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1、第4章数字特征与特征函数第1页，本讲稿共28页 例例例例:某城市流行一种疾病某城市流行一种疾病某城市流行一种疾病某城市流行一种疾病,患者约占患者约占患者约占患者约占10%,10%,对全城居民验血对全城居民验血对全城居民验血对全城居民验血,现有两种方案现有两种方案现有两种方案现有两种方案:逐个化验逐个化验逐个化验逐个化验;将四个人的血样合为一组将四个人的血样合为一组将四个人的血样合为一组将四个人的血样合为一组,混合混合混合混合化验化验化验化验,如果合格如果合格如果合格如果合格,则只需化验一次则只需化验一次则只需化验一次则只需化验一次,如发现有问题如发现有问题如发现有问题如发现有问题,则需对此组四
2、则需对此组四则需对此组四则需对此组四人再逐个复查人再逐个复查人再逐个复查人再逐个复查,共化验共化验共化验共化验5 5次。比较两种方案次。比较两种方案次。比较两种方案次。比较两种方案,何种为优何种为优何种为优何种为优?解解解解:任取四人任取四人任取四人任取四人,第一种方案需化验四次第一种方案需化验四次第一种方案需化验四次第一种方案需化验四次;设第二种方案需化设第二种方案需化设第二种方案需化设第二种方案需化验的次数为验的次数为验的次数为验的次数为X X,则则则则X X为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量,分布列为分布列为分布列为分布列为 所以第二种方案为优。所以第二种方
3、案为优。所以第二种方案为优。所以第二种方案为优。X15Pi0.941-0.94第2页，本讲稿共28页二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设设设X X为具有密度函数为具有密度函数为具有密度函数为具有密度函数f f(x x)的连续型随机变量的连续型随机变量的连续型随机变量的连续型随机变量,若积分若积分若积分若积分 绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛(即即即即 ),),则称它为则称它为则称它为则称它为X X的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望(或均值或均值或均值或均值),),记记记记为为为为E E(X X)或或或或EX
4、EX,即即即即 例例例例:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X服从正态分布服从正态分布服从正态分布服从正态分布 试求试求试求试求E E(X X)。解解解解:X X的分布密度为的分布密度为的分布密度为的分布密度为 第3页，本讲稿共28页例例例例:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X服从服从服从服从P P型分布型分布型分布型分布,求求求求E E(X X)。解解解解:X X的分布密度为的分布密度为的分布密度为的分布密度为第4页，本讲稿共28页 例例例例:有有有有5 5个相互独立的电子装置串联组成整机个相互独立的电子装置串联组成整机个相互独立的电子装置串联组成整机个相互独立的电子装
5、置串联组成整机,它们每一个它们每一个它们每一个它们每一个的寿命的寿命的寿命的寿命 服从同一指数分布服从同一指数分布服从同一指数分布服从同一指数分布,其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为只要有一个电子装置损坏只要有一个电子装置损坏只要有一个电子装置损坏只要有一个电子装置损坏,整机就不能工作整机就不能工作整机就不能工作整机就不能工作,求整机寿命求整机寿命求整机寿命求整机寿命Y Y的数学的数学的数学的数学期望。期望。期望。期望。解解解解:先求先求先求先求Y Y的密度函数的密度函数的密度函数的密度函数,显然显然显然显然,Y Y的取值应为的取值应为的取值应为的取值应为5 5个装置中寿命最个装
6、置中寿命最个装置中寿命最个装置中寿命最短的一个。因此有短的一个。因此有短的一个。因此有短的一个。因此有,Y Y=min(=min(X X1 1,X X2 2,X X5 5),),Y Y的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为从而从而从而从而Y Y的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为于是于是于是于是Y Y的数学期望为的数学期望为的数学期望为的数学期望为第5页，本讲稿共28页 例例例例:随机变量随机变量随机变量随机变量X X服从柯西分布服从柯西分布服从柯西分布服从柯西分布,其分布密度为其分布密度为其分布密度为其分布密度为求求求求E E(X X)。解解解解:所以所以所以所以X X
