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1、20182018 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷及答案解析试卷及答案解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0 x 处不可导的是（ ）(A) sinfxxx(B) sinfxxx(C) cosfxx(D) cosfxx【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）00sinlimlim0,xxxxx xxx可导；（B）00sinlimlim0,xxxxxxxx可导；（C）001cos12limlim0,xxxxxx可导；（D）200011cos122l
2、imlimlim,xxxxxxxxx极限不存在，故选 D。（2）过点 1,0,0 , 0,1,0，且与曲面22zxy相切的平面为（ ）(A)01zxyz与(B)022zxyz与2(C)1xyxyz与(D)22xyxyz与2【答案】（B）【解析】 221,0,0 , 0,1,0=0zzxy过的已知曲面的切平面只有两个，显然与曲面相切，排除C、D22zxy曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1, 1),22xyzxy对于A选项,的法向量为可得221.zxyxyzzAB代入和中 不相等，排除 ，故选（3）023121 !nnnn（ ） 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化(A)s
3、in1 cos1(B)2sin1 cos1(C)2sin12cos1(D)2sin1 3cos1【答案】（B）【解析】00023212( 1)( 1)( 1)(21)!(21)!(21)!nnnnnnnnnnn0012=( 1)( 1)cos2sin1(2 )!(21)!nnnnlnn故选 B.（4）设2222222211,1cos,1xxxMdx Ndx Kx dxxe则（ ）(A)MNK(B)MKN(C)KMN(D)KNM【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111xxxxMdxdxdxxxx22222111(0)11xxxxxexNdxdxMee 2222=1
4、cos )1Kx dxdxM（,KMN故应选C。（5）下列矩阵中与矩阵110011001相似的为（）(A)111011001(B)101011001(C)111010001(D)101010001【答案】（A） 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化【解析】3110110011011=0001001JEJ令，则特征值（ -1），123=1.则特征值为010=1001)2.000EJr EJ当时，可知（3123111111= 01101110=1.001001AAEA选项，令，则由解得011=1= 0012.000EAe EA此时当时，可知101= 0111,1,1.=1)1.001BBB
5、r EB选项，令，则同理显然可知矩阵 所有的特征值为当时，（101= 0111,1,1.=1)1.001CCr ECC选项，令，则同理显然可知矩阵 所有的特征值为当时，（101= 0111,1,1.=1)1.001DDDr ED选项，令，则同理显然可知矩阵 所有的特征值为当时，（EAEJ由于矩阵相似，则相关矩阵与也相似，则r(E-A)=r(E-J).可知答案选 A。（6）,ABnr XXX Y设 、 为 阶矩阵，记为矩阵 的秩，表示分块矩阵，则（）(A) ,r A ABr A(B) ,r A BAr A(C) ,max,r A Br Ar B(D),TTr A Br A B【答案】（A）【解析
6、】( ,)( ,)( ).CABCAr A Cr A ABr A设，则可知 的列向量可以由 的列向量线性表示，则（7） 设随机变量X的概率密度 2011,0.6,0f xfxfxf x dxP X满足且则（）(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.5【答案】（A） 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化【解析】(1)(1)( )102fxfxf xxP XP X由知，关于对称，故200022102( )0.6P XPXP XPXf x dx，200.400.2P XP X（8）设总体212,nXNXXXX 服从正态分布是来自总体 的简单随机样本，据此样本检测：0010=HH 假设：
7、，：，则（）(A)00=0.05=0.01HH如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝(B)00=0.05=0.01HH如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平必接受(C)00=0.05=0.01HH如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝(D)00=0.05=0.01HH如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受【答案】(A)【解析】211,( ,),(0,1)/niiXXXXNNnn 故010.0250.0250.05,./xuun所以时，拒绝域为：为上 分位点020.0005=0.001./xun时，拒绝域为：0.0250.0005,.uuA又因为故选二、填空题：914 小题，每小
8、题 4 分，共 24 分。（9）1sin01tanlim,1tankxxxekx若则_.【答案】-2【解析】011 tan1lim1sin1 tansin01tanlim,1tanxxkxxkxxxex由e=得0011tan1tan21=limlim,sin1tanxxxxkxxkxk故2.k （10） 20,021,2xf xyf xy设函数具有 阶连续导数，若曲线过点且与曲线在点处 10 xfx dx相切，则_.【答案】2ln22 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化【解析】 111000( )(1)(1)(0)2ln2202ln22xfx dxxfxfx dxfff（11）( ,
9、 , ),1,1,0F x y zxyiyz jzxkrotF设则.【答案】1,0, 1)（【解析】( , , )F x y zxyiyz jzxk( , , )(1,1,0)(1,0, 1)ijkrotF x y zyiz jxkxyzxyyzzxrotF（12）22210LLxyzxyzxyds 设 为球面与平面的交线，则.【答案】0【解析】0.LLxozyxyds 由曲线 关于面对称，被积函数关于 是奇函数，故（13）21212122,=AAA 设 阶矩阵 有两个不同特征值，是 的线性无关的特征向量，且满足，A 则.【答案】-1【解析】22121212=1.AA由 （）（），可知有特征值
10、 ，对应的特征向量为11.211.AAA则可知 的特征值只能取 或由于矩阵 有 个不同的特征值，则可知 的特征值恰好为 和则1 ( 1)1.A （14）=ABACBC 设随机事件 与 相互独立， 与 相互独立，若 11,24P AP BPAC ABC P C 则.【答案】14【解析】()()1)()( )()4P AC ABCP ACP AC ABCP ABCP ABP CP ABC（1( )( ) ( )1112( ).1 1( ) ( )( )()444( )02 2P CP A P CP CP A P BP CP ABCP C三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、
