《2023-2024学年高二数学上学期重难点和易错点突破（人教A版2019）专题3.7直线与圆锥曲线的综合问题（强化训练）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年高二数学上学期重难点和易错点突破（人教A版2019）专题3.7直线与圆锥曲线的综合问题（强化训练）含解析.docx（123页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023-2024学年高二数学上学期重难点和易错点突破（人教A版2019）3.7直线与圆锥曲线的综合问题 题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三中点弦问题题型四定点问题题型五定值问题题型六定直线问题题型七三角形（四边形）问题题型八求参数范围问题题型九双切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系1直线l：与椭圆C：的位置关系是（）A相交B相切C相离D不能确定2若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（）ABCD3直线与双曲线的交点个数是（）A0B1C2D34记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为 .5直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 6已知直线与曲线恰有
2、一个公共点，则实数a的值为 .7如图，已知直线和椭圆m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？题型二弦长问题8已知椭圆的长轴长为，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段的长9直线与椭圆交于两点，记的面积为.(1)当，时，求的取值范围；(2)当，时，求直线的方程.10已知双曲线经过点，且其两条渐近线相互垂直(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程11已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为(1)求双曲线的方程；(2)直线与双
3、曲线交于两点，若，求的值12已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.13已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积题型三中点弦问题14直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（）ABCD15设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（）ABCD16（多选）已知椭圆的焦点分别为，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（
4、）AB椭圆C的离心率为C直线l的方程为D的周长为17已知椭圆的长轴长为，是上一点.(1)求E的方程；(2)若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值.18在平面直角坐标系中，已知椭圆：，直线：（为实数且）与椭圆交于，两点.(1)若直线过椭圆的右焦点，求的面积；(2)线段的中点为，求直线的斜率.19已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 .20已知双曲线E：的左、右焦点分别为，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，.(1)求E的方程；(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.题型四定点问题21椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，
5、且与的面积之比为.(1)求的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点.22已知为椭圆：上一点，长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标.23已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程；(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.24已知点在双曲线上(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；(2)点，在上，且，为垂足，证明：存在定点，使得为定值25已
6、知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，且双曲线焦距为4(1)求双曲线的方程；(2)如果为双曲线右支上的动点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由26在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.(1)求的方程；(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.27已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.(1)求抛物线的方程；(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.题型五定值问题28已知A，B为椭圆的左、右顶点，过其
7、焦点的直线与椭圆交于C，D两点，并与轴交于点(异于A，B)，直线，交于点，求证：为定值.29已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由30已知椭圆C：过点，且(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l交C于点M，N，直线分别交直线于点P，Q求证：为定值31已知F为抛物线C的焦点，过F的直线交C于A，B两点，点D在C上，使得的重心G在x轴的正半轴上，直线，分别交轴于Q，P两点.O为坐标原点，当时，.(1)求C的标准方程.(2)记P，G，Q的横坐标分别为，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不
8、是，请说明理由.32在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值33已知双曲线：的右焦点为，离心率.(1)求的方程；(2)若直线过点且与的右支交于M，N两点，记的左、右顶点分别为，直线，的斜率分别为，证明：为定值.34已知双曲线过点和点(1)求双曲线的离心率；(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由题型六定直线问题35已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，中恰有两点在椭圆上
9、.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.36已知椭圆：的短轴长为，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上37已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点(1)求点的轨迹的方程；(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上38已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交
10、于求证：点在定直线上39在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求C的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.40如图，正六边形ABCDEF的边长为4已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；(2)过点A的直线l与交于P，Q两点，若点M满足，证明：点M在一条定直线上41已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点当的斜率为时，(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在
