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1、专题33 最值问题 专题知识回顾 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。2.一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它
2、们的解往往离不开函数。5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。7. 利用不等式与判别式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。专题典型题考法及解析 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x3）24的最小值为 【答案】4【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到
3、顶点坐标，从而得出解答二次函数y=2（x3）24的开口向上，顶点坐标为（3，4），所以最小值为4【例题2】（2018江西）如图，AB是O的弦，AB=5，点C是O上的一个动点，且ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 【答案】【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值如图，点M，N分别是AB，AC的中点，MN=BC，当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交O于点C，连接AC，BC是O的直径，BAC=90°ACB=45°，AB=5，ACB=4
4、5°，BC=5，MN最大=【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线yax2bxc（a0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ12QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再
5、证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PFAB于点F，交BC于点E，令P(m，m24m3)，易知直线BC的解析式为yx3，则E(m，m3)，PE(m3)(m24m3)m23m再由SPBCSPBESCPE，转化为12PEOB12×3×(m23m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定SPBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQt，则CQ3t，AQ12QC，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作Q，则当Q过点A时，AQ12QCQ的直径最小）、二求（由 AQ12QC，解关于t的方程即可）【解题过程】（1）抛物线
6、yax2bxc（a0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，令抛物线解析为ya(x1)(x3)该抛物线过点C(0，3)，3a×(01)×(03)，解得a1抛物线的解析式为y(x1)(x3)，即yx24x3yx24x3(x2)21，抛物线的顶点D的坐标为(2，1)综上，所求抛物线的解析式为yx24x3，顶点坐标为(2，1)（2）如答图1，连接AD、BD，易知DADBOBOC，BOC90°，MBA45°D(2，1)，A(3，0)，DBA45°DBM90°同理，DAM90°又AMBC，四边形ADBM为矩形又DADB，四边形ADBM为
7、正方形图1（3）如答图2，过点P作PFAB于点F，交BC于点E，令P(m，m24m3)，易知直线BC的解析式为yx3，则E(m，m3)，PE(m3)(m24m3)m23m图2图3 SPBCSPBESCPE12PEBF12PEOF12PEOB12×3×(m23m)32 (m32)2278，当m32时，SPBC有最大值为278，此时P点的坐标为(32，34)（4） 如答图3，设OQt，则CQ3t，AQ12QC，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作Q，则当Q过点A时，AQ12QCQ的直径最小，此时，t2+1=12(3-t)，解得t2631，于是AQ12QC的最小值为3t
8、3(2631)4263 专题典型训练题 1.（2018河南）要使代数式2-3x有意义，则x的（ ）A.最大值为23 B.最小值为23 C.最大值为32 D.最大值为32【答案】A.【解析】要使代数式2-3x有意义，必须使2-3x0，即x23，所以x的最大值为23。2.（2018四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为_。【答案】5 【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h因为，所以又因为，代入得，所以又因为，代入 得，所以 所以3<h<6，故整数h的最大值为5。3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么的最小值为_。【答案
9、】-1 【解析】当，即时，上式等号成立。故所求的最小值为1。4.（2018云南）如图，MN是O的直径，MN=4，AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 【答案】2【解析】过A作关于直线MN的对称点A，连接AB，由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出AON的度数，再由勾股定理即可求解过A作关于直线MN的对称点A，连接AB，由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值，连接OB，OA，AA，AA关于直线MN对称，=，AMN=40°，AON=80°，BON=40°，
10、AOB=120°，过O作OQAB于Q，在RtAOQ中，OA=2，AB=2AQ=2，即PA+PB的最小值25.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(
11、斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】看解析。【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1x)，第二次降价后的价格为10(1x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)×销量储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润(8.1a4.1)×销量储存和损耗费用127.5”
