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1、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) .(2) 设具有二阶连续导数,则 .(3) 设为椭圆其周长记为,则 .(4) 设为阶矩阵,为的伴随矩阵,为阶单位矩阵.若有特征值,则必有特征值 . (5) 设平面区域由曲线及直线所围成,二维随机变量在区域上服从均匀分布,则关于的边缘概率密度在处的值为 _ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1) 设连续,则 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 函数不可导点的个数是 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(3) 已知函数在任意点处的增量且当时,是的
2、高阶无穷小,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设矩阵是满秩的,则直线与直线 ( )(A) 相交于一点 (B) 重合(C) 平行但不重合 (D) 异面(5) 设是两个随机事件,且则必有( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分5分)求直线在平面上的投影直线的方程,并求绕轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度,并求.五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(从海平面算起)与下沉速度之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力
3、的作用.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为.试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式.六、(本题满分7分)计算其中为下半球面的上侧,为大于零的常数.七、(本题满分6分)求八、(本题满分5分)设正项数列单调减少,且发散,试问级数是否收敛？并说明理由.九、(本题满分6分)设是区间上的任一非负连续函数.(1) 试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以为曲边的梯形面积.(2) 又设在区间内可导,且证明(1)中的是唯一的.十、(本题满分6分)已知二次曲面方程,可以经过正交变换化为椭圆柱面方程,求的值和正交矩阵.十一、(本题满分4分)设是阶矩阵,
4、若存在正整数,使线性方程组有解向量,且,证明：向量组是线性无关的.十二、(本题满分5分)已知线性方程组的一个基础解系为,试写出线性方程组的通解,并说明理由.十三、(本题满分6分)设两个随机变量相互独立,且都服从均值为0、方差为的正态分布,求随机变量的方差.十四、(本题满分4分)从正态总体中抽取容量为的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大？附表：标准正态分布表 1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990十五、(本题满分4分)设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为6
5、6.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：分布表 0.950.975351.68962.0301361.68832.02811998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式.方法2：采用洛必达法则.原式.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项, ,从而 原式.(2)【答案】【分析】因为具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求或均可,但不同的选择可能影响计算的
6、繁简.方法1：先求.,方法2：先求.方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：评注：本题中,中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对求导时,视为常数；对求导时,视为常数就可以了.(3)【答案】【解析】关于轴(轴)对称,关于(关于)为奇函数.又在上,因此, 原式.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分,设在上连续,如果关于轴对称,为上的部分,则有结论：类似地,如果关于轴对称,为上的部分,则有结论：(4)【答案】 【解析】方法1：设的对应于特征值的特征向量为,由特征向量的定义有.由,知(如果0是的特征值),将上式两端左乘,得,从而有 (即的特征值为).将此式两端左乘
7、,得.又,所以,故的特征值为.方法2：由,的特征值(如果0是的特征值),则有特征值,的特征值为；的特征值为.【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得.因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征值.若,则.即若是的特征值,则的特征值是.2.矩阵可逆的充要条件是,且.O12(5)【答案】【解析】首先求的联合概率密度.,区域的面积为其次求关于的边缘概率密度.当或时,；当时,.故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)【答案】(A)【解析】为变
8、限所定义的函数求导数,作积分变量代换,选(A).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.(2)【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.,当时可导,因而只需在处考察是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由 ,即在处可导.又,所以在处不可导.类似,函数在处亦不可导.因此只有2个不可导点,故应选(B).评注：本题也可利用下列结论进行判断： 设函数,其中在处连续,则在处可导的充要条件是.(3)【答案】(D)【解析】由有令得是的高阶无穷小,则,即 .分离变量,得 两边积分,得 ,即代入初始条件得所以,.故 【相关知
9、识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限 ,(1) 若称在该极限过程中为同阶无穷小；(2) 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；(3) 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.若不存在(不为),称不可比较.(4)【答案】(A)【解析】设,题设矩阵是满秩的,则由行列式的性质,可知 ,故向量组与线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在,使得,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.与分别为的方向向量,由方向向量线性相关,两直线平行,可知不平行.又由得,即 .同样由,得,即 ,可见均过点,故两直线相交于一点,选(A).(5)【答案】C【分析】由题设条件,知发生与不发生
10、条件下发生的条件概率相等,即发生不发生不影响的发生概率,故相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑与是否相等,选项(C)和(D)才是事件与B是否独立.【解析】由条件概率公式及条件知,于是有 ,可见 .应选(C).【相关知识点】条件概率公式：.三、(本题满分5分)【解析】方法1：求直线在平面上的投影：方法1：先求与的交点.以代入平面的方程,得.从而交点为；再过直线上点作平面的垂线,即并求与平面的交点：,交点为.与的连接线即为所求.方法2：求在平面上的投影线的最简方法是过作垂直于平面的平面,所求投影线就是平面与的交线.平面过直线上的点与不共线的向量(直线的方向向量)及(平面的法向量)平行,于是的方
