《新课改地区2021版高考数学一轮复习第七章数列7.5.1等差与等比数列的综合问题练习新人教B版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课改地区2021版高考数学一轮复习第七章数列7.5.1等差与等比数列的综合问题练习新人教B版.doc（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、17.5.17.5.1 等差与等比数列的综合问题等差与等比数列的综合问题核心考点核心考点精准研析精准研析考点一基本量的运算1.等差数列的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则前 6 项的和为()A.-24B.-3C.3 D.82.已知an是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d03.(2019江苏高考)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前 n 项和.若 a2a5+a8=0,S9=27,则 S8的值是_.4.设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为
2、 Sn,若 a2,a5,a11成等比数列,且 a11=2(Sm-Sn)(mn0,m,nN*),则 m+n=_.【解析】1.选 A.设等差数列的公差为 d,由 a2,a3,a6成等比数列可得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得 d2+2d=0,又公差不为 0,则 d=-2,故an前 6 项的和为S6=6a1+d=61+(-2)=-24.2.选 B.因为数列an是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,所以=,解得 a1=-d,所以 S4=2=2=-d,所以 a1d=-d20,dS4=-d2n0,m,nN*,所以 m=5,n=4,所以 m+n=9.答案:9已知等比数列an的
3、各项都为正数,且 a3,a5,a4成等差数列,则的值是()A.B.C.D.【解析】选 A.设等比数列an的公比为 q,由 a3,a5,a4成等差数列,可得 a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故 q2-q-1=0,解得 q=或 q=(舍去),=.等差数列、等比数列基本量的运算方法3(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差、等比数
4、列的综合应用【典例】设数列an(n=1,2,3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记数列的前 n 项和为 Tn,求使得|Tn-1|成立的 n 的最小值.【解题导思】序号题目拆解(1)Sn=2an-a1将 Sn=2an-a1利用 an=Sn-Sn-1转化为 an与 an-1的关系,由Sn=2an-a1,将 a2、a3用 a1表示a1,a2+1,a3成等差数列根据关系列方程,得 a1(2)记数列的前 n 项和为 Tn由(1)写出的表达式,表示出 Tn求使得|Tn-1|成立的 n 的最小值由|Tn-1|解关于 n 的
5、不等式【解析】(1)由已知 Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即 an=2an-1(n2).所以公比 q=2.从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为 a1,a2+1,a3成等差数列,即 a1+a3=2(a2+1).所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2.所以,数列an是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an=2n.(2)由(1)得=,4所以 Tn=+=1-.由|Tn-1|,得1 000.因为 29=5121 0001 024=210,所以 n10.于是,使|Tn-1|0,bn的公比为 q,则 an=1+(n-1)d,bn=qn
6、-1.依题意有解得或(舍去).故 an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知 Sn=1+2+n=n(n+1),5所以=2,所以+=2=2=.已知公比不为 1 的等比数列an的首项 a1=,前 n 项和为 Sn,且 a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求等比数列an的通项公式.(2)对 nN*,在 an与 an+1之间插入 3n个数,使这 3n+2 个数成等差数列,记插入的这 3n个数的和为 bn,求数列bn的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设等比数列an的公比为 q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以 a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即 2a6
7、-3a5+a4=0,所以 2q2-3q+1=0.因为 q1,所以 q=,所以等比数列an的通项公式为 an=.(2)由题意得 bn=3n=,Tn=.考点三求数列的通项公式命题精解考什么考什么:数列的通项公式怎么考怎么考:(1)由 an与 Sn的关系求通项 an(2)由递推公式求通项 an(3)构造新数列求 an6读新趋势新趋势:以数列为载体,与函数或不等式等综合考查学霸好方法1.1.求数列的通项公式求数列的通项公式 a an n(1)形如 an+1=an+f(n)的数列,常用累加法(2)形如 an+1=anf(n)的数列,常可采用累乘法(3)形如 an+1=ban+d(其中 b,d 为常数,b
8、0,1)的数列,常用构造法2.2.交汇问题交汇问题与函数或不等式等交汇时,经常先构造出新的等差或等比数列求解,然后再求 an由 an与 Sn的关系求通项 an【典例】(2018全国卷改编)记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 an=_.【解析】因为 Sn=2an+1,当 n2 时,Sn-1=2an-1+1,所以 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 an=2an-1.当 n=1 时,a1=S1=2a1+1,得 a1=-1.所以数列an是首项 a1为-1,公比 q 为 2 的等比数列,所以 an=-1=-.答案:-2n-1Sn与 an关系问题的求解思路如何?提示:根