7、的数学期望不存在。的数学期望不存在。的数学期望不存在。的数学期望不存在。第6页，本讲稿共28页三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 定理定理定理定理:设设设设Y Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数,Y Y=g g(X X)()(g g是单值连续函数是单值连续函数是单值连续函数是单值连续函数),),当当当当X X是离散型随机变量时是离散型随机变量时是离散型随机变量时是离散型随机变量时,若若若若 当当当当X X是连续型随机变量时是连续型随机变量时是连续型随机变量时是连续型随机变量时,若若若若
8、其中其中其中其中,f f(x x)是是是是X X的密度函数。的密度函数。的密度函数。的密度函数。例例例例:对球的直径作近似测量对球的直径作近似测量对球的直径作近似测量对球的直径作近似测量,其值均匀分布在区间其值均匀分布在区间其值均匀分布在区间其值均匀分布在区间 a a,b b 上上上上,试求球的体积试求球的体积试求球的体积试求球的体积 的数学期望。的数学期望。的数学期望。的数学期望。解解解解:设用设用设用设用X X表示测量得的球直径表示测量得的球直径表示测量得的球直径表示测量得的球直径,它是一个随机变量它是一个随机变量它是一个随机变量它是一个随机变量,其密度为其密度为其密度为其密度为 以以以以
9、Y Y表示球的体积表示球的体积表示球的体积表示球的体积,则则则则 ,故故故故第7页，本讲稿共28页推广推广推广推广:X X1 1,X X2 2,X Xn n为为为为n n元随机变量元随机变量元随机变量元随机变量,联合密度为联合密度为联合密度为联合密度为 ,则则则则 例例例例:设服从二元正态分布设服从二元正态分布设服从二元正态分布设服从二元正态分布,其密度函数为其密度函数为其密度函数为其密度函数为试求随机变量试求随机变量试求随机变量试求随机变量 的数学期望。的数学期望。的数学期望。的数学期望。解解解解:第8页，本讲稿共28页四、数学期望的性质四、数学期望的性质四、数学期望的性质四、数学期望的性质
10、 E E(c c)=)=c c E E(cXcX)=cE=cE(X X)推广推广推广推广:设设设设X X与与与与Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立,则则则则 推广推广推广推广:n n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量 第9页，本讲稿共28页 例例例例:一民航机场的送客班车载有一民航机场的送客班车载有一民航机场的送客班车载有一民航机场的送客班车载有2020位旅客位旅客位旅客位旅客,自机场开出自机场开出自机场开出自机场开出,沿途沿途沿途沿途有有有有1010个车站个车站个车站个车站,如到达一个车站没有旅客下车如到达一个车站没有旅客下车如到达一个车站没
11、有旅客下车如到达一个车站没有旅客下车,就不停车就不停车就不停车就不停车,以以以以X X表示停表示停表示停表示停车次数车次数车次数车次数,求求求求E E(X X)。(设每个旅客在各个车站下车是等可能的设每个旅客在各个车站下车是等可能的设每个旅客在各个车站下车是等可能的设每个旅客在各个车站下车是等可能的)。解解解解:设设设设1010个车站依次为个车站依次为个车站依次为个车站依次为1,1,10,10,X Xi i表示在第表示在第表示在第表示在第i i站停车次数。站停车次数。站停车次数。站停车次数。10第10页，本讲稿共28页五、众数和中位数五、众数和中位数五、众数和中位数五、众数和中位数 众数众数众
12、数众数:离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量:P P(X X=x xi i)达到最大时的达到最大时的达到最大时的达到最大时的x xi i。连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量:f f(x x)达到最大时的达到最大时的达到最大时的达到最大时的x x。中位数中位数中位数中位数:满足满足满足满足 的的的的x x值。值。值。值。第11页，本讲稿共28页44442 2 2 2 方差方差方差方差一、定义一、定义一、定义一、定义 设设设设X X为一离散型随机变量为一离散型随机变量为一离散型随机变量为一离散型随机变量,若若若若 存在存在存在存在,则称它为则称它为则称它为
