《新课改地区2021版高考数学一轮复习第七章数列7.3等比数列练习新人教B版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课改地区2021版高考数学一轮复习第七章数列7.3等比数列练习新人教B版.doc（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、17.37.3 等比数列等比数列核心考点核心考点精准研析精准研析考点一等比数列基本量的运算1.已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 S3=14,a3=8,则 a6等于()A.16B.32C.64D.1282.(2020赣州模拟)Sn是等比数列an的前 n 项和,若 S4,S3,S5成等差数列,则an的公比 q的值为()A.B.-2C.1 D.-2 或 13.已知等比数列an满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.844.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项的和为 15,且 a5=3a3+4a1,则
2、a3=()A.16B.8 C.4 D.25.已知 Sn是等比数列an的前 n 项和,若存在 mN*,满足=9,=,则数列an的公比为()A.-2B.2 C.-3D.3【解析】1.选 C.因为 S3=14,a3=8,所以 q1,所以,解得 a1=2,q=2 或 a1=18,q=-(舍),所以 a6=a1q5=232=64.2.选 B.由 S4,S3,S5成等差数列知等比数列an的公比 q1,因此得 2S3=S5+S4,即2=+,化简整理得 q3(q+2)(q-1)=0,所以 q=0(舍去),q=1(舍去)或 q=-2.故 q=-2.3.选 B.设数列an的公比为 q,则 a1(1+q2+q4)=
3、21,又 a1=3,所以 q4+q2-6=0,所以 q2=2(q2=-3 舍去),所以 a3=6,a5=12,a7=24,所以 a3+a5+a7=42.4.选 C.设该等比数列的首项为 a1,公比为 q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为 a10 且 q0,则可解得 q=2,又因为 a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得 a1=1,则 a3=a1q2=4.5.选 B.设公比为 q,若 q=1,则=2,与题中条件矛盾,故 q1.因为=qm+1=9,所以 qm=8.所以=qm=8=,所以 m=3,所以 q3=8,所以 q=2.把 T1 条件“S3=14,a3=8”改为“a3=9,S3
4、=27”其他条件不变,则公比 q 的值为()A.1B.-C.1 或-D.-1 或-【解析】选 C.当公比 q=1 时,a1=a2=a3=9,所以 S3=39=27.符合题意.当 q1 时,S3=,所以 27=,所以 a1=27-18q,因为 a3=a1q2,所以(27-18q)q2=9,3所以(q-1)2(2q+1)=0,所以 q=-.综上 q=1 或 q=-.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量 a1和 q,问题便可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前 n 项和公式涉及对公比
5、 q 的分类讨论,将 q 分为 q=1 和 q1 两种情况进行讨论.【秒杀绝招】1.应用转化法解 T2选 B.由 S4,S3,S5成等差数列,得 2S3=S5+S4,即 2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得 a5=-2a4,所以=-2,即 q=-2.故选 B.2.应用等比数列性质解 T3:选 B.设数列an的公比为 q,则 a1(1+q2+q4)=21,又 a1=3,所以 q4+q2-6=0,所以 q2=2(q2=-3 舍去),所以 a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=221=42,所以 a3+a5+a7=42.考点二等比数列的判断与证明【典例】1.已知数
6、列an中,a1=1,若 an=2an-1+1(n2),则 a5的值是_.【解题导思】序号联想解题(1)由 an=2an-1+1(n2)及 a1=1,联想到数列的递推公式求 a5(2)由 an=2an-1+1(n2)联想到转化法求通项公式【解析】因为 an=2an-1+1,所以 an+1=2(an-1+1),所以=2,又 a1=1,所以an+1是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,即 an+1=22n-1=2n,所以 a5+1=25,即a5=31.4答案:31【一题多解】由 an=2an-1+1(n2)及 a1=1,联想到数列的递推公式求 a5,当 n=2 得 a2=3,同理得a3=7,a4=
7、15,a5=31.答案:312.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),若bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列.【解题导思】序号题目拆解(1)Sn+1=4an+2(nN*)出现 Sn+2=4an+1+2(nN*)(2)bn=an+1-2an证明bn是等比数列把 n 换为 n+1左式和已知式子相减 an+2=4an+1-4an,把 n 换为 n+1 得出 bn+1转化为证明为常数【证明】因为 an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以=2.因为 S2=a1+a2=4a1+2,所以 a2=5.所以 b1=a2-2a1=