11、定直线上题型七三角形（四边形）问题42已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上(顶点除外)任意一点，若的角平分线与以为直径的圆交于点，则的面积的最大值为（）ABCD43已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是 44已知椭圆 的离心率为，点在C上，O为坐标原点.(1)求C的方程;(2)已知直线， l与C有两个交点A，B， 线段AB的中点为M . 证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 若 ，求OAB 面积的最大值，并求此时直线l的方程.45设抛物线的焦点为上点满足.(1)求抛物线的方程；(2)已知正方形有三个顶点在抛物线上，求该
12、正方形面积的最小值.46已知椭圆C：的左右焦点分别为，左顶点为D，离心率为，经过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN过定点；求的最大值.47在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线交于，两点，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.48已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点(1)求双曲线的标准方程(2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值题型八求参数范围问
13、题49已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，若的斜率恒成立，则m的最大值为（）A1BCD50已知椭圆C：的上、下顶点分别为A，B，左顶点为D，是面积为的正三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆外一点的直线交椭圆于P，Q两点，已知点P与点关于x轴对称，直线与x轴交于点K；若是钝角，求m的取值范围51已知椭圆C：的左右焦点分别为、，若点在椭圆上，且为等边三角形(1)求椭圆C的标准方程？(2)过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，若为钝角，求k的取值范围52已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为(1)求点的轨迹的方程；(2)对，曲线上是否始终存在两点，
14、关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由53已知双曲线与直线有唯一的公共点(1)点在直线l上，求直线l的方程；(2)设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由求的取值范围54已知双曲线：（，）上一点到的两条渐近线的距离之积为(1)求的标准方程；(2)若直线与有两个不同的交点，且的内心恒在直线上，求在轴上的截距的取值范围55曲线，第一象限内点在上，的纵坐标是(1)若到准线距离为3，求；(2)若在轴上，中点在上，求点坐标和坐标原点到
15、距离；(3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”求的取值范围题型九双切线问题56已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数(1)求点的轨迹的方程；(2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值（二次曲线在其上一点处的切线为）57在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.58已知椭圆的左右焦点分别为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任意一点，、斜率之积为，且的面积
16、最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)直线交椭圆于另一点，分别过、作椭圆的切线，这两条切线交于点，证明：.59已知圆，椭圆的左右焦点为，如图为圆上任意一点，过分别作椭圆两条切线切椭圆于两点.(1)若直线的斜率为2，求直线的斜率；(2)作于点，判断点在运动的过程中，的面积是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.60已知椭圆.(1)若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆相切；(2)若为椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线分别交直线于两点，且的面积为8.问：在轴是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.61已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的
17、切线方程为如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，(1)求直线的方程（含m）；(2)证明直线过点C，并比较与的大小62动点到定点的距离和到直线的距离之比为，(1)求动点的轨迹；(2)设点，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点.63已知抛物线，焦点为.过抛物线外一点（不在轴上）作抛物线的切线，其中为切点，两切线分别交轴于点.(1)求的值；(2)证明：是与的等比中项；平分.专题3.7直线与圆锥曲线的综合问题 题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三中
18、点弦问题题型四定点问题题型五定值问题题型六定直线问题题型七三角形（四边形）问题题型八求参数范围问题题型九双切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系1直线l：与椭圆C：的位置关系是（）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.【详解】将直线l：变形为l：，由得，于是直线l过定点，而，于是点在椭圆C：内部，因此直线l：与椭圆C：相交故选：A2若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.【详解】直线恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即，解得， 又.故
19、选：D3直线与双曲线的交点个数是（）A0B1C2D3【答案】A【分析】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断【详解】方法一：联立直线与双曲线的方程，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为，因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A4记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为 .【答案】2（注：区间内任何一个值）【分析】利用双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，离心率，若满足直线与C无公共点，则需，故答案为：25直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 【答案】或【分析】由消去
20、y，对二次系数是否为0分类讨论可得.【详解】由消去y，整理得，当时，由得；又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立故答案为：或6已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 .【答案】0或或【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得.【详解】当时，曲线为直线，显然直线与有唯一公共点，因此；当时，由消去y并整理得：，当时，直线与曲线有唯一公共点，因此；当且时，则，此时直线与曲线相切，有唯一公共点，因此，所以实数a的值为0或或.故答案为：0或或7如图，已知直线和椭圆m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？【答案
