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1、第32章 随机变量数字特征第1页，本讲稿共100页主要内容主要内容数学期望数学期望分位数与众数分位数与众数方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理第2页，本讲稿共100页一、数学期望一、数学期望例例.将一枚骰子随机地投掷将一枚骰子随机地投掷102102次，记次，记录每次出现的点数录每次出现的点数:x1 1,x2 2 2 2,x x102102.求其求其平均出现点数？平均出现点数？解解：用：用X X表示投骰子出现的结果表示投骰子出现的结果,X X X X的分的分布为：布为：1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/
2、6 1/6 1/6 p pk k 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 X X第3页，本讲稿共100页平均出现点数平均出现点数第4页，本讲稿共100页计算方法：计算方法：X X的所有可能取值和相应的的所有可能取值和相应的概率概率之积的之积的累加。累加。注：注：这里的概率指的是这里的概率指的是权重系数权重系数。平均出现点数为平均出现点数为3.5:3.5:说明每次投掷骰说明每次投掷骰子子,可以期望得到的点数为可以期望得到的点数为3.53.5。第5页，本讲稿共100页1、离散型数学期望的定义、离散型数学期望的定义定义：定义：设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为：的分布律为：X
3、x x1 1 x x2 2 x x3 3 x xn nPk p1 p2 p3 pn如果级数如果级数 是一个有限值，则是一个有限值，则称该级数为称该级数为X X的的数学期望数学期望，记作，记作第6页，本讲稿共100页例例.甲、乙两制药工人在一天生产中出现甲、乙两制药工人在一天生产中出现废品的概率分别是：废品的概率分别是：0 03 30.20.22 20.50.51 10.10.13 30.20.22 20.30.31 1 X2 X10.30.30.40.4概率pk0 00 0废品数乙乙甲甲 工人设两人的日产量相等设两人的日产量相等,问谁的技术更好问谁的技术更好?第7页，本讲稿共100页解：解：E
4、(XE(X1 1)=00.4+10.3+20.2+30.1=1)=00.4+10.3+20.2+30.1=1 E(X E(X2 2)=00.3+10.5+20.2+30=0.9)=00.3+10.5+20.2+30=0.9 可见甲平均废品数比乙多可见甲平均废品数比乙多10%,10%,因此乙的技术好。因此乙的技术好。第8页，本讲稿共100页2、连续型数学期望的定义、连续型数学期望的定义收敛时，称此积分的值为随机变量收敛时，称此积分的值为随机变量X X的数学的数学期望，记作期望，记作定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度的概率密度为为 则当积分则当积分第9页，本讲稿共100页
5、例例.设随机变量设随机变量X X服从指数分布，服从指数分布，其概率密度为其概率密度为求求E(X)E(X).第10页，本讲稿共100页分部积分公式分部积分公式解：解：注：注：可类似地定义随机变量函数的期望定可类似地定义随机变量函数的期望定义。义。第11页，本讲稿共100页3、数学期望的性质、数学期望的性质(1).(1).常数的数学期望等于它自己常数的数学期望等于它自己.设设C C为常为常数，则数，则E(C)=CE(C)=C(2).(2).常数因子可以从数学期望符号下提常数因子可以从数学期望符号下提出。设出。设X X为一个随机变量，为一个随机变量，C C为常数，则为常数，则E(CX)=CE(X)E
6、(CX)=CE(X)第12页，本讲稿共100页(3).(3).(3).(3).两个随机变量的和的数学期望等于它两个随机变量的和的数学期望等于它们各自的数学期望之和们各自的数学期望之和.E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)一般情形一般情形,n,n个随机变量的和的数学期个随机变量的和的数学期望等于它们各自的数学期望的和望等于它们各自的数学期望的和.E(X E(X1 1+X+X2 2+X+Xn n)=E(X)=E(X1 1)+E(X)+E(X2 2)+)+E(X+E(Xn n)第13页，本讲稿共100页(4).(4).(4).(4).随机变量的线性函数的数学期望等随机变量