8、3.所以数列bn是首项为 3,公比为 2 的等比数列.若本例 2 中的条件不变,试求an的通项公式.【解析】由题知 bn=an+1-2an=32n-1,所以-=,故是首项为,公差为 的等差数列.所以=+(n-1)=,5所以 an=(3n-1)2n-2.1.等比数列的四种常用判定方法(1)定义法:若=q(q 为非零常数,nN*)或=q(q 为非零常数且 n2,nN*),则an是等比数列.(2)等比中项法:若数列an中,an0 且=anan+2(nN*),则an是等比数列.(3)通项公式法:若数列an的通项公式可写成 an=c qn-1(c,q 均是不为 0 的常数,nN*),则an是等比数列.(
9、4)前 n 项和公式法:若数列an的前 n 项和 Sn=kqn-k(k 为常数且 k0,q0,1),则an是等比数列.2.证明某数列不是等比数列若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2018全国卷改编)已知数列an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an,设 bn=.(1)求 b1,b2,b3.(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由.(3)求bn的前 10 项和 S10.【解析】(1)由条件可得 an+1=an.将 n=1 代入得 a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.将 n=2 代入得 a3=3a2,所以 a3=12.从而 b1=1,b2=2,b
10、3=4.(2)bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列.理由:由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2 的等比数列.(3)由(2)可得 Sn=2n-1,所以 S10=210-1=1 023.考点三等比数列的性质及其应用6命题精解读考什么考什么:等比数列通项公式、前 n 项和公式、性质和最值问题怎么考怎么考:等比数列性质、等比数列前 n 项和的性质作为考查等比数列运算知识的最佳载体,试题常以选择题、填空题的形式出现,有时也会出现在解答题中新趋势新趋势:以数列为载体与函数、不等式知识结合等问题.解题过程中常常渗透数学运算核心素养.学霸好方法1.1.与等比数列性质有
11、关的运算问题解题思路与等比数列性质有关的运算问题解题思路在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若相等则利用等比数列的性质进行运算2.2.交汇问题交汇问题以数列为载体与函数性质、不等式等知识结合考查,注意分类讨论思想的应用等比数列项的性质应用【典例】已知等比数列an中,a4+a8=-2,则 a6(a2+2a6+a10)的值为()A.4 B.6 C.8 D.-9【解析】选 A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=(a4+a8)2,因为 a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.1.等比数列性质的应用可以分为哪些变形?提示:通
12、项公式的变形、等比中项的变形、前 n 项和公式的变形.2.在解决等比数列项的性质的有关问题时,如何迅速挖掘隐含条件利用性质解题?提示:在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若项数和相等,则利用等比数列的性质进行运算.【提醒】根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.等比数列中的最值与范围问题【典例】设等比数列an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为_.【解析】设等比数列an的公比为 q,则由 a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知 q=.又 a1+a1q2=10,所以 a1=8.7故 a1a2an=
13、23n=.记 t=-+=-(n2-7n),结合 nN*可知 n=3 或 4 时,t 有最大值 6.又 y=2t为增函数,从而 a1a2an的最大值为 26=64.答案:64求等比数列中的最值与范围问题有哪些方法?提示:求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量 n 的函数关系进行求解.有时也应用基本不等式.1.已知等比数列an满足 a1=,a3a5=4(a4-1),则 a2=()A.2 B.1 C.D.【解析】选 C.设公比为 q,因为 a3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以 a4=2.又因为 q3=8,所以 q=2,所以 a2=a1q
14、=2=.2.已知正数组成的等比数列an,若 a1a20=100,那么 a7+a14的最小值为()A.20B.25C.50D.不存在【解析】选 A.(a7+a14)2=+2a7a144a7a14=4a1a20=400(当且仅当 a7=a14时取等号).所以 a7+a1420.1.已知数列an满足 log2an+1=1+log2an(nN*),且 a1+a2+a3+a10=1,则 log2(a101+a102+a110)=_.【解析】因为 log2an+1=1+log2an,可得 log2an+1=log22an,所以 an+1=2an,所以数列an是以 a1为首8项,2 为公比的等比数列,又 a1+a2+a10=1,所以 a101+a102+a110=(a1+a2+a10)2100=2100,所以 log2(a101+a102+a110)=log22100=100.答案:1002.设等比数列an的公比为 q,前 n 项和 Sn0(n=1,2,3,),求 q 的取值范围.【解析】因为数列an为等比数列,Sn0,所以 a1=S10,q0.当 q=1 时,Sn=na10;当 q0 且 q1 时,Sn=0,即0,所以或所以-1q0 或 0q1.综上,q 的取值范围为(-1,0)(0,+).