21、】(1)(2)，(3)，或【分析】（1）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可.（2）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可.（3）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可.【详解】（1）由方程组消去y，得，由，得此时方程有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点（2）由，得，此时方程有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点（3）由，得，或此时方程没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点题型二弦长问题8已知椭圆的长轴长为，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段的长【答案】(1)
22、(2).【分析】（1）根据题意及椭圆方程的关系求解即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.【详解】（1）由已知可得且 ，解得，则，所以椭圆方程：.（2）由已知可得直线斜率，方程为，联立得，设，则，则，所以线段的长为.9直线与椭圆交于两点，记的面积为.(1)当，时，求的取值范围；(2)当，时，求直线的方程.【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）联立方程求出坐标，表示出并求取值范围即可；（2）联立方程，消元后借助韦达定理，弦长公式，三角形面积公式求解即可.【详解】（1）设点，由，解得，所以，所以，因为，所以，故当时，所以.（2）设点，由得，所以，又点到直线的距离
23、，由，得，所以，所以，即，所以直线的方程为或或或.10已知双曲线经过点，且其两条渐近线相互垂直(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为，把点代入双曲线方程，可得双曲线方程；（2）可设直线l的方程为，代入双曲线C的方程并整理，根据直线l与双曲线C相交于不同的两点，进而可得k的范围，根据韦达定理可求得，进而表示出和原点O到直线l的距离根据的面积求得k，进而可得直线方程【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为，
24、代入，可得，所以双曲线的方程为，即.（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得，可得，解得且，则，可得，且到直线的距离，由题意可得：，解得或（舍去），即，所以直线的方程为或.11已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线关系可求得，由此可得双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得的值.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为，设焦点坐标为，焦点到渐近线的距离，又离心率，解得：，双曲线的方程为：.（
25、2）由得：，则，解得：且，设，则，即，解得：或，均满足且，或.12已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知得，且，再结合求出，进而可得双曲线的方程；（2）由题意可得直线的方程为，设，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.得，且，又，解得,所以，所以双曲线方程为.（2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，设，由，得，所以，所以.13已知抛物线
26、：，坐标原点为，焦点为，直线：.(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积【答案】(1)或(2)【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当或，即可求解；（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及即可求解.【详解】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，则方程只有一个解，所以，解得：；综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，所以过点且斜率为的直线方程为：，设， 联立
27、，消去，得：，则由韦达定理得：，所以，所以.题型三中点弦问题14直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（）ABCD【答案】A【分析】设，代入抛物线方程，两式相减后结合线段中点的纵坐标得出，再结合焦点的坐标得出直线的方程，由点到直线距离公式计算即可【详解】由抛物线得焦点，设，则，两式相减得，即，因为线段中点的纵坐标为1，即，所以，即，所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点，所以到直线的距离，故选：A15设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（）ABCD【答案】C【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、C：通过联立方程
28、判断交点个数，逐项分析判断；对于D：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，设直线的斜率为，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A： 可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；对于选项D：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点
29、差法得到，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.16（多选）已知椭圆的焦点分别为，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（）AB椭圆C的离心率为C直线l的方程为D的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；椭圆C的离心率为，故选项B不正确；不妨设，则，两式相减得，变形得，又注意到点为线段的中点，所以，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选项C正确；因为
30、直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.故选：AC17已知椭圆的长轴长为，是上一点.(1)求E的方程；(2)若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用椭圆长轴长以及椭圆上的点坐标即可求得的方程为；（2）设出两点坐标，利用点差法求出直线的斜率为，联立直线和椭圆方程利用弦长公式即可求出.【详解】（1）由题可知，将代入椭圆方程可得，联立解得，故E的方程为.（2）设，则，两式相减得，即.因为线段的中点坐标为，所以可得直线的斜率为，即直线的方程为.联立方程组，整理得，则，所以.18在平面直角坐标系中，已知椭圆：，直线：（为实数且）与椭圆交于，两点.(1)若直线过椭圆
31、的右焦点，求的面积；(2)线段的中点为，求直线的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据过焦点求出直线方程，联立椭圆方程求出弦长，利用点到直线距离求出高即可得出三角形面积；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系得出弦中点坐标，即可得出直线斜率.【详解】（1）由可知，所以椭圆的右焦点为，所以，即，即直线方程为，由可得，设，则，所以，到直线的距离，故.（2）设，由可得，当，即且时，所以，故，即，所以,即直线的斜率为.19已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 .【答案】【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.【详解】因为在抛物线内部，又，所以是
