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1、第1章量子力学基础第1页，此课件共20页哦1.3.2 假设假设力学量用线性厄米算符表达力学量用线性厄米算符表达（1 1）算符的概念与运算法则算符的概念与运算法则算符：算符：算符：算符：算符是作用于一个函数 f 而得到另外一个函数 g 的运算符号。即其它如，lg，d/dx，sin 等都是算符，我们常给字母上加一尖号表示算符，用来区别算符与其它力学量。微观体系的每个可观测量的力学量微观体系的每个可观测量的力学量A A，均对应于一个线性厄，均对应于一个线性厄米算符。米算符。坐标和动量的算符分别为第2页，此课件共20页哦线性算符线性算符线性算符线性算符:如果算符如果算符 满足满足则 称为线性算符。如微
2、分、积分、求和等运算都是线性的。厄米厄米厄米厄米(Hermite)(Hermite)(Hermite)(Hermite)算符（也称为自轭算符算符（也称为自轭算符算符（也称为自轭算符算符（也称为自轭算符 ）：）：）：）：若 算符满足 则称 算符为厄米算符或自轭算符 第3页，此课件共20页哦例例5（1-22）式左端 （1-22）式右端 所以 算符为厄米算符第4页，此课件共20页哦例例6故 也是厄米算符 第5页，此课件共20页哦（2 2）量子力学中的常用算符）量子力学中的常用算符由坐标和动量两个基本算符，我们可以导出其它常见力学量的算符。由坐标和动量两个基本算符，我们可以导出其它常见力学量的算符。势
3、能：势能：势能：势能：动能：动能：动能：动能：一维时一维时一维时一维时三维时三维时三维时三维时第6页，此课件共20页哦如果令并称之为拉普拉斯算符，则动能算符可表示为能量：能量：ETV称为哈密顿(Hamilton)算符。第7页，此课件共20页哦用类似的方法，可以造出任何力学量相对应的量子力学算符。常见的若干力学量及算符列于下表力学量角动量的z轴分量*动量的x轴分量算 符经典力学表达式动能势能能量*位置第8页，此课件共20页哦1.3.3 假设假设力学量的测量与算符本征函数的本征值力学量的测量与算符本征函数的本征值对于微观体系的每一个物理可观测量对于微观体系的每一个物理可观测量 A 的测量，得到的仅
4、的测量，得到的仅有的可能值，只能是有的可能值，只能是A所对应的算符的本征函数的本征值所对应的算符的本征函数的本征值ai。即。即1.算符的本征函数和本征值算符的本征函数和本征值一个算符作于一个函数上，一般会得到另外一个函数，如d/dx作于在函数 x2上，会得到另一个函数 2 x。特别地，如果算符作用于一个函数的结果，简单的是这个函数本身乘上一个常数，则我们称这个函数是算符的本征函数，相应的常数是这个本征函数的本征值。第9页，此课件共20页哦例如一个算符的所有本征函数构成一个系列，其相应的本征值也构成一个集合。根据原理，对于某力学量A的测量，只能得到A算符的本征函数的本征值，这样通过本征方程，就把
5、实验测量和量子力学原理联系起来了。第10页，此课件共20页哦2.能量本征方程能量本征方程如果力学量算符是Hamilton算符，则构成能量本征方程：这就是不含时间的Schrodinger方程，或称为定态Schrodinger方程。3.含时方程与定态方程的关系含时方程与定态方程的关系如果体系的势函数为随时间而变，即 V=V(x,y,z)，则也可以由含时方程演化出定态Schrodinger方程第11页，此课件共20页哦由原理，含时间的薛定谔方程 代入到含时方程，并同除以 得（1-*1-*）（1-*1-*）或者对于定态，可将坐标变量与时间变量分开。设 第12页，此课件共20页哦上式两端分别是时间和坐标
6、的函数，要使方程式成立，必须同时等于一个常数，令其为E。此方程的解为 这就是量子力学假定量子力学假定I I中令 为 的原因 右边 左边此式即为能量本征方程，通常也写为 第13页，此课件共20页哦4.4.厄米算符本征函数和本征值的性质厄米算符本征函数和本征值的性质厄米算符本征函数和本征值的性质厄米算符本征函数和本征值的性质 (1)厄米算符本征值是实数厄米算符本征值是实数 由厄米算符定义式 上两式左边相等，则右边也应相等。即有 因此 ，即 a 必为实数（只有实数的共轭才与其自身相等）。同取共轭 第14页，此课件共20页哦(2)厄米算符本征函数构成正交归一化的完备集厄米算符本征函数构成正交归一化的完
7、备集 正交归一性正交归一性:统一写为 ij 称为克罗内克尔得尔塔(Kronecker delta)记号。ij的值要么为0，要么为1。这一性质要为以后的计算带来极大的方便，可以略去很多积分。这一性质要为以后的计算带来极大的方便，可以略去很多积分。例例7对氢原子波函数，必然存在 和第15页，此课件共20页哦完备性：完备性：厄米算符本征函数的完备性是指任一与该函数系服从同样边界条件完备性是指任一与该函数系服从同样边界条件的合格波函数的合格波函数可以表示成它们的线性组合，即可以表示成它们的线性组合，即 本征函数系i的这种性质称为“完备性”，即厄米算符本征函数构成一正交归一的完备集合。也就是说，体系的任
8、何状态均可以用各本征函数的迭加来表示。例如，1s和2s态的线性组合也可能是体系的一种状态，这就是态迭加原理的基础。第16页，此课件共20页哦1.3.41.3.4假设假设IVIV态叠加原理态叠加原理 若若 为某一微观体系可能的状态，由它们线性组合所得的为某一微观体系可能的状态，由它们线性组合所得的也是该体系可能也是该体系可能存在的状态，即存在的状态，即 式中c1,c2,cn为线性组合常数，状态中各个i出现的几率为|ci|2。设，即i是某算符的本征函数，它们应该具有正交归一性。而组合态也应该是归一化的。第17页，此课件共20页哦所以|ci|2 解释为在状态中各个i出现的几率。推论：对于任意归一化的状态函数代表测量物理量A所能够得到的统计平均值。证明：由本征函数的完备性，将写成本征函数的线性组合（1-*1-*）证毕第18页，此课件共20页哦例例8一维势箱中粒子，对应能量 ，对应能量 。求体系在 状态时，能量的平均值。归一化时，例例9sp杂化,两个杂化波函数可以写为 杂化轨道中s，p成分的大小由组合系数cij来决定。例例*当体系处在本征态，其测量平均值即为其本征值第19页，此课件共20页哦第20页，此课件共20页哦