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1、第20课时圆的有关概念及性质,考点梳理,自主测试,考点一圆的有关概念及其对称性1.圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫做圆心,定长叫做半径;(2)平面内一条线段绕着一个固定端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,这条线段叫做半径.,考点梳理,自主测试,3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.4.弦心距:从圆心到弦的距离.5.弓形:由弦及其所对的弧组成的图形.6.同心圆:圆心相同,半径不等的圆.7.等圆:圆心不同,半径相等的圆.8.等弧:在同圆或等圆中,能够重合的弧.9.圆的对称性(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图
2、形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;(2)圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;(3)圆是旋转对称图形:圆绕圆心旋转任意角度,都能和原来的图形重合.这就是圆的旋转不变性.,考点梳理,自主测试,考点二圆心角、弧、弦之间的关系1.定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.2.推论在同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.若三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.,考点梳理,自主测试,考点三垂径定理及推论1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的
3、两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.3.推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等.,考点梳理,自主测试,考点四圆心角与圆周角1.定义顶点在圆心的角叫做圆心角;顶点在圆上,角的两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.性质(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半.(3)同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径.,考点梳理,自主测试,考点五确定圆的条件1.
4、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.2.三角形的外接圆经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形,外接圆的圆心叫做三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.3.圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.,考点梳理,自主测试,1.下列说法错误的是()A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆是等弧答案:B2.如图,CD是O的直径,
5、弦ABCD于点E,连接BC,BD.下列结论中不一定正确的是()A.AE=BEC.OE=DED.DBC=90答案:C,考点梳理,自主测试,3.如图,A是O的圆周角,A=40,则OBC的度数为.答案:504.如图,AB是O的直径,弦CDAB.若ABD=65,则ADC=.答案:255.圆的半径为2 cm,圆的一条弦长为 cm,则此弦中点到所对的劣弧中点的距离为.答案:1 cm,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1圆的基本概念【例1】 如图,已知CD是O的直径,EOD=78,AE交O于点B,且AB=OC,求A的度数.分析:已知EOD=78,与A构成了内、外角关系,而E也未知,且A
6、B=OC这一条件不能直接使用,因此想到同圆的半径相等,需连接半径OB,从而得到OB=AB.解:连接OB.AB=OC,OB=OC,AB=OB,A=1.又OB=OE,E=2=1+A,DOE=E+A=3A.DOE=78,3A=78,A=26.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,变式训练1下列说法中,不正确的是()A.直径是弦,弦是直径B.半圆周是弧C.圆上的点到圆心的距离都相等D.在同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长答案:A,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点2圆心(周)角、弧、弦之间的关系【例2】 如图,已知A,B,C,D是O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点
7、E,连接CD,AD.(1)求证:DB平分ADC;(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点3垂径定理及推论【例3】 如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足P是OB的中点, CD=6 cm,求直径AB的长.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,解:如图,连接OC,BC,则根据ABCD,且垂足P是OB的中点,得OC=BC.OC=OB,OC=OB=BC.BOC为等边三角形.BOC=60.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点
8、5,解析:由OCAB,利用垂径定理可知AD=BD= AB=150 m.又OD=OC-CD=(OC-50)m,设这段弯路的半径为x m,则OD=(x-50)(m).在RtAOD中,由勾股定理可知OA2=OD2+AD2,即x2=(x-50)2+1502,解得x=250.答案:250,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点4圆周角定理及推论【例4】 如图,半圆的直径AB=10,点C在半圆上,BC=6.(1)求弦AC的长;(2)若P为AB的中点,PEAB交AC于点E,求PE的长.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点5圆内接四边形【例5】 如图,已知四边形ABCD是圆内接四边形,1=120,则CDE=度.解析:1=120,B= 1=60.四边形ABCD内接于O,CDE=B.CDE=60.答案:60,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,