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1、微积分应用题部分学习指导 微积分应用题辅导 一导数的应用求最值（题型几何应用）。1、求最值问题的解题步骤（1）列出目标函数；（2）对目标函数求导，令目标函数的导数等于0，求出驻点；（3）若驻点唯一，再判定该驻点为极值点；（4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。2、典型例题例1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。分析：本题是要求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大，设矩形的边长分别为（厘米），且以边长为 的边为轴旋转一周得圆柱体，则该圆柱体的体积为：，再由已知条件，即，代入即得
2、圆柱体的体积为： 于是我们的问题就是求：为多少时，可使取得最大值。解：设矩形的边长分别为（厘米），则有 若以边长为 的边为轴旋转一周得圆柱体，则圆柱体的体积：列出目标函数：。 求导得：令 （唯一驻点） 判断：，所以，就是极大值点（也即最大值点）故当 （），并已矩形短边为旋转轴可使圆柱的体积最大。例2 欲用围墙围成面积为216平方米的一个矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？分析：这是一个求用料最省的问题。用料最省实际上就是所建的围墙长度最短，当然是在围墙围成面积为216平方米的约束条件下，所要建的围墙如图，设土地一边长为，另一边长为，
3、所建的围墙长度为，由约束条件， 于是这样此题就转化为求边长为多少时，函数的最小值问题。解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是，则 令得到唯一驻点： （舍去）因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18（）时，所用材料最省。例3某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为：由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省。例4欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料
4、为，由已知 令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省。 例5用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以， 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 此时的费用为 （元）二定积分的几何应用求曲边梯形面积。1、求面积微元法解题步骤：（1）画出图形，确定图形范围；（2）解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；（3）确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；（4）计算定积分值，求出平面图形面积。
5、现将计算平面图形面积的方法归纳如下：A.若选为积分变量 先由左右观察平面图形范围，确定积分下、上限； 然后用“上面的”曲线方程减去“下面的”曲线方程做为被积函数，就可以得到该平面图形的面积。 若曲线与出现“上下交替”，方法如下先求出两条曲线交点坐标，把积分区间分为若干部分，从而平面图形也相应分成若干部分，仍利用上述方法：B. 若选为积分变量 先由下上观察平面图形范围，确定积分下、上限； 然后用“右面的”曲线方程减去“左面的”曲线方程做为被积函数，就可以得到该平面图形的面积。 若曲线与出现“左右交替”，方法如下先求出两条曲线交点坐标，把积分区间分为若干部分，从而平面图形也相应分成若干部分，仍利用
6、上述方法：2、典型例题例1： 求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。解 先求交点解得交点为和，因此，所求面积可看作是曲线，和所围图形的面积， 选为积分变量，则积分下限为、上限为在上任取一小区间，则可得到的面积微元：，因此所求面积： .例2 求由曲线与所围成的平面图形的面积.解 先求交点 做直线 ,将所求平面图形面积分成两部分，. 选为积分变量 ，在上任取一小区间，则可得到的面积微元：，则：在上任取一小区间，则可得到的面积微元：，则： 因此所求面积： 例3 求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积.解 先求交点解得交点为和，所求面积可看作是曲线，和 所围图形的面积， 选为积分变量，则积分下限为、上限为，在上任取一小区间，则可得到的面积微元 故所求面积为：.三微积分建模应用综合题案例1： 一家销售公司批销某种小商品，该公司提供以下价格折扣：若订购量不超过50千件，则每千件价格为300元；若订购量超过50千件，则每超过1千件价格可下浮1.25%,问订单是多大时，该公司销售收入为最大？并计算最大收入为多少？解： 设订单为千件，则： 时，销售收入为 （元）； 时，销售收入为 即： 所以当 时，可令 ，得驻点：， 又： 则 为唯一极大值点，即为最大值点，故当订单为 65000件时，公司销售收入为最大，最大收入为：。7北京联合大学应用科技学院数学组编制