.用用E表表示示随随机机过过程程 的的值值域域,称称E为为 过程的过程的状态空间状态空间.Ex.4设设(,F,P)是对应于抛均匀硬币的概率是对应于抛均匀硬币的概率空间空间:第5页，此课件共42页哦做无穷多次抛硬币独立试验做无穷多次抛硬币独立试验,引入随机变量引入随机变量 则则是一随机过程是一随机过程.其参数集其参数集T=0,1,2,状态空间状态空间E=0,1.随机过程的理解随
4、机过程的理解为集合为集合T 与与的的积集积集.称称第6页，此课件共42页哦 随机过程随机过程 可看成定义在积集可看成定义在积集 上的二上的二元函数元函数 1)当固定当固定是一个随机变量是一个随机变量；2)当固定当固定 ,作为作为 的函数，的函数，是一个是一个定义在定义在T上的普通函数上的普通函数.T第7页，此课件共42页哦X(t1,)X(t2,)X(t,1)X(t,2)X(t,3)t1t2tn 定义定义 对每一固定对每一固定 ，称，称 是随机过程是随机过程 的一个的一个样本函数样本函数.也称轨道,路径,现实.第8页，此课件共42页哦Ex.5利用抛硬币的试验定义一个随机过程，利用抛硬币的试验定义
5、一个随机过程，设出现正反面的概率相同设出现正反面的概率相同,写出写出X(t)的所有样本函的所有样本函数数.解解记记1=出现正面出现正面,2=出现反面出现反面,则则X(t)的所有现实为的所有现实为x(1,t)=cost,和和x(2,t)=2t.第9页，此课件共42页哦 1 1、分布函数定义、分布函数定义 对对任任意意 ,二二维维随随机机变变量量(X(s),X(t)联合分布函数联合分布函数 定义定义1 随机过程随机过程 ，对，对随机变量随机变量X(t)的分布函数的分布函数 ,称为过程称为过程XT 的的一维一维分布函数分布函数.二、二、有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理第10页
6、，此课件共42页哦称为称为XT 的的二维分布函数族二维分布函数族.定义定义2 过程过程 对任给的对任给的随机向量随机向量的联合分布函数的联合分布函数称为过程的称为过程的n 维分布函数维分布函数.记记第11页，此课件共42页哦称称F为为XT 的的有限维分布函数族有限维分布函数族.定义定义3过程过程 的的n 维特征函数定义为维特征函数定义为第12页，此课件共42页哦特征函数和分布函数是相互唯一确定特征函数和分布函数是相互唯一确定.称称为为XT 的有限维特征函数族的有限维特征函数族.2.随机过程存在定理随机过程存在定理随机过程的有限维分布函数族满足以下随机过程的有限维分布函数族满足以下两个性质两个性
7、质（1）对称性）对称性第13页，此课件共42页哦 对对1,2,n 的任一排列的任一排列j1,j2,jn,均有均有 对任意固定的自然数对任意固定的自然数mn,均有均有（2）相容性）相容性注注联合分布函数能完全确定边缘分布函数联合分布函数能完全确定边缘分布函数.因事件乘积满足交换律因事件乘积满足交换律.注注第14页，此课件共42页哦类似地类似地,随机过程的有限维特征函数满足随机过程的有限维特征函数满足:1)对对1,2,n的任一排列的任一排列j1,j2,jn有有 2)对任意固定的自然数对任意固定的自然数mn,均有均有第15页，此课件共42页哦3 3、随机过程存在定理、随机过程存在定理(柯尔莫哥罗夫柯
8、尔莫哥罗夫)如果分布函数族如果分布函数族 满足条件满足条件(1)和和(2),则存在一个概率空间上的一个随则存在一个概率空间上的一个随机过程机过程 ,其有限维分布函数其有限维分布函数族恰为族恰为即有即有第16页，此课件共42页哦 在实际应用中在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维很难确定出随机过程的有限维分布函数族分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性过程的数字特征能反映其局部统计性质质.1、均值函数、方差函数及相关函数、均值函数、方差函数及相关函数 定义定义 给定随机过程给定随机过程 ,称称为过程为过程XT的的均值函数均值函数.需确定各类数字特征随时间的变化规律需确定各类数字特征随时间
9、的变化规律.三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征第17页，此课件共42页哦 定义定义 给定随机过程给定随机过程 ,称称为过程为过程XT的的方差函数方差函数.称称 为过程为过程XT的的均方差函数均方差函数.需要描述不同时刻过程状态的关联关系需要描述不同时刻过程状态的关联关系.定义定义 给定随机过程给定随机过程 ,称称为过程为过程XT的的协方差函数协方差函数.有有第18页，此课件共42页哦 定义定义 给定随机过程给定随机过程 ,称称为过程为过程XT的的自相关函数自相关函数.有有特别当特别当 时时XT是零均值过程称称为过程为过程XT的的自相关系数自相关系数.第19页，此课件共42页哦定义定义
