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1、2020年中考数学一轮复习培优训练：相交线与平行线1平面内有任意一点P和1，按要求解答下列问题：（1）当点P在1外部时，如图，过点P作PAOM，PBON，垂足分别为A、B，量一量APB和1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系 ；（2）当点P在1内部时，如图，以点P为顶点作APB，使APB的两边分别和1的两边垂直，垂足分别为A、B，用数学式子写出APB和1的数量关系 ；（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角 （4）在图中，若150°17'，求APB的度数2探究：如图，ABCDEF，试说明BCFB+F下面给出了这道题的解题
2、过程，请在下列解答中，填上适当的理由解：ABCD，（已知）B1（ ）同理可证，F2BCF1+2，BCFB+F（ ）应用：如图，ABCD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N若EFG115°，EMB55°，则DNG的大小为 度拓展：如图，直线CD在直线AB、EF之间，且ABCDEF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH若GQH70°，则AGQ+EHQ 度3综合与探究如图，已知AMBN，A60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）BC，BD别平分ABP和PBN，分别交射线AM
3、于点C，D（1）求ABN、CBD的度数；根据下列求解过程填空解：AMBN，ABN+A180°A60°，ABN ，ABP+PBN120°，BC平分ABP，BD平分PBN，ABP2CBP、PBN ，（ ）2CBP+2DBP120°，CBDCBP+DBP （2）当点P运动时，APB与ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律（3）当点P运动到使ACBABD时，直接写出ABC的度数4探究：如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DEBC，EFAB，若ABC65°，求DEF
4、的度数请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）：解：DEBC（ ）DEF （ ）EFAB ABC（ ）DEFABC（ ）ABC65°DEF 应用：如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC的延长线上，且DEBC，EFAB，若ABC，则DEF的大小为 （用含的代数式表示）5三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°ACE90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：A60°，D30°，BE45°）（1）若DCE45°，则ACB的度数为 ；
5、若ACB140°，则DCE的度数为 ；（2）由（1）猜想ACB与DCE的数量关系，并说明理由（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由6【探究】如图，AFH和CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G（1）若AFH60°，CHF50°，则EOF 度，FOH 度（2）若AFH+CHF100°，求FOH的度数【拓展】如图，AFH和CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G若AFH+CHF，直接写出FOH的度数
6、（用含a的代数式表示）7课题学习：平行线的“等角转化”功能阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC求BAC+B+C的度数（1）阅读并补充下面推理过程解：过点A作EDBC，所以BEAB，C 又因为EAB+BAC+DAC180°，所以B+BAC+C180°解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC，B，C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决方法运用：（2）如图2，已知ABED，求B+BCD+D的度数（提示：过点C作CFAB）深化拓展：（3）如图3，已知ABCD，点C在点D的右侧，ADC70°点B在点A的左侧，A
7、BC60°，BE平分ABC，DE平分ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求BED的度数8如图1，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分BOC，OGOF于点O，AEOF（1）若A30°时求DOF的度数；试说明OD平分AOG；（2）如图2，设A的度数为，当为多少度时，射线OD是AOG的三等分线，并说明理由9如图1，已知ABCD，B20°，D110°（1）若E50°，请直接写出F的度数；（2）探索E与F之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，EP平分BEF，FG平分EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求P的
8、度数10问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（EFG90°，EGF60°）”为主题开展数学活动操作发现（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若221，求1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明AEF与FGC之间的数量关系；结论应用（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上若AEG，则CFG等于 （用含的式子表示）11已知直线ABCD（1）如图1，直接写出BME、E、EN