13、则称它为X X的方差的方差的方差的方差,记为记为记为记为 D D(X X)或或或或DXDX。称称称称 为为为为X X的均方差。的均方差。的均方差。的均方差。离散型离散型离散型离散型:连续型连续型连续型连续型:例例例例:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为p p的的的的(0-1)(0-1)分布分布分布分布,试求试求试求试求X X的方差的方差的方差的方差D D(X X)。解解解解:例例例例:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X服从正态分布服从正态分布服从正态分布服从正态分布,求求求求X X的方差。的方差。的方差。的方差。解解解解:第12页
14、，本讲稿共28页二、方差的性质二、方差的性质二、方差的性质二、方差的性质 D D(c c)=0 0 D D(cXcX)=)=c c2 2D D(X X)其中其中其中其中 若设若设若设若设X X与与与与Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立,则则则则 (a a为任意实数为任意实数为任意实数为任意实数)例例例例:设设设设 ,试求试求试求试求D D(X X)。解解解解:例例例例:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X服从服从服从服从 a a,b b 均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布,求求求求D D(X X)。解解解解:第13页，本讲稿共28页三、车贝雪夫不等式三、车贝雪夫不等式三、车贝雪夫不
15、等式三、车贝雪夫不等式 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X具有数学期望具有数学期望具有数学期望具有数学期望E E(X X)和方差和方差和方差和方差D D(X X),),则对任意则对任意则对任意则对任意 0,0,有有有有 。证明证明证明证明:车贝雪夫不等式的另外一种形式车贝雪夫不等式的另外一种形式车贝雪夫不等式的另外一种形式车贝雪夫不等式的另外一种形式 例如例如例如例如,对于对于对于对于 利用车贝雪夫不等式估算利用车贝雪夫不等式估算利用车贝雪夫不等式估算利用车贝雪夫不等式估算,有有有有 而实际上由第二章可知而实际上由第二章可知而实际上由第二章可知而实际上由第二章可知,对正态分布对正态
16、分布对正态分布对正态分布,恒有恒有恒有恒有 第14页，本讲稿共28页四、标准化随机变量四、标准化随机变量四、标准化随机变量四、标准化随机变量 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的数学期望为的数学期望为的数学期望为的数学期望为E E(X X),),均方差为均方差为均方差为均方差为,则称则称则称则称 为标准化随机变量。为标准化随机变量。为标准化随机变量。为标准化随机变量。上述这种形式又称标准化变换。上述这种形式又称标准化变换。上述这种形式又称标准化变换。上述这种形式又称标准化变换。第15页，本讲稿共28页44443 3 3 3 离势系数、偏态系数、峰度系数、矩离势系数、偏态系数、峰度系
17、数、矩离势系数、偏态系数、峰度系数、矩离势系数、偏态系数、峰度系数、矩一、离势系数一、离势系数一、离势系数一、离势系数 方差或均方差刻画随机变量对其数学期望的离散程度方差或均方差刻画随机变量对其数学期望的离散程度方差或均方差刻画随机变量对其数学期望的离散程度方差或均方差刻画随机变量对其数学期望的离散程度,但由于变量但由于变量但由于变量但由于变量 本身量级不同本身量级不同本身量级不同本身量级不同,只比较方差或均方差的大小不合适只比较方差或均方差的大小不合适只比较方差或均方差的大小不合适只比较方差或均方差的大小不合适,因此引入下列指标因此引入下列指标因此引入下列指标因此引入下列指标:二、偏态系数二
18、、偏态系数二、偏态系数二、偏态系数 描述分布的不对称程度描述分布的不对称程度描述分布的不对称程度描述分布的不对称程度:三、峰度系数三、峰度系数三、峰度系数三、峰度系数 刻画分布密度曲线的峰形阔狭特征。刻画分布密度曲线的峰形阔狭特征。刻画分布密度曲线的峰形阔狭特征。刻画分布密度曲线的峰形阔狭特征。正态分布的正态分布的正态分布的正态分布的C CE E恒为零。恒为零。恒为零。恒为零。四、矩四、矩四、矩四、矩 称称称称v vk k=E E(X Xk k)k k=1,2,=1,2,为为为为X X的的的的k k阶原点矩。阶原点矩。阶原点矩。阶原点矩。称称称称 k k=E E X X-E E(X X)k k