32、的中点.设，所以，即，又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以，所以直线的方程为，即.故答案为：20已知双曲线E：的左、右焦点分别为，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，.(1)求E的方程；(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线中，求得，再由双曲线的渐近线方程及斜率，求出，即可得到E的方程；（2）设，可表示出直线AB和直线OP的斜率，再用点差法求出直线OP的斜率，即可得到直线OP的方程.【详解】（1）因为在双曲线E：中，所以，即.双曲线E：的渐近线方程为，因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，所以，所以所以E的方程为
33、.（2）设，则.线段AB的中点P的坐标为，则，又点A，B在双曲线E上，所以，得，两边同时除以并整理，得.又，所以.所以直线OP的方程为：.题型四定点问题21椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为.(1)求的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点.【答案】(1)(2)过定点.【分析】（1）根据几何关系得到点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，结合与面积之比，得到方程组，求出，得到椭圆方程；（2）方法一：设的方程，代入，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，检验后得到符合要求，并求出所过定点；
34、方法二：设直线的方程为，椭圆方程变形得到，联立得到，若是上的点，则斜率为，得到，故，求出，求出定点坐标.【详解】（1）当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，此时，又，故，解得，曲线的方程为.（2）方法一：设直线的方程为，代入得，设，得，则，即，解得或.当时，此时，直线过定点，而与不重合，不合题意.当时，此时，此时直线过定点，满足要求.方法二：由题意，直线不经过点，设直线的方程为.由方程得.由得，.若是上的点，则斜率为，的斜率，即，解得.的方程为，即，故过定点.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）
35、所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.22已知为椭圆：上一点，长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点为【分析】（1）根据长轴长确定，再计算，得到答案.（2）设直线，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算
36、化简得到，代入直线方程得到定点.【详解】（1）长轴长为，故，为椭圆：上一点，故，椭圆方程为：；（2）直线与轴平行时，根据对称性知斜率和为，不成立；设直线：，直线不过，则，则，则，即，则， ，即，整理得到，化简得到，则，直线方程，直线过定点.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.23已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程；(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以
37、为直径的圆过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k与m的关系，当直线斜率不存在时，以为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以为直径的圆过原点即可.【详解】（1）因为点是线段的垂直平分线上的一点所以因为所以点的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆其中，所以点Q的轨迹C的方程为：（2）（i）当直线垂直于x轴时，不妨设，此时，所以，故以为直径的圆过点.（ii）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为，即.由得，所以，所以，所以，故以为直径的圆过点.综上所述，以为直径的圆过定点.
38、24已知点在双曲线上(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；(2)点，在上，且，为垂足，证明：存在定点，使得为定值【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】（1）代入点，得，从而得双曲线方程及，的坐标，设点坐标为，则，结合在双曲线上，即可得答案；（2）设直线方程为，设，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及，得，舍去，从而得，直线过定点，为直角三角形，为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【详解】（1）解：因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线，则设点坐标为，则，所以因为点在曲线上，所以，所以，所以的值为（2）证明：依题意，直线的斜率存在，故设其方程为，设，
39、联立，消得，显然，否则不可能有两个交点，由韦达定理得，因为直线的斜率之积为，所以，所以，即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足且直线过定点，（如图所示）又因为为垂足，所以为直角三角形，为直角，所以当点为斜边的中点时，为定值综上所述，存在定点，使得为定值25已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，且双曲线焦距为4(1)求双曲线的方程；(2)如果为双曲线右支上的动点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)(2)存在，坐标为【分析】（1）利用双曲线的定义求解即可；（2）在轴负半轴上假设存在点满足题意
40、，当垂直于轴时，易得，当不垂直于轴时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得.【详解】（1）因为点在双曲线上，所以由双曲线的定义可得，又双曲线焦距即，且，联立解得，所以双曲线的方程为.（2）假设存在点满足题设条件，由题目可知，设为双曲线右支上一点，当时，因为，所以，于是，所以，即，当时，因为，所以，将代入并整理得，所以，解得，即，综上，满足条件的点存在，其坐标为.【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等
41、特殊情形.26在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.(1)求的方程；(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）根据待定系数法，代入点的坐标即可求解，（2）利用抛物线方程分别可设的坐标，进而可根据两点坐标求解斜率，即可得直线的方程， 结合直线经过的点，即可代入化简求解.【详解】（1）若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，将点代入，得，解得，故的方程为；若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，将点代入，得，解得，故的方程为；综上所述：的方程为或.（2）由（1）知抛物线
42、的方程为，则其焦点，若直线不过点，如图，设，由题意可知：直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，所以直线的方程为，即，同理直线，的方程分别为，由直线过定点，可得，由直线，过焦点，可得，对于直线的方程为，由，得，整理得，又因为，所以，令，解得，故直线恒过定点若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点；综上所述：直线过定点.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为,则直线过定点;若直线方程为 (为定值),则直线过定点27已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.(1)求抛物线的方程；(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出，坐标，结合，可求得的值，得解.（2）设出点坐标，由点斜式方程求出直线的方程，令，求出点坐标，同理求出点坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在轴上，设该点坐标为，利用，可求出定点坐