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1、第1章随机过程的基本概念电子科技大学19-5月-23第1页，本讲稿共42页1.1 基本概念 Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察,记录得一、实际背景 在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.第2页，本讲稿共42页研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?随机过程的谱分析问题 Ex.2从杂乱电讯号的一段观察Y(t),0t T中,研究是否存在某种随机信号S(t)?过程检测 Ex.3监听器上收到某人的话音记录Z(t),t 试问他是否确实是追踪对象？过程识别第3页，本讲稿共42页二、随机过程定义为(F,P)上的
2、一个随机过程.定义 设(,F,P)是概率空间,若对每个是概率空间(F,P)上的随机变量,则称这族随机变量注1)称T是参数集(或参数空间)当T=(1,2,，n),随机向量第4页，本讲稿共42页当T=(1,2,n,),随机时间序列 随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的一般化,是随机变量X(t),的集合.用E表示随机过程 的值域,称E为 过程的状态空间.Ex.4设(,F,P)是对应于抛均匀硬币的概率空间:第5页，本讲稿共42页做无穷多次抛硬币独立试验,引入随机变量 则 是一随机过程.其参数集T=0,1,2,状态空间E=0,1.随机过程的理解为集合T 与的积集.称第6页，本讲稿共42页 随机过程
3、可看成定义在积集 上的二元函数 1)当固定 是一个随机变量；2)当固定,作为 的函数，是一个定义在T上的普通函数.T第7页，本讲稿共42页X(t1,)X(t2,)X(t,1)X(t,2)X(t,3)t1t2tn 定义 对每一固定，称 是随机过程 的一个样本函数.也称轨道,路径,现实.第8页，本讲稿共42页Ex.5利用抛硬币的试验定义一个随机过程，设出现正反面的概率相同,写出X(t)的所有样本函数.解 记1=出现正面,2=出现反面,则X(t)的所有现实为x(1,t)=cost,和x(2,t)=2t.第9页，本讲稿共42页 1、分布函数定义 对任意,二维随机变量(X(s),X(t)联合分布函数 定
4、义1 随机过程，对随机变量X(t)的分布函数,称为过程XT 的一维分布函数.二、有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理第10页，本讲稿共42页称为XT 的二维分布函数族.定义2 过程 对任给的随机向量的联合分布函数称为过程的n 维分布函数.记第1 1页，本讲稿共42页称F为XT 的有限维分布函数族.定义3 过程 的n 维特征函数定义为第12页，本讲稿共42页特征函数和分布函数是相互唯一确定.称为XT 的有限维特征函数族.2.随机过程存在定理随机过程的有限维分布函数族满足以下两个性质（1）对称性第13页，本讲稿共42页 对1,2,n 的任一排列j1,j2,jn,均有 对任意固定的自然数mn,均有（2）相容
5、性注联合分布函数能完全确定边缘分布函数.因事件乘积满足交换律.注第14页，本讲稿共42页类似地,随机过程的有限维特征函数满足:1)对1,2,n的任一排列j1,j2,jn有 2)对任意固定的自然数mn,均有第15页，本讲稿共42页3、随机过程存在定理(柯尔莫哥罗夫)如果分布函数族 满足条件(1)和(2),则存在一个概率空间上的一个随机过程,其有限维分布函数族恰为即有第16页，本讲稿共42页 在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.1、均值函数、方差函数及相关函数 定义 给定随机过程,称为过程XT的均值函数.需确定各类数字特征随时间的变化规律.三、随
6、机过程的数字特征第17页，本讲稿共42页 定义 给定随机过程,称为过程XT的方差函数.称 为过程XT的均方差函数.需要描述不同时刻过程状态的关联关系.定义 给定随机过程,称为过程XT的协方差函数.有第18页，本讲稿共42页 定义 给定随机过程,称为过程XT的自相关函数.有特别当 时 XT是零均值过程称为过程XT的自相关系数.第19页，本讲稿共42页定义 给定两个随机过程 称为 和 的互协方差函数。称为 和 的互相关函数。第20页，本讲稿共42页Ex.1设p,q是两个随机变量,构成随机过程均值函数为自相关函数为若p,q相互独立，且均服从分布N(0,1)，则第21页，本讲稿共42页Ex.2设随机过
7、程其中是正常数,随机变量A与相互独立,AN(0,1),U(0,2).试求过程的均值函数和相关函数.解第22页，本讲稿共42页随机变量函数的数学期望公式第23页，本讲稿共42页2、复随机过程 定义 设 和 是两个实随机过程，称为复随机过程.复随机过程 的均值函数为方差函数为第24页，本讲稿共42页自相关函数为自协方差函数为 定义 设 和 是两个复随机过程,它们的互相关函数定义为互协方差函数为第25页，本讲稿共42页四、随机过程的分类1.按状态空间和参数集进行分类1)T,E均为可列集;2)T是可列集,E不可列;3)T不可列,E为可列集;4)T,E均不可列.第26页，本讲稿共42页 当T为可列集,称
8、为离散参数随机过程,随机序列,时间序列.当E 为可列(或有限)集,称为离散状态随机过程.2.按概率结构进行分类1)二阶矩过程 若过程 对每一个,的二阶矩都存在.第27页，本讲稿共42页2)平稳过程宽平稳过程（或协方差平稳过程）若仅依赖称为宽平稳过程。严平稳过程有相同的联合分布，则称该过程为严平稳过程。若第28页，本讲稿共42页定义：设 为一平稳过程（或平稳序列），若或则称X的均值具有遍历性。此处极限为均方意义，即平稳过程的遍历性第29页，本讲稿共42页若或则称X的协方差具有遍历性。若一个随机过程的均值和协方差函数都具有遍历性，则称随机过程具有遍历性。第30页，本讲稿共42页定理（均值遍历性定理
9、）（1）设X=Xn,n=0,1,2,是平稳序列，其协方差函数为，则X有遍历性的充要条件是（2）设X=Xt,-t+是平稳过程，则X有遍历性的充要条件是第31页，本讲稿共42页给出连续型的证明：第32页，本讲稿共42页做变换则Jacobi行列式的值为积分区域变为第33页，本讲稿共42页所以有第34页，本讲稿共42页推论1：若则均值遍历性定理成立。证明：因为，当 时，有第35页，本讲稿共42页推论2：对于平稳序列而言，若则均值遍历性定理成立。证：给出离散型情形，由Stoltz定理令第36页，本讲稿共42页定理（协方差函数遍历性定理）设X=Xt,-t+是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充要条件是其中第37页，本讲稿共42页例 设，则 的均值有遍历性。证明 其均值为其协方差函数为第38页，本讲稿共42页所以，是平稳过程。又第39页，本讲稿共42页所以，的均值有遍历性。第40页，本讲稿共42页3)平稳增量过程 对任意实数 h及任意t1,t2有4)独立增量过程 对任一正整数n及任意 随机变量相互独立.过程增量重要子类有泊松过程，维纳过程.第41页，本讲稿共42页5)马尔科夫过程.6)正态过程7)鞅过程第42页，本讲稿共42页