10、 给定两个随机过程给定两个随机过程 称称为为和和的互协方差函数。称的互协方差函数。称为为和和的互相关函数。的互相关函数。第20页，此课件共42页哦Ex.1设设p,q是两个随机变量是两个随机变量,构成随机过程构成随机过程均值函数为均值函数为自相关函数为自相关函数为若若p,q相互独立，且均服从分布相互独立，且均服从分布N(0,1)，则，则第21页，此课件共42页哦Ex.2设随机过程设随机过程其中其中是正常数是正常数,随机变量随机变量A与与相互独立相互独立,AN(0,1),U(0,2).试求过程的均值函数和相关试求过程的均值函数和相关函数函数.解解第22页，此课件共42页哦随机变量函数随机变量函数的
11、数学期望公的数学期望公式式第23页，此课件共42页哦2、复随机过程、复随机过程 定义定义 设设 和和 是两个实随是两个实随机过程，称机过程，称为为复随机过程复随机过程.复随机过程复随机过程的的均值函数均值函数为为方差函数方差函数为为第24页，此课件共42页哦自相关函数自相关函数为为自协方差函数自协方差函数为为 定义定义 设设 和和 是两个复随机是两个复随机过程过程,它们的它们的互相关函数互相关函数定义为定义为互协方差互协方差函数为函数为第25页，此课件共42页哦四、随机过程的分类四、随机过程的分类1.按状态空间和参数集进行分类按状态空间和参数集进行分类1)T,E均为可列集均为可列集;2)T是是
12、可列集可列集,E不可列不可列;3)T不可列不可列,E为可列集为可列集;4)T,E均不可列均不可列.第26页，此课件共42页哦 当当T为可列集为可列集,称为称为离散参数随机过程离散参数随机过程,随机随机序列序列,时间序列时间序列.当当E 为可列为可列(或有限或有限)集集,称为称为离散状态随机过离散状态随机过程程.2.按概率结构进行分类按概率结构进行分类1)二阶矩过程二阶矩过程 若过程若过程 对每一个对每一个 ,的的二阶矩都存在二阶矩都存在.第27页，此课件共42页哦2)平稳过程平稳过程宽平稳过程（或协方差平稳过程）宽平稳过程（或协方差平稳过程）若若仅依赖仅依赖称为宽平稳过程。称为宽平稳过程。严平
13、稳过程严平稳过程有相同的联合分布，则称该过程为严平稳过程。有相同的联合分布，则称该过程为严平稳过程。若若第28页，此课件共42页哦定义：设定义：设 为一平稳过程（或为一平稳过程（或平稳序列），若平稳序列），若或或则称则称X的均值具有遍历性。此处极限为均方的均值具有遍历性。此处极限为均方意义，即意义，即平稳过程的平稳过程的遍历性遍历性第29页，此课件共42页哦若若或或则称则称X的协方差具有遍历性。的协方差具有遍历性。若一个随机过程的若一个随机过程的均值和协方差函数都具有遍历性，则称随机均值和协方差函数都具有遍历性，则称随机过程具有遍历性。过程具有遍历性。第30页，此课件共42页哦定理定理（均值遍
14、历性定理均值遍历性定理）（1）设）设X=Xn,n=0,1,2,是平稳序列，其是平稳序列，其协方差函数为协方差函数为，则，则X有遍历性的充要条件有遍历性的充要条件是是（2）设）设X=Xt,-t+是平稳过程，则是平稳过程，则X有遍有遍历性的充要条件是历性的充要条件是第31页，此课件共42页哦给出连续型的证明：给出连续型的证明：第32页，此课件共42页哦做变换做变换则则Jacobi行列式的值为行列式的值为积分区域变为积分区域变为第33页，此课件共42页哦所以有所以有第34页，此课件共42页哦推论推论1：若：若则均值遍历性定理成立。则均值遍历性定理成立。证明：因为，当证明：因为，当时，有时，有第35页
15、，此课件共42页哦推论推论2：对于平稳序列而言，若：对于平稳序列而言，若则均值遍历性定理成立。则均值遍历性定理成立。证：给出离散型情形，由证：给出离散型情形，由Stoltz定理定理令令第36页，此课件共42页哦定理定理（协方差函数遍历性定理协方差函数遍历性定理）设设X=Xt,-t+是平稳过程，其均值函数为是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充要条件是零，则协方差函数有遍历性的充要条件是其中其中第37页，此课件共42页哦例例设设，则，则的均值有遍历性。的均值有遍历性。证明证明其均值为其均值为其协方差函数为其协方差函数为第38页，此课件共42页哦所以，所以，是平稳过程。又是平稳过程。又第39页，此课件共42页哦所以，所以，的均值有遍历性。的均值有遍历性。第40页，此课件共42页哦3)平稳增量过程平稳增量过程 对任意实数对任意实数 h及任意及任意t1,t2有有4)独立增量过程独立增量过程 对任一正整数对任一正整数n及任意及任意 随随机变量机变量相互独立相互独立.过程增量重要子类有泊松过程，维纳过程重要子类有泊松过程，维纳过程.第41页，此课件共42页哦5)马尔科夫过程马尔科夫过程.6)正态过程正态过程7)鞅过程鞅过程第42页，此课件共42页哦