11、证明过程或演算步骤。 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化（15）（本题满分 10 分）2arctan1.xxeedx求不定积分【解析】222111= arctan1arctan12241xxxxxxeedeeedxe 原式再用整体代换去根号：222212111xxxtetdxtedttte33222=212133xxttCeeC 322111=arctan111262xxxxeeeeC 即原式（16）（本题满分 10 分）2m将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？.若存在，求出最小值【解析】2432,xyzxyz设圆的半径为 ，正方形的
12、边长为 ，正三角形的边长为 ，则其面积和22322333( , , ),( , , )243244S x y zxyzS x y zxyzyz即是求在约束条件下的最小值是否存在.2223( , , , )(2432),4L x y zxyzxyz设122043 32402,().343 33022 32432043 3xyzxLxxxLyyLzLxyzz 解得唯一驻点 由实际问题可知，最小值一定存在，122 31.43 343 343 343 3且在（，）取得最小值，且最小值为（17）（本题满分 10 分）22331 33=2.xyzIxdydzydzdxz dxdy设 是曲面的前侧，计算曲面
13、积分【解析】2200,331xyz补面： ：的后侧，则 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化002222333333220122013112243000=(2)=(2)(2)(1 33)0(=(1 33)3(1 3)2(4xyzxIxdydzydzdxz dxdyxdydzydzdxz dxdyxdydzydzdxz dxdyyzdxdydzdxyzdydzdxdrrdrr其中 为 与所围成的半椭球体）211230024101)234142.1245xrdxxxdx（18）（本题满分 10 分）( ),( ).yyf xf xR已知微分方程其中是 上的连续函数（I）( ),f xx若求
14、方程的通解；（II）( )f xTT若是周期为 的函数，证明：方程存在唯一的以 为周期的解.【解析】（I）1xxxyexe dxCCex（II） 00000000( )1=.1xxtt T ux Txx Ttx Tu TTxxxuTxuuTTTxxxuuTxtTuTTy xef t e dtCy xTef t e dtCef uT eduCef u e duCeef u e duf u e duCeef u e duf u e duCeef t e dtCCf u e duy xTy xe 微分方程解函数为则若即时由于 01.1uTTCf u e duy xe为确定常数，故符合条件的周期解唯一
15、（19）（本题满分 10 分） 110,1(1,2,),lim.nnxxnnnnnxxx eenxx设数列满足：证明收敛，并求【解析】10,0,kxx假设110,1011 10.kxxkkexexxnnx 由可知 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化 111.11111 ,0,.1000,01,0limlimlim11,=0lim=0.nnnnnnxxnnnxnnxxxxnnxnxxnnnnnAAnnxeexxnxnxx ef xxeefxxef xexf xfxxxexxAx eeAeeAx故数列有下界令则故单调增加当时，故所以数列单调减少所以存在，设为 ，则解得，即（20）（本题满
16、分 11 分）2221231232313( ,)( ,)()() ,.f x x xxxxxxxaxa设实二次型其中 是参数(I)123( ,)0f x x x求的解；(II)123( ,)f x x x求的规范形.【解析】(I)22212312323131231232133( ,)=()()()0,=0111=0.= 011 ,.=0100.111111111= 011011011.10011002f x x xxxxxxxaxxxxxxxAxxxaxaxAxAaaa由则应有令即由可221 ,.12.axkka知当时，方程组有非零解其中 为任意常数当时，方程组只有零解(II)22212312
17、3212322123122(,).2213=120306213120(1018)0,306=57=57=0.( ,).af y yyyyyaBEBf z zzzz 当时，此时显然可知二次型正定，则此时对应的规范形为：当时，方法一：（正交变换法）令二次型对应的实对称矩阵为，则由解得，则可知规范形为： 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化方法二：（配方法）由于2222221231121323123231123222231231233133( ,)2(3)262()() .222132()223(),( ,).2f x x xxx xx xxxxxxxxzxxxzxxf z zzzzzx令得
18、规范形为（21）（本题满分 11 分）1212= 130=011 .27111aaaABa已知 是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I); a求(II).APBP求满足的可逆矩阵【解析】(I)12121300,01112 10,2.27111aaABaaa 由于则可知(II)112233122 122122 122122 122()130 011012 011012 011 .272111036 033000 00063646421 ,21 ,21101010A Bpkpkpk 由解得12312323123.364646=121212,.kkkPkkkkkkkk 故解得可逆矩阵其中（22）（
19、本题满分 11 分）111,2XYXP XP XY 设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为服从参数为 的泊松分布.ZXY令(I),;Cov X Z求(II).Z求 的概率分布【解析】(I)22,=01,=.Cov X ZE XZEXEZEXEXEYE XZE X YCov X ZE XZEXEZ， 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化(II)01101010002211122!111,1,2,.22!kkZP ZP XYP XYP YP YeeP ZkP XYkP YkkeP ZkP XYkP Ykkk 的取值为 ，1，2， ，其中（23）（本题满分 11 分）121( ,),2(0,),.xnXf xexXXXX 设总体 的概率密度为其中为未知参数，为来自总体 的简单随机样本记 的最大似然估计量为(I)求 ；(II)( ).ED求和【解析】(I)112111=,21ln(lnln)2ln11()0ixniiniinniiiiLexxLxdLXdn 设则令(II)0122222122201=21111()()21().xxniixniixxxEE XE XedxedxnxDD XD XEXEXedxnnnnxedxnn 淘宝店铺：https:/ 掌柜旺旺：新一文化