7、的线性函数的数学期望等于这个随机变量的数学期望的同一线性于这个随机变量的数学期望的同一线性函数函数 E(kX+b)=kE(X)+bE(kX+b)=kE(X)+b第14页，本讲稿共100页(5).(5).两个相互独立的随机变量的积的数学两个相互独立的随机变量的积的数学期望等于它们各自的数学期望之积期望等于它们各自的数学期望之积.E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)一般情形一般情形,n,n个相互独立的随机变量的个相互独立的随机变量的积的数学期望等于它们各自的数学期望的积的数学期望等于它们各自的数学期望的积积.E(X E(X1 1X X2 2X Xn n)=E(X)=E(X1 1
8、)E(X)E(X2 2)E(XE(Xn n)第15页，本讲稿共100页4、常见随机变量的数学期望、常见随机变量的数学期望(1).(1).二点分布二点分布(0-1(0-1分布分布)q p P 0 1 X XE(X)=0 q+1 p=pE(X)=0 q+1 p=p第16页，本讲稿共100页(2).(2).二项分布二项分布:因为因为X X为为n n次独立实验中事件次独立实验中事件A A发生的次发生的次数数,且在每次实验中且在每次实验中A A发生的概率为发生的概率为p.p.引入随机变量引入随机变量X X1 1 1 1,X,X2 2,X,Xn n，其中其中在第在第i i次实验时事件次实验时事件A A发生
9、发生在第在第i i次实验时事件次实验时事件A A不发生不发生第17页，本讲稿共100页则则X X1 1,X,X2 2,X,Xn n独立，且独立，且X Xi i服从两点分服从两点分布布.而而X=XX=X1 1+X+X2 2+X+Xn n服从二项分布，从而服从二项分布，从而 E(X)=E(X E(X)=E(X1 1+X+X2 2+X+Xn n)=E(X =E(X1 1)+E(X)+E(X2 2)+)+E(X+E(Xn n)=p+p+=p+p+p+p =np =np 第18页，本讲稿共100页(3).(3).(3).(3).PoissonPoissonPoissonPoisson分布分布:第19页，
10、本讲稿共100页(4).(4).正态分布正态分布:第20页，本讲稿共100页二、分位数和众数二、分位数和众数 分位数分位数的定义：的定义：对于任意类型对于任意类型的随机变量的随机变量X X，如果能找到数，如果能找到数 ，使，使得下列二式同时成立得下列二式同时成立则称则称 为随机变量为随机变量X X的的100 100 百分位百分位,记作记作 .第21页，本讲稿共100页分位数分位数25%25%25%25%25%25%25%25%分位数包括：分位数包括：中位数中位数和和百分位数百分位数第22页，本讲稿共100页1、中位数的由来、中位数的由来522111人数人数908078102成绩成绩平均分平均分
11、（一）中位数（一）中位数第23页，本讲稿共100页这便是提出中位数的原因这便是提出中位数的原因 算术平均数是最常用的数学方法算术平均数是最常用的数学方法之一之一.但是用算术平均数来作为代表数但是用算术平均数来作为代表数,有有2 2个缺点个缺点:一是容易受异常值的影响一是容易受异常值的影响;二是计算比较复杂二是计算比较复杂,不能一眼看出。不能一眼看出。第24页，本讲稿共100页2 2、中位数的定义、中位数的定义 设有设有n n个数据，将它们从小到大依次个数据，将它们从小到大依次排列为排列为x1,x2,xn如果如果n n是奇数是奇数，则，则 是中位数；是中位数；如果如果n n是偶数是偶数，则，则
12、是中位数。是中位数。第25页，本讲稿共100页例例.求求7,4,3,6,6,8,5,9,11 的中位数的中位数.3,4,5,6,6,7,8,9,11 中位数为中位数为6 6第26页，本讲稿共100页例例.求求7,9,4,4,6,6,6,8,8,11的中位数的中位数.4,4,6,6,6,7,8,8,9,11 中位数中位数为为第27页，本讲稿共100页3 3、中位数的严格数学定义、中位数的严格数学定义定义定义1 1：对于任意类型的随机变量：对于任意类型的随机变量X X，如，如果能找到数果能找到数x x，使得下列二式同时成立，使得下列二式同时成立则称则称x为随机变量为随机变量X X的中位数的中位数,
13、记作记作Me.Me.第28页，本讲稿共100页例例.设随机变量设随机变量X X可能取值可能取值0 0和和1 1，且，且求求X X的中位数的中位数.第29页，本讲稿共100页例例.设随机变量设随机变量X X可能取值可能取值0 0和和1 1，且，且求求X X的中位数的中位数.第30页，本讲稿共100页注注：对于连续型随机变量，中位数：对于连续型随机变量，中位数是把随机变量的概率分布划分为是把随机变量的概率分布划分为2 2个相等部分的数个相等部分的数,即即:第31页，本讲稿共100页例例.设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求X X的中位数的中位数.第32页，本讲稿共100页第33页