11、程是,即.投影线为 下面求绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程.为此,将写成参数的方程：按参数式表示的旋转面方程得的参数方程为消去得的方程为,即四、(本题满分6分)【解析】令则在单联通区域右半平面上为某二元函数的梯度在上原函数其中, ,.由,即满足,.可见,当时,所给向量场为某二元函数的梯度场.为求,采用折线法,在半平面内任取一点,比如点作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有 (折线法) (第一类换元法) (基本积分公式) 其中为任意常数.【相关知识点】1.二元可微函数的梯度公式：.2.定理：设为平面上的单连通区域,函数与在内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：(1) ；(2) 为
12、内任意一条逐项光滑的封闭曲线；(3) 仅与点有关,与连接什么样的分段光滑曲线无关；(4) 存在二元单值可微函数,使(即为某二元单值可微函数的全微分； (5) 微分方程为全微分方程； (6) 向量场为某二元函数的梯度. 换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数.五、(本题满分6分)【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：,浮力的大小：；阻力：,则由牛顿第二定律得 (*)由,代入(*)得与之间的微分方程.分离变量得 ,两边积分得 , (第一类换元法) .再根据初始条件即.故所
13、求与函数关系为六、(本题满分7分)【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含,因此不能立即加、减辅助面,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：添加辅助面,其侧向下(由于为下半球面的上侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于的方向向下；另外由曲面片在平面投影面积为零,则,而上,则.,其中为与所围成的有界闭区域,为在面上的投影.从而,第一个积分用球
14、体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.方法2：逐项计算：其中,第一个负号是由于在轴的正半空间区域的上侧方向与轴反向；第二个负号是由于被积函数在取负数.为在平面上的投影域,用极坐标,得其中为在平面上的投影域.故【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数、在上具有一阶连续偏导数,则有或 这里是的整个边界曲面的外侧,、是在点处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.七、(本题满分6分)【分析】这是项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合
15、到一起来求极限.当各项分母均相同是时,项和式是函数在0,1区间上的一个积分和.于是可由定积分求得极限.【解析】由于,于是, .由于 ,根据夹逼定理知,.【相关知识点】夹逼准则：若存在,当时,且有,则.八、(本题满分5分)【解析】方法1：因正项数列单调减少有下界0,知极限存在,记为,则且.又发散,根据莱布尼茨判别法知,必有(否则级数收敛).又正项级数单调减少,有而,级数收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数也收敛.方法2：同方法1,可证明.令则根据根值判别法,知级数也收敛.【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数满足：(1) (2)则收敛,且其和满足余项反之,若交错级数发散,只是满
16、足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足条件(2),所以有(否则级数收敛)2.正项级数的比较判别法：设和都是正项级数,且则(1)当时,和同时收敛或同时发散；(2)当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散；(3)当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散.3.根值判别法：设,则当 九、(本题满分6分)【解析】(1)要证,使；令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理：,又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,使.(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的.评注：若直接对使用零点定理,会遇到麻烦：.当时,对任何的结论都成立；当时,但,若,则难以说明在内存在.当直接对用零点定理遇到麻烦时,不妨对
17、的原函数使用罗尔定理.【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即,那么在内至少有一点(),使得.十、(本题满分6分)【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为,则存在正交矩阵,使得,即相似.由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵有特征值从而,从而,当时,于是得方程组的同解方程组为,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取,解得基础解系为当时,于是得方程组的同解方程组为,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取
18、,解得基础解系为当时, ,于是得方程组的同解方程组为,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取,解得基础解系为由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知相互正交.将单位化,得因此所求正交矩阵为.评注：利用相似的必要条件求参数时,是比较好用的一个关系式.亦可用比较同次方的系数来求参数.【相关知识点】1.特征值的性质：2.相似矩阵的性质：若矩阵相似,则.十一、(本题满分4分)【解析】用线性无关的定义证明.设有常数使得两边左乘,则有,即 .上式中因,可知,代入上式可得由题设,所以将代入,有.两边左乘,则有 ,即.同样,由,可得由题设,所以类似地可证明因此向量组是线性无关的
19、.【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数使,则称线性相关；否则,称线性无关十二、(本题满分5分)【解析】的通解为,其中,为任意常数.理由：可记方程组,的系数矩阵分别记为,由于的每一行都是的解,故.的列是的基础解系,故由基础解系的定义知,的列向量是线性无关的,因此.故基础解系所含向量的个数,得.因此,的行向量线性无关.对两边取转置,有,则有的列向量,即的行向量是的线性无关的解.又,故基础解系所含向量的个数应为,恰好等于的行向量个数.故的行向量组是的基础解系,其通解为,其中,为任意常数.十三、(本题满分6分)【分析】把看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然
20、为正态分布的性质,可以知道,这样可以简化整题的计算.【解析】令,由于相互独立,且都服从正态分布,因此也服从正态分布,且,.于是,.而 ,故【相关知识点】1.对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布.若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有,其中为常数.2.方差的定义：.3.随机变量函数期望的定义：若,则.十四、(本题满分4分)【解析】由题知：,各样本相互独立,根据独立正态随机变量的性质,.其中,.根据期望和方差的性质,所以,.把标准化,.从而,故查表得到即所以至少应取35.【相关知识点】1.对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布.若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有,其中为常数.2.若,则十五、(本题满分4分)【解析】设该次考试的考生成绩为,则,设为从总体抽取的样本容量为的样本均值,为样本标准差,则在显著性水平下建立检验假设：由于未知,故用检验.选取检验统计量, 在时,选择拒绝域为,其中满足：,即由可算得统计量的值：.所以接受假设,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.27资料搜集QQ1836989006 微信1836989006