19、 k k=1,2,=1,2,为为为为X X的的的的k k阶中心矩。阶中心矩。阶中心矩。阶中心矩。所以所以所以所以,E E(X X)=)=v v1,1,D D(X X)=)=2 2第16页，本讲稿共28页44444 4 4 4 多元随机变量的数字特征多元随机变量的数字特征多元随机变量的数字特征多元随机变量的数字特征一、数学期望与条件期望一、数学期望与条件期望一、数学期望与条件期望一、数学期望与条件期望 定义定义定义定义:设设设设(X X1 1,X X2 2,X Xn n)为为为为n n元随机变量元随机变量元随机变量元随机变量,则则则则 E E(X X1 1 ),),E E(X X2 2 ),),
20、E E(X Xn n)称为称为称为称为n n元元元元 随机变量随机变量随机变量随机变量(X X1 1,X X2 2,X Xn n)的数学期望。其中的数学期望。其中的数学期望。其中的数学期望。其中E E(X Xi i)是分量是分量是分量是分量X Xi i的边际数学期望。的边际数学期望。的边际数学期望。的边际数学期望。定义定义定义定义:设设设设(X X,Y Y)为具有密度为具有密度为具有密度为具有密度f f(x x,y y)的二元连续型随机变量的二元连续型随机变量的二元连续型随机变量的二元连续型随机变量,则下列积分则下列积分则下列积分则下列积分 为为为为X X=x x下下下下Y Y的条件数学期望的
21、条件数学期望的条件数学期望的条件数学期望,简称条件期望简称条件期望简称条件期望简称条件期望,记为记为记为记为 显然显然显然显然mm2 2(x x)是是是是x x的函数。的函数。的函数。的函数。称方程称方程称方程称方程 为为为为Y Y依依依依X X的回归方程。它在的回归方程。它在的回归方程。它在的回归方程。它在xoyxoy平面内的图像称为平面内的图像称为平面内的图像称为平面内的图像称为Y Y依依依依 X X的回归曲线。的回归曲线。的回归曲线。的回归曲线。同理可定义同理可定义同理可定义同理可定义Y Y=y y 条件下条件下条件下条件下X X的条件期望。的条件期望。的条件期望。的条件期望。注意注意注
22、意注意:一般一般一般一般 与与与与 不互为反函数不互为反函数不互为反函数不互为反函数,或者说两条回归曲线或者说两条回归曲线或者说两条回归曲线或者说两条回归曲线 一般不重合。一般不重合。一般不重合。一般不重合。第17页，本讲稿共28页 推广推广推广推广:(:(X X1 1,X X2 2,X Xn n)为为为为n n元随机变量元随机变量元随机变量元随机变量,X Xi i的条件密度为的条件密度为的条件密度为的条件密度为则则则则 注意注意注意注意:当随机变量相互独立时当随机变量相互独立时当随机变量相互独立时当随机变量相互独立时,条件期望等于边际期望。条件期望等于边际期望。条件期望等于边际期望。条件期望
23、等于边际期望。是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数,它是随机变量它是随机变量它是随机变量它是随机变量,且且且且 证明证明证明证明:例例例例:试求二元正态分布的数学期望和条件期望。试求二元正态分布的数学期望和条件期望。试求二元正态分布的数学期望和条件期望。试求二元正态分布的数学期望和条件期望。解解解解:第18页，本讲稿共28页二、均方线性回归二、均方线性回归二、均方线性回归二、均方线性回归 在实际问题中在实际问题中在实际问题中在实际问题中,(,(X X,Y Y)的联合分布常常未知的联合分布常常未知的联合分布常常未知的联合分布常常未知,所以所以所以所以,回归方程的
24、函数形式一般回归方程的函数形式一般回归方程的函数形式一般回归方程的函数形式一般很难求得。实际应用中很难求得。实际应用中很难求得。实际应用中很难求得。实际应用中,常用线性函数常用线性函数常用线性函数常用线性函数 作为回归方程的一种估计作为回归方程的一种估计作为回归方程的一种估计作为回归方程的一种估计,并且按下述原则来确定未知参数并且按下述原则来确定未知参数并且按下述原则来确定未知参数并且按下述原则来确定未知参数 和和和和:由此得到的方程称为均方线性回归方程。由此得到的方程称为均方线性回归方程。由此得到的方程称为均方线性回归方程。由此得到的方程称为均方线性回归方程。三、协方差与相关系数三、协方差与