14、，本讲稿共100页百分位数的定义：百分位数的定义：对于任意类型对于任意类型的随机变量的随机变量X X，如果能找到数，如果能找到数x，使，使得下列二式同时成立得下列二式同时成立则称则称x为随机变量为随机变量X X的的100 100 百分位百分位,记作记作 .（二）百分位数（二）百分位数第34页，本讲稿共100页第35页，本讲稿共100页四分位数：将所有数值按大小顺序排列并分成四等四分位数：将所有数值按大小顺序排列并分成四等份，处于三个分割点位置的得分就是四分位数。份，处于三个分割点位置的得分就是四分位数。最小的四分位数称为最小的四分位数称为下四分位数下四分位数，所有数值中，所有数值中，有四分之一
15、小于下四分位数，四分之三大于下四有四分之一小于下四分位数，四分之三大于下四分位数。中点位置的四分位数就是中位数。最大分位数。中点位置的四分位数就是中位数。最大的四分位数称为上四分位数，所有数值中，有四的四分位数称为上四分位数，所有数值中，有四分之三小于分之三小于上四分位数上四分位数，四分之一大于上四分位，四分之一大于上四分位数。也有叫第数。也有叫第25百分位数、第百分位数、第75百分位数的。百分位数的。1、四分位数的计算、四分位数的计算第36页，本讲稿共100页例例.求求7,9,4,4,6,6,6,8,8,11的四分位数的四分位数.4,4,6,6,6,7,8,8,9,11 第37页，本讲稿共1
16、00页2 2、上侧、上侧 分位数分位数对于任意类型的随机变量对于任意类型的随机变量X X，如，如果能找到数果能找到数x，使得，使得则称则称x为随机变量为随机变量X X的上侧的上侧 分分位数位数,记作记作 .第38页，本讲稿共100页第39页，本讲稿共100页3 3、双侧、双侧 分位数：分布对称时分位数：分布对称时对于任意类型的随机变量对于任意类型的随机变量X X，如，如果能找到数果能找到数x，使得，使得则称则称x为随机变量为随机变量X X的双侧的双侧 分位分位数数,记作记作 .第40页，本讲稿共100页第41页，本讲稿共100页例例.已知已知XN(0,1)，求求(1).(1).上侧分位数上侧分
17、位数u u0.050.05 标准正态分布函数表标准正态分布函数表 正态分布的正态分布的双侧双侧临界值表临界值表(2).(2).双侧分位数双侧分位数u u0.010.01 标准正态分布函数表标准正态分布函数表 正态分布的正态分布的双侧双侧临界值表临界值表第42页，本讲稿共100页（三）众数（三）众数定义定义：设离散型随机变量：设离散型随机变量X X的概率函数为的概率函数为 P(X=P(X=xi i)=p)=pi i ,i=1,2,i=1,2,并且并且x x1,x2 2，按大小顺序排列，如果能按大小顺序排列，如果能找到找到xk k，使得下列二式同时成立：，使得下列二式同时成立：p pk k p p
18、k-1k-1 ，p pk k p pk+1k+1k+1k+1则称则称xk k为随机变量为随机变量X X的众数，记作的众数，记作MoMo.第43页，本讲稿共100页众数即数据中重复出现次数最多的数据众数即数据中重复出现次数最多的数据例例.求求7,9,4,4,6,6,6,8,8,117,9,4,4,6,6,6,8,8,11 的众数的众数.例例.众数是否唯一？众数是否唯一？注注:第44页，本讲稿共100页某厂职工的月工资数统计表某厂职工的月工资数统计表250057003800890012100015200025000210000人数人数月工资数月工资数平均数平均数中位数中位数众数众数第45页，本讲稿
19、共100页平均数、中位数和众数关系平均数、中位数和众数关系第46页，本讲稿共100页三、三、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数例例.两个班级学生的考试成绩两个班级学生的考试成绩.0.40.20.30.1 P Pi i75737268甲班甲班0.1900.20.50.10.1 P Pi i100736510乙班乙班E(E(甲甲)=73)=73E(E(乙乙)=73)=73第47页，本讲稿共100页如何区分这两种情况如何区分这两种情况？甲班学生成绩比较整齐，学生的分甲班学生成绩比较整齐，学生的分数都围绕在其平均值附近，散布的数都围绕在其平均值附近，散布的程度较小。程度较小。乙班则反之，其分
20、数的两极分化较乙班则反之，其分数的两极分化较大。大。这时，需要引入一个指标来刻画这这时，需要引入一个指标来刻画这种离散的程度。种离散的程度。第48页，本讲稿共100页0.40.40.20.20.30.30.1 0.1 Pi2 20 0-1-1-5-5偏离偏离0.10.117170.20.20.50.50.10.10.1 0.1 Pi27270 0-8-8-63-63偏离偏离偏离平均偏离平均？第49页，本讲稿共100页0.40.40.20.20.30.30.1 0.1 P Pi i4 40 01 12525偏离偏离2 20.10.12892890.20.20.50.50.10.10.1 0.1
