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1、44第8章几何中的最值问题之三角形的面积一、单选题1如图1，点P从ABC的顶点B出发，沿BCA匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则ABC的面积是（ ）A12B24C36D48【答案】D【解答】由图2知，ABBC10，当BPAC时，y的值最小，即ABC中，BC边上的高为8（即此时BP8），即可求解【解答】解：由图2知，ABBC10，当BPAC时，y的值最小，即ABC中，BC边上的高为8（即此时BP8），当y8时，PC6，ABC的面积×AC×BP×8×1248，故选：D【点评】本题是运动型综合
2、题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程2将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 （ ）A4cm2B8cm2C12cm2D16cm2【答案】B【分析】当ACAB时，重叠三角形面积最小，此时ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2【解答】解：如图，当ACAB时，三角形面积最小，BAC=90°ACB=45°AB=AC=4cm，SABC=×4×4=8cm2故选：B【点评】本题考查了折叠的
3、性质，发现当ACAB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键3如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的D上的一个动点，连接AC、AB，则ABC面积的最小值是（ ）A30B29C28D27【答案】B【分析】过D作DMBC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线的最小距离，由此即可解决问题【解答】过D作DMBC于M，连接BD，如图，令，则，令，则，B（12，0），C（0，-5），OB=12，OC=5，BC=13，则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，DM=，
4、圆D上点到直线的最小距离是，ABC面积的最小值是故选：B【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC的最大距离以及最小距离4如图，AOB45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN6，OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，OP1P2的面积最小值为（）A6B8C12D18【答案】B【分析】连接OP，过点O作OHNM交NM的延长线于H首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，OP1P2的面积最小【解答】解：连接O
5、P，过点O作OHNM交NM的延长线于HSOMNMNOH12，MN6，OH4，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，AOPAOP1，POBP2OB，OPOP1OP2AOB45°，P1OP22（POA+POB）90°，OP1P2是等腰直角三角形，OPOP1最小时，OP1P2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，OP1P2的面积的最小值×4×48，故选：B【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型5如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点
6、，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则CEF面积的最小值是（ ）A16B15C12D11【答案】B【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则FEHEBA，设AE=x，可得出CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值【解答】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， A=H=90°，FEB=90°， FEH=90°-BEA=EBA， FEHEBA， 为的中点， 设AE=x， AB HF 当 时，CEF面积的最小值 故选：B【点评】本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质建立CEF面
7、积与AE长度的函数关系式是解题的关键二、填空题6如图，在ABC中，ABAC，BAC120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE若AB6，则BDE面积的最大值为_【答案】【分析】作CMAB于M，ENAB于N，根据AAS证得EDNDCM，得出ENDM，然后解直角三角形求得AM3，得到BM9，设BDx，则ENDM9x，根据三角形面积公式得到SBDE（9x）（x4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得【解答】解：作CMAB于M，ENAB于N，EDN+DEN90°，EDC90°，EDN+CDM
8、90°，DENCDM，在EDN和DCM中EDNDCM（AAS），ENDM，BAC120°，MAC60°，ACM30°，AMAC63，BMAB+AM6+39，设BDx，则ENDM9x，SBDE（9x）（x4.5）2+，当BD4.5时，SBDE有最大值为，故答案为：【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值7如图，O的直径为5，在O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A，B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延
9、长线于D点则PCD的面积最大为_【答案】【分析】由圆周角定理可知，再由可证明，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC：CA4：3，结合三角形面积公式解题即可【解答】为直径，又BC：CA4：3，当点P在弧AB上运动时，当PC最大时，取得最大值而当PC为直径时最大，【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键8已知AB为半圆的直径，AB2，DAAB，CBAB，AD1，BC3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_【答案】2+【分析】五边形ABCDP的面积四边形ABCD的面积CPD的
10、面积只要求出CDP面积的最小值，作EF/CD，且与O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时CDP的面积最小【解答】解：五边形ABCDP的面积四边形ABCD的面积CPD的面积，只要求出CDP面积的最小值，作EF/CD，且与O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时CDP的面积最小，易知AD2，四边形ABCD的面积（1+3）×24×1×1+ADOH+13，OH，PH11，CAD的面积最小值为2，五边形ABCDP面积的最大值是4（2）2+故答案为2+【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆
