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1、专题19 解直角三角形问题一、勾股定理和勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 二、直角三角形的判定及性质1.直角三角形的判定(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形；(2)两锐角互余的三角形是直角三角形；(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形；(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直
2、角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、各种锐角三角函数的定义1正弦：在ABC中，C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做A的正弦，记作sinA 。2余弦：在ABC中，C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做A的余弦，记作cosA 。3正切：在ABC中，C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做A的正切，记作tanA 。四、解直角三角形问题类型 1解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2
3、解直角三角形的理论依据：在RtABC中，C=90°，A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A+B=90°（3）边角之间的关系：3. 解直角三角形类型总结表格类型已知条件解法两边两直角边a、bc=，tanA=，B=90°-A一直角边a，斜边cb=，sinA=，B=90°-A一边一锐角一直角边a，锐角AB=90°-A，b=a·cotA，c=斜边c，锐角AB=90°-A，a=c·sinA， b=c·cosA五、特殊值的三角函数三角函数0°30
4、76;45°60°90°sin01cos10tan01不存在cot不存在10六、仰角、俯角、坡度1仰角：视线在水平线上方的角；2俯角：视线在水平线下方的角。 3坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。七、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)（2）平方关系 （3）倒数关系 tanAtan(90°A)=1（4）弦切关系 ta
5、nA=八、锐角三角函数的增减性当角度在0°90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）【例题1】（2020陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（）A101313B91313C81313D71313【对点练习】（2020贵州黔西南）如图所示，在RtABC中，C90°，点D在线段BC上，且B30°
6、;，ADC60°，BC，则BD的长度为_【例题2】（2020凉山州）如图所示，ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A12B22C2D22【对点练习】（2020扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sinADC的值为（）A21313B31313C23D32【例题3】（2020荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向
7、的E处（1）求ABE的度数；（2）求快艇的速度及C，E之间的距离（参考数据：sin15°0.26，cos15°0.97，tan15°0.27，31.73）【对点练习】（2019浙江宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为多少米（精确到1米，参考数据：1.414，1.732）一、选择题1（2020长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A423米B143米C21米D42米2
8、（2020河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l下列说法错误的是（）A从点P向北偏西45°走3km到达lB公路l的走向是南偏西45°C公路l的走向是北偏东45°D从点P向北走3km后，再向西走3km到达l3（2020聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sinACB的值为（）A355B175C35D454（2020重庆）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i1：0.75，山坡坡底C点到
9、坡顶D点的距离CD45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°0.47，cos28°0.88，tan28°0.53）（）A76.9mB82.1mC94.8mD112.6m5（2020广元）规定：sin（x）sinx，cos（x）cosx，cos（x+y）cosxcosysinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（30°）=-12；（2）cos2xcos2xsin2x；（3）cos（xy）cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15
10、76;=6-24其中正确的结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个6.（2020贵州黔西南）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到AB的位置，已知AO的长为4米若栏杆的旋转角AOA，则栏杆A端升高的高度为（ ）A. 米B. 4sin米C. 米D. 4cos米二、填空题7（2020湘潭）计算：sin45° 8（2020天水）如图所示，AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sinAOB的值是 9（2020深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，ABCDAC90°，tanACB=12，BOOD=43，则SABDSCBD= 10（2020菏泽）如图，在A
11、BC中，ACB90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC4，CD3，则cosDCB的值为 11（2020泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地BCAD，BEAD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移 m时，才能确保山体不滑坡（取tan50°1.2）12（2020枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）若AB，AC的长都为2m，当50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m（结
12、果精确到0.1m，参考依据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.19）三、简答题13.（2020浙江温州）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EFGH，EF不平行GH；（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQMN来.Com14（2020凉山州）如图，O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，A、B、C所对
13、的边分别是a、b、c（1）求证：asinA=bsinB=csinC=2R；（2）若A60°，C45°，BC43，利用（1）的结论求AB的长和sinB的值15（2020随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB25米（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度（参考数据：31.73，结果保留整数）16（2020临沂）如图，要想使人安全地攀上斜靠在
14、墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角般要满足60°75°，现有一架长5.5m的梯子（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：sin75°0.97，cos75°0.26，tan75°3.73，sin23.6°0.40，cos66.4°0.40，tan21.8°0.40）17（2020岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B
15、两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度（结果精确到0.1km，sin22°0.37，cos22°0.93，tan22°0.40，21.41）18（2020徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM30m，求小红与爸爸的距离PQ（结果精确到1m，参考数据：21.41，31.73，62.45）