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1、道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成荀子·修身人教A版（2019） 高二数学 直线与圆综合提升动点问题l 知识梳理一、直线方程五大形式名称方程形式常数的意义适用范围备注点斜式yy1=kxx1x1，y1是直线上的一个定点，k是斜率斜率存在的直线斜率不存在时，直线方程为：x=x1斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距斜率存在的直线斜率不存在时，直线垂直x轴两点式yy1y2y1=xx1x2x1x1，y1，x2，y2是直线上的两个定点不垂直于坐标轴的直线截距式xa+yb=1a、b分别是直线在x轴和y轴上的非零截距不垂直于坐标轴且不过远点的直线当a=b=0时，直线过原点一般式Ax+B
2、y+C=0A、B分别为x、y的系数，C为常数，A、B不同时为零。平面内的任何直线C=0时，过原点B=0时，k不存在A=0时斜率为0二、两条直线位置关系位置关系斜截式一般式方程l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2l1：A1x+B1y+C1=0l2：A2x+B2y+C2=0相交k1k2A1B2A2B10垂直k1·k2=1A1A2B1B2=0平行k1=k2且b1b2A1B2A2B1=0B1C2B2C10 或者 A1B2A2B1=0A1C2A2C10重合k1=k2且b1=b2A1=A2，B1=B2，C1=C2当A2B2C20时，记为：A1A2=B1B2=C1C2三、两点间的距离公式u
3、 平面内两点P1x1，y1，P2x2，y2间的距离为：P1P2=x2x12+y2y12。u 特别地，原点到任意一点Px，y的距离为：OP=x2+y2。点到直线距离公式u 点Px0，y0到直线l：Ax+By+c=0的距离为：d=Ax0+By0+CA2+B2u 点Px0，y0到直线l：y=kx+b的距离为：d=kx0y0+b1+k2两条平行直线间的距离公式u 两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为：d=C1C2A2+B2u 两条平行直线y=kx+b1和y=kx+b2间的距离为：d=b1b21+k2四、圆的标准方程xa2+xb2=r2五、圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+
4、F=0高二数学 直线与圆综合提升 动点问题 11 / 11l 典型例题例 已知两点A（-2,0），B（0,2），C是圆x2+y22x=0上任意一点，求ABC的面积的最小值。例 已知线段AB的端点B的坐标是（4，2），端点A在圆C：x+22+y2=16上运动。（1）求线段AB的中点的轨迹方程H；（2）判断（1）中轨迹H与圆C的位置关系。例 已知圆上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P、Q为圆上的动点。（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程。例 在平面直角坐标xOy中，圆O：x2+y2=4与圆C：x32+y12=8相交与PQ两点。（1）
5、求线段PQ的长；（2）记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，求MNC面积最大时的直线NM的方程。例 已知圆M过C(1，1)，D(1，1)两点，且圆心M在x+y2=0上。（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值。例 如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处。以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系。圆经过O、A、B三点。（1）求圆的方程；（2）若圆
6、区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？例 已知半径为5的圆M的圆心在x轴上，圆心M的横坐标是整数，且与直线 4x+3y290 相切。（1）求圆M的方程； （2）若直线 axy+50(a0)与圆M相交于A、B两点，是否存在实数 a，使得过点 P(2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设 P(-1,0)，若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切，求动圆圆心 N 的轨迹方程。例 如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上
7、且满足。（1）求边所在直线的方程；（2）求外接圆的方程；（3）若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。例 已知点A（1,0），点P是圆C：x+12+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E。（1）求点E的轨迹方程；（2）若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点O总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围。例 如图,为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区。规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m。经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO=。（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？例 已知两个定点A（0,4），B（0,1），动点P满足PA=2PB，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx4。（1）求曲线E的方程；（2）若 l 与曲线E交于不同的C、D两点，且COD=120°（O为坐标原点），求直线 l 的斜率；（3）若k=1，Q是直线 l 上的动点，过Q做曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点，请写出坐标；若不存在，请说明理由。