11、的切线的性质进行求解是解题的重要步骤9如图，在矩形ABCD中，ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE设AG=a，则点G到BC边的距离为_（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_【答案】 【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GEBC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论【解答】四边形ABCD是矩形，B=90°，ACB=30°，BC=2，A
12、B=2，AC=4，AG=，CG=，如图1，过G作MHBC于H，交AD于M，RtCGH中，ACB=30°，GH=CG=，则点G到BC边的距离为，HMBC，ADBC，HMAD，AMG=90°，B=BHM=90°，四边形ABHM是矩形，HM=AB=2，GM=2GH=，SADG，当最小时，ADG的面积最小，如图2，当GEBC时，AG最小，即a最小，FG是AE的垂直平分线，AG=EG，ADG的面积的最小值为，故答案为：，【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键10如图
13、，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则ABP面积的最小值为_ 【答案】【分析】根据直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB解析式；平移直线AB到直线CD，直线CD当抛物线相交并只有一个交点P时，ABP面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P坐标；再利用勾股定理逆定理，证明为直角三角形，从而计算得到ABP面积的最小值【解答】设直线AB为 直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4) 直线AB为如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为当与抛物线相交并只有一个交点P时，ABP面积为最小值 将代入，得 为直角三角形， 即ABP面积
14、的最小值为故答案为：【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解三、解答题11如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3) （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点P是抛物线上AC下方的一个动点，是否存在点p，使PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线yx
15、2-4x+3;（2）D(2，1)；（3）点的坐标为，【分析】（1）（1） 将、坐标代入即可；（2）由于长度不变， 要周长最小， 就是让最小， 而、关于对称轴对称， 所以就是的最小值， 此时点就是与抛物线对称轴的交点；【解答】解：（1）抛物线经过点，点，解得，所以，抛物线的解析式为；（2），抛物线的对称轴为；长度不变，最小时，的周长最小，、是关于抛物线对称轴对称的，当点为对称轴与的交点时，最小， 即的周长最小， 如图，解得：，抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；（3）存在，如图，设过点与直线平行线的直线为，联立，消掉得，解得：，即时，点到的距离最大，的面积最大，此时，点的坐标为，设过点的直线与轴
16、交点为，则，直线的解析式为，点到的距离为，又，的最大面积【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键12已知，如图，矩形ABCD中，AD6，DC7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH2，连接CF（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG6时，求FCG的面积；（3）求FCG的面积的最小值【答案】（1）2（2）1；（3）（7-）【分析】（1）当四边形EFGH为正方形
17、时，则易证AHEDGH，则DG=AH=2；（2）过F作FMDC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得AEG=MGE，同理有HEG=FGE，利用等式性质有AEH=MGF，再结合A=M=90°，HE=FG，可证AHEMFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；（3）先设DG=x，由第（2）小题得，SFCG=7-x，在AHE中，AEAB=7，利用勾股定理可得HE253，在RtDHG中，再利用勾股定理可得x2+1653，进而可求x，从而可得当x=时，GCF的面积最小【解答】解：（1）四边形EFGH为正方形，HG=
18、HE，EAH=D=90°，DHG+AHE=90°，DHG+DGH=90°，DGH=AHE，AHEDGH（AAS），DG=AH=2；（2）过F作FMDC，交DC延长线于M，连接GE，ABCD，AEG=MGE，HEGF，HEG=FGE，AEH=MGF，在AHE和MFG中，A=M=90°，HE=FG，AHEMFG（AAS），FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此SFCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；（3）设DG=x，则由（2）得，SFCG=7-x，在AHE中，AEAB=
19、7，HE253，x2+1653，x，SFCG的最小值为7-，此时DG=，当DG=时，FCG的面积最小为（7-）【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题13如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点点P、Q是抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将
20、点D坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分ACB=BOQ、BAC=BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解【解答】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，故有最大值，当时，其最大值为；(3)，故与相似时，分为两种情况：当时，过点A作AHBC与点H，解得：，CH则，则直线OQ的表达式为：，联立并解得：，故点或；时，则直线OQ的表达式为：，联立并解得：，故点或；综上，点或或或【点评
21、】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏14已知抛物线ya（x1）2过点（3，4），D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，1），且BDC90°，求点C的坐标：（3）如图，直线ykx+1k与抛物线交于P、Q两点，PDQ90°，求PDQ面积的最小值【答案】（1）y（x1）2；（2）点C的坐标为（2，1）；（3）1【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a的值即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0（x01）2，作CFx轴，证BDODCF得，即1，据