9、据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.利用 an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含 Sn,Sn-1的关系式利用 Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含 an,an-1的关系式由递推公式求数列通项【典例】1.设数列an满足 a1=3,an+1=an+,则通项公式 an=_.【解析】原递推公式可化为 an+1=an+-,则 a2=a1+-,a3=a2+-,a4=a3+-,an-1=an-2+-,an=an-1+-,以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得,an=a1+1-,故 an=4-.7答案:4-2.在数列an中,a1=1,an=an-1(n2),则数列an的通项公式为_.【解析】
10、因为 an=an-1(n2),所以 an-1=an-2,an-2=an-3,a2=a1.以上(n-1)个式子相乘得 an=a1 =.当 n=1 时,a1=1,上式也成立.所以 an=(nN*).答案:an=(nN*)(1)形如 an+1=an+f(n)的数列,选择何种方法求通项公式?提示:累加法.(2)形如 an+1=anf(n)的数列,选择何种方法求通项公式?提示:累乘法.【误区警示】利用累乘法求通项公式时,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到,漏掉 a1而导致错误;二是根据连乘求出 an之后,不注意检验 a1是否成立.构造等差、等比数列求通项 an【典例】1.已知数列an满足 a
11、1=1,an+1=3an+2,则数列an的通项公式为_.【解析】因为 an+1=3an+2,所以 an+1+1=3(an+1),所以=3,所以数列an+1为等比数列,公比 q=3,又 a1+1=2,所以 an+1=23n-1,所以 an=23n-1-1(nN*).8答案:an=23n-1-1(nN*)2.已知数列an满足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,nN*.求证:数列an+1-an为等比数列,并求数列an的通项公式.【解析】因为=2,所以数列an+1-an是公比为 2,首项为 2 的等比数列,所以 an+1-an=2n,累加可知:an-a1=2+22+2n-1=2n-2(
12、n2),an=2n(n2),当 n=1 时,a1=2 满足上式,所以 an=2n(nN*).(1)形如 an+1=ban+d(其中 b,d 为常数,b0,1)的数列,其基本思路是什么?提示:等号两边同时加上一个数使an+成等比数列.(2)形如 an+1=(p,q,r 是常数)的数列,构造新数列时是怎样变形的?提示:求倒数=+,再用构造法.(3)形如 an+2=pan+1+qan(p,q 是常数,且 p+q=1)的数列,如何求通项?提示:等号两边同时加上 an+1的倍数使an+1+an成等比数列.1.数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n1),则 a6=()A.344
13、B.344+1C.45D.45+1【解 析】选A.a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3 41,a4=3S3=48=3 42,a5=3S4=192=3 43,a6=3S5=768=344.【一题多解】选 A.当 n1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1,所以 an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1,所以该数列从第 2 项开始是以 4 为公比的等比数列,又 a2=3S1=3a1=3,所以9an=所以当 n=6 时,a6=346-2=344.2.已知数列an的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=()A.2n-1B
14、.C.D.【解析】选 B.由已知 Sn=2an+1得 Sn=2(Sn+1-Sn),即 2Sn+1=3Sn,=,而 S1=a1=1,所以Sn=.3.设数列an满足 a1=1,且 an+1=an+n+1(nN*),则数列an的通项公式为_.【解析】由题意得 a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n(n2),以上各式相加,得 an=a1+2+3+n.又因为 a1=1,所以 an=1+2+3+n=(n2),因为当 n=1 时也满足上式,所以 an=(nN*).答案:an=4.设数列an满足 a1=1,an+1=2nan,则通项公式 an=_.【解析】由 an+1=2nan,得=2n-1(n2
15、),所以 an=a1=2n-12n-221=21+2+3+(n-1)=.10又 a1=1 适合上式,故 an=.答案:1.在数列an中,a1=3,且点 Pn(an,an+1)(nN*)在直线 4x-y+1=0 上,求数列an的通项公式.【解析】因为点 Pn(an,an+1)(nN*)在直线 4x-y+1=0 上,所以 4an-an+1+1=0,即 an+1=4an+1,得 an+1+=4,所以是首项为 a1+=,公比为 4 的等比数列,所以 an+=4n-1,故 an=4n-1-.【变式备选】在数列an中,a1=1,数列an+1-3an是首项为 9,公比为 3 的等比数列.(1)求 a2,a3
16、.(2)求数列的前 n 项和 Sn.【解析】(1)因为数列an+1-3an是首项为 9,公比为 3 的等比数列,所以 an+1-3an=93n-1=3n+1,所以 a2-3a1=9,a3-3a2=27,所以 a2=12,a3=63.(2)因为 an+1-3an=3n+1,所以-=1,所以数列是首项为,公差为 1 的等差数列,所以数列的前 n 项和 Sn=+=.2.设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=2,且 an+2=3Sn-Sn+1+3,nN*.(1)证明:an+2=3an.(2)求 S2n.11【解析】(1)由条件,对任意 nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,则对任
17、意 nN*,n2,有 an+1=3Sn-1-Sn+3.两式相减,得 an+2-an+1=3an-an+1,即 an+2=3an,n2,又 a1=1,a2=2,所以 a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故对一切 nN*,an+2=3an.(2)由(1)知,an0,所以=3.于是数列a2n-1是首项 a1=1,公比为 3 的等比数列;数列a2n是首项 a2=2,公比为 3 的等比数列.因此 a2n-1=3n-1,a2n=23n-1.于是 S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=.