25、相关系数三、协方差与相关系数三、协方差与相关系数 (一一一一)、协方差与协方差矩阵、协方差与协方差矩阵、协方差与协方差矩阵、协方差与协方差矩阵 定义定义定义定义:设设设设(X X1 1,X X2 2,X Xn n)为为为为n n元随机变量元随机变量元随机变量元随机变量,则称则称则称则称 D D(X X1 1 ),),D D(X X2 2 ),),D D(X Xn n)为为为为n n元随元随元随元随机变量机变量机变量机变量(X X1 1,X X2 2,X Xn n)的方差。的方差。的方差。的方差。设设设设X X,Y Y为两个随机变量为两个随机变量为两个随机变量为两个随机变量,则则则则X X与与与
26、与Y Y的协方差为的协方差为的协方差为的协方差为 第19页，本讲稿共28页协方差有下列性质协方差有下列性质协方差有下列性质协方差有下列性质:对称性对称性对称性对称性 若若若若(X X1 1,X X2 2,X Xn n)为为为为n n元随机变量元随机变量元随机变量元随机变量,以以以以 ij ij表示表示表示表示X Xi i与与与与Y Yj j之间的协方差之间的协方差之间的协方差之间的协方差,则称则称则称则称为为为为n n元随机变量的协方差矩阵或相关矩阵。元随机变量的协方差矩阵或相关矩阵。元随机变量的协方差矩阵或相关矩阵。元随机变量的协方差矩阵或相关矩阵。第20页，本讲稿共28页 例例例例:设设设
27、设(X X,Y Y)的联合密度为的联合密度为的联合密度为的联合密度为求求求求(X X,Y Y)的数学期望及协方差矩阵。的数学期望及协方差矩阵。的数学期望及协方差矩阵。的数学期望及协方差矩阵。解解解解:第21页，本讲稿共28页(二二二二)、相关系数与相关系数矩阵、相关系数与相关系数矩阵、相关系数与相关系数矩阵、相关系数与相关系数矩阵 称称称称 为随机变量为随机变量为随机变量为随机变量X Xi i与与与与X Xj j的相关系数。的相关系数。的相关系数。的相关系数。称由称由称由称由n n元随机变量的两两相关系数排成的矩阵元随机变量的两两相关系数排成的矩阵元随机变量的两两相关系数排成的矩阵元随机变量的
28、两两相关系数排成的矩阵 为相关系数矩阵。为相关系数矩阵。为相关系数矩阵。为相关系数矩阵。相关系数的性质相关系数的性质相关系数的性质相关系数的性质:若若若若 是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X与与与与Y Y的相关系数的相关系数的相关系数的相关系数,则则则则 ;证明证明证明证明:考虑考虑考虑考虑X X,Y Y的标准化变量的标准化变量的标准化变量的标准化变量,可得可得可得可得 由于标准化变量的方差都是由于标准化变量的方差都是由于标准化变量的方差都是由于标准化变量的方差都是1,1,因此因此因此因此 从而从而从而从而 第22页，本讲稿共28页 的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是
29、X X与与与与Y Y有线性函数关系有线性函数关系有线性函数关系有线性函数关系,即存在常数即存在常数即存在常数即存在常数a a,b b,使使使使 。证明证明证明证明:必要性必要性必要性必要性 设设设设=1,1,得得得得 ,由方差性质知由方差性质知由方差性质知由方差性质知,只当只当只当只当 (其中其中其中其中c c是常数是常数是常数是常数)时时时时,的方差才为的方差才为的方差才为的方差才为0,0,因此有因此有因此有因此有 解得解得解得解得 对对对对=-=-1 1 可得同样的结果。可得同样的结果。可得同样的结果。可得同样的结果。充分性充分性充分性充分性 由由由由 得得得得 第23页，本讲稿共28页
30、若若若若 ,则则则则X X与与与与Y Y间为线性函数关系。间为线性函数关系。间为线性函数关系。间为线性函数关系。若若若若=0,0,则称则称则称则称X X与与与与Y Y不相关。不相关。不相关。不相关。注意注意注意注意:若随机变量若随机变量若随机变量若随机变量X X与与与与Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立,则则则则X X与与与与Y Y不相关不相关不相关不相关,但若但若但若但若X X与与与与Y Y不相关不相关不相关不相关,则其不则其不则其不则其不一定独立一定独立一定独立一定独立,不过当不过当不过当不过当(X X,Y Y)为二元正态变量时为二元正态变量时为二元正态变量时为二元正态变量时,独立与不
31、相关等价。独立与不相关等价。独立与不相关等价。独立与不相关等价。首先证明独立必不相关首先证明独立必不相关首先证明独立必不相关首先证明独立必不相关:事实上在讨论方差性质时已证明独立随机变量的事实上在讨论方差性质时已证明独立随机变量的事实上在讨论方差性质时已证明独立随机变量的事实上在讨论方差性质时已证明独立随机变量的协方差协方差协方差协方差 ,因此由相关系数定义可知因此由相关系数定义可知因此由相关系数定义可知因此由相关系数定义可知=0 0。从而。从而。从而。从而X X与与与与Y Y不相关。不相关。不相关。不相关。下面用例子说明不相关不一定独立下面用例子说明不相关不一定独立下面用例子说明不相关不一定