22、此求得x0的值即可得；（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG4，根据SPDQDGMN列出关于k的等式求解可得【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a4，解得：a1，所以抛物线解析式为y（x1）2；（2）由（1）知点D坐标为（1，0），设点C的坐标为（x0，y0），（x01、y00），则y0（x01）2，如图1，过点C作CFx轴，BODDFC90°，DCF+CDF90°，BDC90°，BDO+CDF90°，BDODCF，BDODCF，1，解得：x02，此时y01，点C的坐标为（2，1）（3）设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，
23、y2），（其中x11x2，y10，y20），如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k，得x2（2+k）x+k0x1+x22+k，x1x2kMN|x1x2|2k|则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），所以DG1，SPDQDGMN×1×|x1x2|2k|，当k0时，SPDQ取得最小值1【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点15如图，已知二次函数的图象交x轴于A(1，0),B(4，0)，交y轴于点C，
24、点P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B,C重合），过点P作PEBC，PFy轴交BC与F，则PEF面积的最大值是_ 【答案】【分析】先证明PEFBOC,得出，再根据，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则PEF面积最大值【解答】解：设(0<x<4)，抛物线与y轴交于C点，故C(0,2)，PFy轴，PEBC，PFE=BCO,又PEF=BOC=90°, PEFBOC, ,把B(4,0),C(0,2)代入直线BC的解析式为，点，PE=BO·=4× ，EF=OC·=2× ， =，当时，取值最大，的最大值为，故答案为【点评】本题考
25、查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键16如图，已知点P是AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，MON的形状与面积都随之变化（1）请在图1中用尺规作出MON，使得MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PCOP，过点C作CMOB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N求证：OP平分MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的MON的面积最小请利用图2帮助小亮说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P是MN
26、的中点时SMON最小理由见解析【分析】（1）根据尺规作图，过P点作PNOB于N，交OA于点M；（2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PFPE，与MC交于于G，证明PGMPFN，得PGM与PFN的面积相等，进而得S四边形MOFGSMON 便可得SMONSEOF，问题得以解决【解答】（1）在OB下方取一点K，以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于E点，作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，故OMN就是所求作的三角形；（2）CMOB，CPON，在PCM和PON中，P
27、CMPON（ASA），PMPN，OP平分MON的面积；（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PFPE，与MC交于于G，CMOB，GMPFNP，在PGM和PFM中，PGMPFN（ASA），SPGMSPFNS四边形MOFGSMONS四边形MOFGSEOF，SMONSEOF，当点P是MN的中点时SMON最小【点评】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等17如图，已知，是线段上的两点，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设（1）求的取值范围；（2）求面积的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由旋
28、转可得到AC=MA=x，BC=BN=3-x，利用三角形三边关系可求得x的取值范围；（2）过点C作CDAB于D，设CD=h，利用勾股定理表示出AD、BD，再根据BD=AB-AD列方程求出h2，然后求出ABC的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答【解答】解：（1），由旋转的性质，得，由三角形的三边关系，得解不等式得，解不等式得，的取值范围是（2）如图，过点作于点，设，由勾股定理，得，两边平方并整理，得，两边平方整理，得的面积为，当时，面积最大值的平方为，面积的最大值为【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组
29、，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程18如图1，在RtABC中，A90°，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值【答案】（1）PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形理由见解析；（3）SPMN最大【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中
30、位线得出，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论【解答】解：（1）点，是，的中点，点，是，的中点，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形由旋转知，利用三角形的中位线得，是等腰三角形，同（1）的方法得，同（1）的方法得，是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最
31、大，连接，在中，在中，方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，最大时，面积最大，点在的延长线上，【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大19问题提出（1）如图，在RtABC中，ABC90°，AB12，BC16，则AC ；问题探究（2）如图，在RtABC中，ABC90°，AC10，点D是AC边上一点，且满足DADB，则CD ；问题解决（3）如图，在RtABC中，过点B作射线BP，将C折叠，折
