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1、理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之11三角函数的综合应用专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 20_年 1.(20_江苏18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点PQ,并修建两段直线型道路PBQA.规划要求:线段PBQA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点AB到直线l的距离分别为AC和BD(CD为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长; (2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由; (3)在规
2、划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,PQ两点间的距离.2021-20_年 一选择题 1.(20_北京)在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当,变化时,的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(20_年浙江)设函数,则的最小正周期 A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关 3.(20_陕西)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 A.5 B.6 C.8 D.10 4(20_浙江)存在函数满足,对任意都有 A.B.C.D.5.
3、(20_新课标)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,BOP=_.将动点P到A,B两点距离之和表示为_的函数,则的图像大致为 A B C D 6.(20_新课标)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在0,上的图像大致为 A.B.C.D.7.(20_湖南)已知函数则函数的图象的一条对称轴是 A.B.C.D.二填空题 8.(20_年浙江)已知,则=_,=_.9.(20_江苏省) 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点 个数是 .10.(20
4、_陕西)设,向量,若, 则_.11.(20_湖南)函数的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与_轴的两个交点,B为图像的最低点.(1)若,点P的坐标为(0,),则 ; (2)若在曲线段与_轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC内的概率为 .三解答题 12.(20_江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形,大棚内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;
5、(2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲乙两种蔬菜的年总产值最大.13.(20_江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm,容器的底面对角线的长为10cm,容器的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒,其长度为40cm.(容器厚度玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将放在容器中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度; (2)将放在容器中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.14.(20_山东)设.()
6、求的单调区间; ()在锐角中,角,的对边分别为,若,求面积的最大值.15.(20_湖北)某实验室一天的温度(单位:)随时间(单位:)的变化近似满足函数关系:,.()求实验室这一天的最大温差; ()若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温? 16.(20_陕西)的内角所对的边分别为.(I)若成等差数列,证明:; (II)若成等比数列,求的最小值.17.(20_福建)已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式; (2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在
7、,请确定的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数与正整数,使得在内恰有20_个零点.专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 答案部分 20_年 1.解析 解法一: (1)过A作,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,. 因为PBAB, 所以.所以.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,联结AD,由(1)知, 从而,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此,Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D
8、处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在中,.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+(百米).解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,3.因为AB为圆O的直径
9、,AB=10,所以圆O的方程为_2+y2=25.从而A(4,3),B(4,3),直线AB的斜率为.因为PBAB,所以直线PB的斜率为, 直线PB的方程为.所以P(13,9),.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,取线段BD上一点E(4,0),则EO=490时,在中,.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(13,9),Q(,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离 .因此,d最小时,P,Q两点
10、间的距离为(百米) 2021-20_年 1.C【解析】由题意可得 (其中,), , 当时,取得最大值3,故选C.2.B【解析】由于.当时,的最小正周期为; 当时,的最小正周期; 的变化会引起的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选B.注:在函数中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍数.3.C【解析】由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C.4.D【解析】对于A,当或时,均为1,而与此时均有两个值,故AB错误;对于C,当或时,而由两个值,故C错误,选D.5.B【解析】由于,故排除选项CD;当点在上时,.不难发现的图象是非线性,排除A.6.C【解析】由题意知,当时,;
11、当时,故选C.7.A【解析】由, 得,所以,所以, 由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同, 令,则,所以函数的图象的对称轴为 ,当,得,选A.8.【解析】,所以 9.7【解析】画出函数图象草图,共7个交点.10.【解析】, .11.(1)3;(2)【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时; (2)曲线的半周期为,由图知, ,设的横坐标分别为.设曲线段与_轴所围成的区域的面积为则, 由几何概型知该点在ABC内的概率为.12.【解析】(1)连结并延长交于,则,所以=10.过作于,则,所以, 故, 则矩形的面积为, 的面积为.过作,分别交圆弧和的延长线于和,则.令,则,.当时,才能作出满足条件的
12、矩形, 所以的取值范围是.答:矩形的面积为平方米,的面积为 ,的取值范围是.(2)因为甲乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43, 设甲的单位面积的年产值为,乙的单位面积的年产值为, 则年总产值为 ,.设, 则.令,得, 当时,所以为增函数; 当时,所以为减函数, 因此,当时,取到最大值.答:当时,能使甲乙两种蔬菜的年总产值最大.13.【解析】(1)由正棱柱的定义,平面, 所以平面平面,.记玻璃棒的另一端落在上点处.因为,.所以,从而.记与水平的交点为,过作,为垂足, 则平面,故, 从而.答:玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)
13、(2)如图,是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,平面 , 所以平面平面,.同理,平面平面,.记玻璃棒的另一端落在上点处.过作,为垂足, 则=32.因为= 14,= 62, 所以= ,从而.设则.因为,所以.在中,由正弦定理可得,解得.因为,所以.于是 .记与水面的交点为,过作,为垂足,则 平面,故=12,从而 =.答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm) 14.【解析】()由题意 .由,可得; 由,得; 所以的单调递增区间是; 单调递减区间是.(), 由题意是锐角,所以 .由余弦定理:, 可得 ,且当时成立.面积最大值为.15
14、.【解析】()因为, 又,所以, 当时,;当时,; 于是在上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为,最低温度为,最大温差为 ()依题意,当时实验室需要降温.由()得, 所以,即, 又,因此,即, 故在10时至18时实验室需要降温.16.【解析】(1)成等差数列, 由正弦定理得 (2)成等比数列, 由余弦定理得 (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) 即,所以的最小值为 17.【解析】()由函数的周期为,得 又曲线的一个对称中心为, 故,得,所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到
15、函数 ()当时, 所以.问题转化为方程在内是否有解 设, 则 因为,所以,在内单调递增 又, 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, 即存在唯一的满足题意.()依题意,令 当,即时,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, 现研究时方程解的情况 令, 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ,令,得或.当变化时,和变化情况如下表 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,所以 综上,当,时,函数在内恰有个零点 第 8 页 共 8 页