9、D的数量关系为 ；（2）如图2，BME与CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究P与E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，ABMMBE，CDNNDE，直线MB、ND交于点F，则 12已知，ABCD，点E为射线FG上一点（1）如图1，若EAF30°，EDG40°，则AED °；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则AED、EAF、EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分EDC，交AE于点K，交AI于点I，且EAI：BAI1：2，AED22°，I20°，求EKD的度数13如图，两条射线
10、AMBN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且ABCD108°E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分EBC（1）求ABC的度数（2）请在图中找出与ABC相等的角，并说明理由（3）若平行移动CD，且ADCD，则ADB与AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值14如图，已知AMBN，A60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分ABP和PBN，分别交射线AM于点C，D（1）求CBD的度数；（2）当点P运动时，APB：ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出
11、变化规律；（3）当点P运动到某处时，ACBABD，求此时ABC的度数15已知：点A、C、B不在同一条直线上，ADBE（1）如图，当A58°，B118°时，求C的度数；（2）如图，AQ、BQ分别为DAC、EBC的平分线所在直线，试探究C与AQB的数量关系；（3）如图，在（2）的前提下，且有ACQB，QPPB，直接写出DAC：ACB：CBE的值 参考答案1解：（1）如图1中，设PA交ON于FPAOM，PBON，PBFOAF90°，PFBOFA，APB1故答案为APB1（2）如图2中，PAOPBO90°，APB+1180°故答案为APB+1180&#
12、176;（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补（4）APB+1180°，APB180°50°17129°432解：探究：ABCD，B1（两直线平行内错角相等）同理可证，F2BCF1+2，BCFB+F（等量代换）故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换应用：由探究可知：MFNAMF+CNF，CNFDNG115°55°60°故答案为60拓展：如图中，当的Q在直线GH的右侧时，AGQ+EHQ360°70°290°，当点Q在直线GH的左侧
13、时，AGQ+EHQGQH70°故答案为70或2903解：（1）AMBN，ABN+A180°，A60°，ABN120°ABP+PBN120°，BC平分ABP，BD平分PBN，ABP2CBP、PBN2PBD，（角平分线的定义），2CBP+2DBP120°，CBDCBP+DBP60°故答案为120°，2PBD，角平分线的定义，60°（2）APB与ADB之间数量关系是：APB2ADB不随点P运动变化理由是：AMBN，APBPBN，ADBDBN（两直线平行内错角相等），BD平分PBN（已知），PBN2DBN（角平分
14、线的定义），APBPBN2DBN2ADB（等量代换），即APB2ADB（3）结论：ABC30°理由：AMBN，ACBCBN，当ACBABD时，则有CBNABD，ABC+CBDCBD+DBN，ABCDBN，由（1）可知ABN120°，CBD60°，ABC+DBN60°，ABC30°4解：探究：DEBC（已知）DEFCFE（两直线平行，内错角相等）EFABCFEABC（两直线平行，同位角相等）DEFABC（等量代换）ABC65°DEF65°故答案为：已知；CFE；两直线平行，内错角相等；CFE；两直线平行，同位角相等；等量代换；
15、65°应用：DEBCABCDEFABD+DEF180°DEF180°D180°，故答案为：180°5解：（1）ACD90°，DCE45°，ACE45°，ACB90°+45°135°，故答案为：135°；ACB140°，ACDECB90°，ACE140°90°50°，DCEDCAACE90°50°40°；故答案为：40°；（2）ACB与DCE互补理由：ACD90°，ACE90&#
16、176;DCE，又BCE90°，ACB90°+90°DCE，ACB+DCE90°+90°DCE+DCE180°，即ACB与DCE互补；（3）存在一组边互相平行，当ACE45°时，ACEE45°，此时ACBE；当ACE30°时，ACB120°，此时A+ACB180°，故ADBC6解：【探究】（1）AFH60°，OF平分AFH，OFH30°，又EGFH，EOFOFH30°；CHF50°，OH平分CHF，FHO25°，FOH中，FOH180&
17、#176;OFHOHF125°；故答案为：30，125；（2）FO平分AFH，HO平分CHF，OFHAFH，OHFCHFAFH+CHF100°，OFH+OHF（AFH+CHF）×100°50°EGFH，EOFOFH，GOHOHFEOF+GOHOFH+OHF50°EOF+GOH+FOH180°，FOH180°（EOF+GOH ）180°50°130°【拓展】AFH和CHI的平分线交于点O，OFHAFH，OHICHI，FOHOHIOFH（CHIAFH）（180°CHFAFH）（1