32、痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC8，求BCD面积的最大值，及面积最大时BCD的度数【答案】（1）20；（2）5；（3）SBCD16；BCD45°【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由等腰三角形的性质可得ADBA，由余角的性质可得DBCC，可得DBDCADAC5；（3）由中点的性质和折叠的性质可得DEEC4，则当DEBC时，SBCD有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解【解答】解：（1）ABC90°，AB12，BC16，故答案为：20；（2）DADB，ADBA，ABC90°A+C90
33、°，ABD+DBC90°，DBCC，DBDC，DBDCADAC5，故答案为：5；（3）E为BC中点，BC8，BEEC4，将C折叠，折痕为EF，DEEC4，当DEBC时，SBCD有最大值，SBCD×BC×DE×8×416，此时DEBC，DEEC，BCD45°故答案为：SBCD16；BCD45°【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键20如图，已知边长为6的菱形ABCD中，ABC60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足
34、，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：CEF是等边三角形；DFCEGC； 若BE3，则BMMNDN； ECF面积的最小值为其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】由“SAS”可证BECAFC，可得CFCE，BCEACF，可证EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证DFCEGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MNDNBM；由勾股定理即可求解EF2BE2DF2不成立；由等边三角形的性质可得ECF面积的EC2，则当ECAB时，ECF的最小值为【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD6，ACBC，ABBCCDADAC，ABC，ACD是等边三角形，ABC
35、BACACBDAC60°，ACBC，ABCDAC，AFBE，BECAFC（SAS）CFCE，BCEACF，ECFBCA60°，EFC是等边三角形，故正确；ECFACD60°，ECGFCD，FECADC60°，DFCEGC，故正确；若BE3，菱形ABCD的边长为6，点E为AB中点，点F为AD中点，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOCO，BODO，ABOABC30°，AOAB3，BOAO，BD，ABC是等边三角形，BEAE3，CEAB，且ABO30°，BEEM3，BM2EM，BM，同理可得DN，MNBDBMDN，BMMNDN，故正确；B
36、ECAFC，AFBE，同理ACEDCF，AEDF，BAD90°，EF2AE2AF2不成立，EF2BE2DF2不成立，故错误，ECF是等边三角形，ECF面积的EC2，当ECAB时，ECF面积有最小值，此时，EC，ECF面积的最小值为，故正确；故答案为：【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键21如图，抛物线与坐标轴交于点,点为抛物线上动点,设点的横坐标为（1）若点与点关于抛物线的对称轴对称,求点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点在第四象限,连接及,当为何值时,的面积最大?最大面积是多少?（3
37、）是否存在点,使为以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）当时，有最大值；（3）【分析】（1）根据抛物线上的对称点B和E，求出对称轴从而可求出C点坐标然后设出抛物线的交点式，再把点A代入求出a值即可求出抛物线的解析式；（2）过点P作y轴的平行线交AE于点H，分别根据抛物线和直线AE的解析式表示出点P和点H的坐标，从而求出线段PH的长，最后用含t的式子表示APE的面积，利用二次函数的性质求解；（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P的坐标【解答】解：（1）抛物线经过点抛物线的对称轴为点点
38、抛物线表达式为,解得抛物线的表达式为如图,过点作轴的平行线交于点由点的坐标得直线的表达式为设点，则当时，有最大值直线表达式中的值为,则与之垂直的直线表达式中的值为 当时，直线的表达式为将点的坐标代人并解得,直线的表达式为联立得解得或（不合题意，舍去）故点的坐标为 当时，直线PA的表达式为将点A的坐标代人并解得,直线的表达式为联立得解得或0（不合题意，舍去）故点综上，点的坐标为或（1,-4)【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类
39、讨论的思想解决数学问题22如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标【答案】（1）(1，0)，yax+a；（2）；（3）(1，)或(1，4)【分析】（1）当yax22ax3aa
40、（x+1）（x3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（1，0），B（3，0），由于直线l：ykx+b过A（1，0）可得kb，即得直线l：ykx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2（2a+k）x3ak0，由于CD4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得31×4，求出ka，即得直线l的函数表达式为yax+a；（2）如图1，过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），可得F（x，ax+a），从而得出EFax22ax3aaxaax23ax4a，由SACESAFESCEF，利用三角形面积公式，可得SACE的关系式，利用二次函数的性质即可求出结论（3）
41、分两种情况讨论，如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可【解答】解：（1）当yax22ax3aa（x+1）（x3），得A（1，0），B（3，0），直线l：ykx+b过A（1，0），0k+b，即kb，直线l：ykx+k，抛物线与直线l交于点A，D，ax22ax3akx+k，即ax2（2a+k）x3ak0，CD4AC，点D的横坐标为4，31×4，ka，直线l的函数表达式为yax+a（2）解：如图1，过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），则F（x，ax+a），EFax22ax3aaxaax23ax4a，SACESAFE
42、SCEF（ax23ax4a）（x+1）（ax23ax4a）x（ax23ax4a）a（x）2a，ACE的面积的最大值a，ACE的面积的最大值为，a，解得a；（3）解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax22ax3aax+a，即ax23ax4a0，解得：x11，x24，D（4，5a），抛物线的对称轴为直线x1，设P（1，m），如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（4，21a），m21a+5a26a，则P（1，26a），四边形ADPQ是矩形，ADP90°，AD2+PD2AP2，52+（5a）2+32+（26a5a）222+（26a）2，即a2，a0，aP（1，）；如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，3a），m5a