32、独立下面用例子说明不相关不一定独立,例如例如例如例如,若随机变量若随机变量若随机变量若随机变量X X的分布密度的分布密度的分布密度的分布密度f f(x x)关于关于关于关于纵轴对称纵轴对称纵轴对称纵轴对称,令令令令 Y Y=X X2 2,由于由于由于由于f f(x x)关于关于关于关于y y轴对称轴对称轴对称轴对称,显然有显然有显然有显然有E E(X X)=0)=0。而而而而 所以所以所以所以=0,0,说明说明说明说明X X与与与与Y Y不相关不相关不相关不相关,但但但但Y Y=X X2 2是是是是X X的二次函数的二次函数的二次函数的二次函数,显然显然显然显然X X与与与与Y Y不独立。不独
33、立。不独立。不独立。第24页，本讲稿共28页 例例例例:已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量X X与与与与Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立,且都服从正态分布且都服从正态分布且都服从正态分布且都服从正态分布 。令。令。令。令 试求试求试求试求 与与与与 的相关系数。的相关系数。的相关系数。的相关系数。解解解解:第25页，本讲稿共28页(三三三三)、条件方差、剩余方差和回归方差、条件方差、剩余方差和回归方差、条件方差、剩余方差和回归方差、条件方差、剩余方差和回归方差 条件方差条件方差条件方差条件方差:二元随机变量二元随机变量二元随机变量二元随机变量:,可记为可记为可记为可记为 ;
34、,可记为可记为可记为可记为 。剩余方差剩余方差剩余方差剩余方差:,:,也称为也称为也称为也称为Y Y对均方对均方对均方对均方 回归直线回归直线回归直线回归直线L L(X X)的剩余方差。的剩余方差。的剩余方差。的剩余方差。,也称为也称为也称为也称为X X对均方对均方对均方对均方 回归直线回归直线回归直线回归直线L L(Y Y)的剩余方差。的剩余方差。的剩余方差。的剩余方差。回归方差回归方差回归方差回归方差:第26页，本讲稿共28页44445 5 5 5 特征函数特征函数特征函数特征函数 定义定义定义定义:设设设设X X为具有密度为具有密度为具有密度为具有密度f f(x x)的连续型随机变量的连
35、续型随机变量的连续型随机变量的连续型随机变量,则称则称则称则称 为为为为X X的的的的特征函数特征函数特征函数特征函数,其中其中其中其中t t为实数为实数为实数为实数,i i为虚数单位。为虚数单位。为虚数单位。为虚数单位。例例例例:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X服从服从服从服从N N(0,1)(0,1)分布分布分布分布,试求特征函数。试求特征函数。试求特征函数。试求特征函数。解解解解:特征函数与矩的关系。特征函数与矩的关系。特征函数与矩的关系。特征函数与矩的关系。设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的的的的n n阶矩存在阶矩存在阶矩存在阶矩存在,则它的特征函数可微分则
36、它的特征函数可微分则它的特征函数可微分则它的特征函数可微分n n次次次次,且对且对且对且对k k n n有有有有:。只对连续型随机变量情形予以证明。只对连续型随机变量情形予以证明。只对连续型随机变量情形予以证明。只对连续型随机变量情形予以证明。设设设设X X的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为f f(x x),),则则则则其中被积函数其中被积函数其中被积函数其中被积函数 对对对对t t的的的的k k阶导数为阶导数为阶导数为阶导数为由定理的条件知由定理的条件知由定理的条件知由定理的条件知 。因此。因此。因此。因此,可在积分号下对可在积分号下对可在积分号下对可在积分号下对t t求导求导求导求导,即有即有即有即有令令令令t t=0,=0,得到得到得到得到 。第27页，本讲稿共28页 利用上式利用上式利用上式利用上式,可以很容易求得随机变量的各种数字特征。可以很容易求得随机变量的各种数字特征。可以很容易求得随机变量的各种数字特征。可以很容易求得随机变量的各种数字特征。例如例如例如例如,若若若若 分布分布分布分布,其特征函数为其特征函数为其特征函数为其特征函数为由由由由 得得得得于是于是于是于是第28页，本讲稿共28页