21、P Pi i7297290 0646439693969偏离偏离2 2偏离均方偏离均方？第50页，本讲稿共100页1、方差的定义、方差的定义 设设X X X X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)E(X-E(X)2 2存在，则称存在，则称E(X-E(X)E(X-E(X)2 2 2 2为为X X的方差，记作的方差，记作V(X)V(X)V(X)V(X)，即，即 V(X)=E(X-E(X)V(X)=E(X-E(X)2 2定义定义1 1：（一）方（一）方 差差第51页，本讲稿共100页2、方差的计算、方差的计算离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量第52页，本讲稿共10
22、0页注：方差计算的常用公式注：方差计算的常用公式第53页，本讲稿共100页3 3、随机变量方差的性质、随机变量方差的性质(1).(1).常数的方差等于常数的方差等于0 0。设设C C C C为常数，则：为常数，则：V(C)=0V(C)=0(2).(2).常数与随机变量之积的方差等于常数常数与随机变量之积的方差等于常数的平方和随机变量的方差之积的平方和随机变量的方差之积.设设X X X X为一个随机变量为一个随机变量,C C为常数为常数,则：则：V(CX)=CV(CX)=C2 2V(X)V(X)V(X)V(X)第54页，本讲稿共100页(3).(3).两个相互独立的随机变量之和的方两个相互独立的
23、随机变量之和的方差等于它们各自方差之和差等于它们各自方差之和.V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)一般地一般地,n,n个相互独立的随机变量之和的个相互独立的随机变量之和的方差等于它们各自方差之和方差等于它们各自方差之和.V(X V(X1 1+X+X2 2+X+Xn n)=V(X)=V(X1 1)+V(X)+V(X2 2)+)+V(X+V(Xn n)第55页，本讲稿共100页例例.设随机变量设随机变量X X服从指数分布，服从指数分布，其概率密度为其概率密度为求求V(X)V(X).第56页，本讲稿共100页解：解：第57页，本讲稿共100页注注：常见随机变量的方差：常见
24、随机变量的方差1 1、二项分布：、二项分布：2 2、PoissonPoisson分布分布:3 3、正态分布：、正态分布：第58页，本讲稿共100页（二）协方差（二）协方差记随机变量记随机变量X X、Y Y的期望分别是的期望分别是 E(X)=m E(X)=m E(X)=m E(X)=m1 1 1 1,E(Y)=m,E(Y)=m2 2 2 2X X的方差是的方差是(X-m(X-m1 1)与与(X-m(X-m1 1)的乘积的期的乘积的期望，即望，即V(X)=E(X-mV(X)=E(X-m1 1)(X-m)(X-m1 1)数学期望数学期望E(X-EX)(Y-EY)E(X-EX)(Y-EY)称为随称为随
25、机变量机变量X X与与Y Y的的协方差协方差，记做：，记做：COV(X)COV(X)。第59页，本讲稿共100页（三）标准差（三）标准差X X以厘米为单位，以厘米为单位，则则V(X)V(X)是以厘米是以厘米2 2为单位为单位.为了保持量纲上的一致，为了保持量纲上的一致，第60页，本讲稿共100页（四）变异系数（四）变异系数例例.假定正常青年男子假定正常青年男子身高的均数为身高的均数为170cm,170cm,标准差为标准差为6cm6cm.体重的均数为体重的均数为60kg,60kg,60kg,60kg,标准差为标准差为7kg.7kg.CV(CV(身高身高)0.035,CV(0.035,CV(体重体
26、重)0.1170.117第61页，本讲稿共100页（五）相关系数（五）相关系数当比较两个随机变量的离散程度时当比较两个随机变量的离散程度时常用相关系数常用相关系数.注注：相关系数是刻划：相关系数是刻划线性相关线性相关的程度的程度.第62页，本讲稿共100页 第第 八八 节节 大大 数数 定定 理理 与与 中中 心心 极极 限限 定定 理理第63页，本讲稿共100页大数定律的定义大数定律的定义Def.第64页，本讲稿共100页一、大数定律一、大数定律定理（定理（契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律）契比雪夫契比雪夫第65页，本讲稿共100页注解注解第66页，本讲稿共100页证明证明由由契比雪夫不等式
27、契比雪夫不等式可得可得证毕证毕第67页，本讲稿共100页关于定理的说明关于定理的说明:（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下,n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均,当当n无限无限增加时增加时,几乎变成一个常数几乎变成一个常数.第68页，本讲稿共100页第69页，本讲稿共100页定理的另一种叙述定理的另一种叙述:第70页，本讲稿共100页证明证明引入随机变量引入随机变量伯努利伯努利定理（定理（伯努利大数定律伯努利大数定律）第71页，本讲稿共100页显然显然根据定理有根据定理有证毕证毕第72页，本讲稿共100页关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的