18、80°）90°7解：（1）EDBC，CDAC，故答案为：DAC；（2）过C作CFAB，ABDE，CFDE，DFCD，CFAB，BBCF，BCF+BCD+DCF360°，B+BCD+D360°，（3）如图3，过点E作EFAB，ABCD，ABCDEF，ABEBEF，CDEDEF，BE平分ABC，DE平分ADC，ABC60°，ADC70°，ABEABC30°，CDEADC35°，BEDBEF+DEF30°+35°65°8解：（1）AEOFABOFOF平分COFBOC60°，COF3
19、0°DOF18030°150°BOC60°AOD60°OFOGBOF+FOG90°BOG60°BOG+DOG+AOD180°DOG60°AODOD平分AOG（2）设AOD射线OD是AOG的三等分线AOD2DOG，或DOG2AOD若AOD2DOGDOGBOCAOD，OF平分BOCBOFOFOGBOG90BOG+DOG+AOD180°+90+180°90°BOF45°OFAEABOF45°即45°若DOG2AOD2BOCAOD，OF平分BOCBOFO
20、FOGBOG90BOG+DOG+AOD180°2+90+180°36°BOF18°OFAEABOF18°18°综上所述为18°或45°9解：（1）如图1，分别过点E，F作EMAB，FNAB，EMABFN，BBEM20°，MEFEFN，又ABCD，ABFN，CDFN，D+DFN180°，又D110°，DFN70°，BEFMEF+20°，EFDEFN+70°，EFDMEF+70°EFDBEF+50°100°；故答案为：100
21、76;；（2）如图1，分别过点E，F作EMAB，FNAB，EMABFN，BBEM20°，MEFEFN，又ABCD，ABFN，CDFN，D+DFN180°，又D110°，DFN70°，BEFMEF+20°，EFDEFN+70°，EFDMEF+70°，EFDBEF+50°；（3）如图2，过点F作FHEP，由（2）知，EFDBEF+50°，设BEF2x°，则EFD（2x+50）°，EP平分BEF，GF平分EFD，PEFBEFx°，EFGEFD（x+25）°，FHEP，PE
22、FEFHx°，PHFG，HFGEFGEFH25°，P25°10解：（1）如图1，ABCD，1EGD，又221，22EGD，又FGE60°，EGD（180°60°）40°，140°；（2）如图2，ABCD，AEG+CGE180°，即AEF+FEG+EGF+FGC180°，又FEG+EGF90°，AEF+GFC90°；（3）如图3，ABCD，AEF+CFE180°，即AEG+FEG+EFG+GFC180°，又GFE90°，GEF30°，AE
23、G，GFC180°90°30°60°故答案为：60°11解：（1）如图1，ABCD，ENDEFB，EFB是MEF的外角，EEFBBMEENDBME，故答案为：EENDBME；（2）如图2，ABCD，CNPNGB，NPM是GPM的外角，NPMNGB+PMACNP+PMA，MQ平分BME，PN平分CNE，CNE2CNP，FME2BMQ2PMA，ABCD，MFECNE2CNP，EFM中，E+FME+MFE180°，E+2PMA+2CNP180°，即E+2（PMA+CNP）180°，E+2NPM180°；（3）如
24、图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，ABCD，CDGAGE，ABE是BEG的外角，EABEAGEABECDE，ABMMBE，CDNNDE，ABMABECHB，CDNCDEFDH，CHB是DFH的外角，FCHBFDHABECDE（ABECDE），由代入，可得FE，即故答案为：12解：（1）如图，延长DE交AB于H，ABCD，DAHE40°，AED是AEH的外角，AEDA+AHE30°+40°70°，故答案为：70；（2）EAFAED+EDG理由：ABCD，EAFEHC，EHC是DEH的外角，EHGAED+EDG，EAFAED+EDG；（3）EAI
25、：BAI1：2，设EAI，则BAE3，AED22°，I20°，DKEAKI，又EDK+DKE+DEK180°，KAI+KIA+AKI180°，EDK2°，DI平分EDC，CDE2EDK24°，ABCD，EHCEAFAED+EDG，即322°+24°，解得18°，EDK16°，在DKE中，EKD180°16°22°142°13解：（1）AMBN，A+ABC180°ABC180°A180°108°72° （2）
26、与ABC相等的角是ADC、DCNAMBN，ADCDCN，ADC+BCD180°ADC180°BCD180°108°72° DCN72° ADCDCNABC （3）不发生变化AMBN，AEBEBC，ADBDBC BD平分EBC，DBCEBC，ADBAEB，14解：（1）AMBN，ABN180°A120°，又BC，BD分别平分ABP和PBN，CBDCBP+DBP（ABP+PBN）ABN60°（2）不变理由如下：AMBN，APBPBN，ADBDBN，又BD平分PBN，ADBDBNPBNAPB，即APB：ADB2
27、：1（3）AMBN，ACBCBN，又ACBABD，CBNABD，ABCABDCBDCBNCBDDBN，ABCCBPDBPDBN，ABCABN30°15解：（1）在图中，过点C作CFAD，则CFBECFADBE，ACFA，BCF180°B，ACBACF+BCF180°（BA）120°（2）在图2中，过点Q作QMAD，则QMBEQMAD，QMBE，AQMNAD，BQMEBQAQ平分CAD，BQ平分CBE，NADCAD，EBQCBE，AQBBQMAQM（CBECAD）C180°（CBECAD）180°2AQB，2AQB+C180°（3）ACQB，AQBCAPCAD，ACPPBQCBE，ACB180°ACP180°CBE2AQB+ACB180°，CADCBE又QPPB，CAP+ACP90°，即CAD+CBE180°，CAD60°，CBE120°，ACB180°（CBECAD）120°，DAC：ACB：CBE60°：120°：120°1：2：2