28、说明:故而当故而当n很大时很大时,事件发生的频率与概率有较大事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小偏差的可能性很小.在实际应用中在实际应用中,当试验次数很当试验次数很大时大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.第73页，本讲稿共100页关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:(1)不要求方差存在不要求方差存在;(2)贝努利定理是辛钦定理的特殊情况贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦资料辛钦资料定理（定理（辛钦定律辛钦定律）第74页，本讲稿共100页三、典型例题解解独立性依题意可知独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？例例1第
29、75页，本讲稿共100页说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？检验是否具有有限方差？说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件.第76页，本讲稿共100页解解由由辛钦定理辛钦定理知知例例2第77页，本讲稿共100页例例3第78页，本讲稿共100页第79页，本讲稿共100页第80页，本讲稿共100页二、中心极限定理二、中心极限定理定理（定理（林德贝格林德贝格-列维列维中心极限定理中心极限定理）第84页，本讲稿共100页定理表明定理表明:第85页，本讲稿共100页李雅普诺夫李雅普诺夫定理定
30、理(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)第86页，本讲稿共100页则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量第87页，本讲稿共100页定理表明定理表明:第88页，本讲稿共100页证明证明德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理定理(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)令令第89页，本讲稿共100页根据根据(林林-列列)定理得定理得定理表明定理表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大时充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.第90页，本讲稿共100页下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的
31、逼近.第91页，本讲稿共100页中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果之中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实得注意的事实.第92页，本讲稿共100页三、典型例题解解由定理由定理4.6,随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服
32、从正态分布N(0,1),例例1第93页，本讲稿共100页其中其中第94页，本讲稿共100页 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲已知每遭受一次海浪的冲击击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90000次次波浪冲击波浪冲击,问其中有问其中有2950030500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的的概率是多少？概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海浪将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X,则则X是一个随机变量是一个随机变量,例例2第95页，本讲稿共100页所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理第96页，本讲稿共100页第97页，本讲稿共100页