12、求解解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：10(1x)28.1解方程得：x10.110%，x21.9(不合题意，舍去)答：该种水果每次降价的百分率为10%（2） 第一次降价后的销售价格为：10×(110%)9(元/斤)，当1x9时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352；当9x15时，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80，综上，y与x的函数关系式为：y当1x9时，y17.7x352，当x1时，y最大334.3(元)；当9x15时，y3x260x803(x10)2380，当x10时，y最大380(元)；334.3380，在
13、第10天时销售利润最大（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：380(8.1a4.1)(12015)(3×15264×15400)127.5，解得：a0.5，则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】看解析。【解析】（1）根据题意得： 整理得 解得，（不
14、合题意，舍去）（2）由题意知，利润为 所以当时，最大利润为1950元。7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？【答案】看解析。【解析】设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为人，由题意得： 所以设所招聘的工人共需付月工资y元，则有： （）因为y随x的增大而减小 所以当时，（元）8.（经典题）求的最大值与最小值。【答案】最大值是3，最小值是。【解析】此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关
15、于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。设，整理得即因为x是实数，所以即解得所以的最大值是3，最小值是。9.（经典题）求代数式的最大值和最小值。【答案】最大值为1/2，最小值为-1/2.【解析】设，再令，则有所以得y的最大值为1/2，最小值为-1/2.10.（经典题）求函数的最大值。【答案】0 【解析】本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。易知该函数有两个零点、当时 当时 当时，得 当时， 综上所述，当时，y有最大值为11. （2018山东济南）已知x、y为
16、实数，且满足，求实数m最大值与最小值。【答案】 m的最大值是，m的最小值是1。【解析】由题意得 所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以 即 解得 m的最大值是，m的最小值是1。12.（2019年黑龙江省大庆市）如图，在RtABC中，A90°AB8cm，AC6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DEBC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【答案】见解析。【解析】
17、本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键（1）由平行线得ABCADE，根据相似形的性质得关系式.动点D运动x秒后，BD2x又AB8，AD82xDEBC，y关于x的函数关系式为y（0x4）（2）由SBDAE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解SBDE（0x4）当时，SBDE最大，最大值为6cm213.（2019年宁夏）如图，在ABC中，A90°，AB3，AC4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x（1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC
18、；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值【答案】见解析。【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键（1）MQBC，MQB90°，MQBCAB，又QBMABC，QBMABC；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；当BQMN时，四边形BMNQ为平行四边形，MNBQ，BQMN，四边形BMNQ为平行四边形；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式
19、，根据二次函数性质计算即可A90°，AB3，AC4，BC5，QBMABC，即，解得，QMx，BMx，MNBC，即，解得，MN5x，则四边形BMNQ的面积×（5x+x）×x（x）2+，当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为14. （2019广东深圳）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），点C（0，3），且OB=OC（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分，求点P的坐标【思路
20、分析】（1）先求出点B的坐标，然后把A、B、C三点坐标代入解析式得出方程组，解方程组即可得出a，b，c的值，得解析式，再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程；（2）利用轴对称原理作出点C的对称点，求出四边形CDEA的周长的最小值；（3）方法1：设CP与x轴交于点E，先根据面积关系得出BE：AE=3:5或5:3，求出点E的坐标，进而求出直线CE的解析式，解直线CE与抛物线的解析式联立所得的方程组求出点P的坐标；方法2：设P（x，x2+2x+3），用含x的式子表示四边形CBPA的面积，然后求出CB的解析式，再用含x的式子表示出CBP的面积，利用面积比建立方程，解方程求出x的值，得出P的坐标
21、【解题过程】（1）点C（0，3），OB=OC，点B（3，0）把A（1，0），C（0，3），B（3，0）代入y=ax2+bx+c，得&ab+c=0，&9a+3b+c=0，&c=3，解得&a=1，&b=2，&c=3.抛物线的解析式为y=x2+2x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，抛物线的对称轴为x=1（2）如图，作点C关于x=1的对称点C（2，3），则CD=CD取A（1，1），又DE=1，可证AD=AE在RtAOC中，AC=OA2+OC2=12+32=10四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE =10+1+CD+AE要求四边形ACDE的周
22、长的最小值，就是求CD+AE的最小值CD+AE=CD+AD，当AD，C三点共线时，CD+AD有最小值为13，四边形ACDE的周长的最小值=10+1+13（3）方法1：由题意知点P在x轴下方，连接CP，设PC与x轴交于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又SCBE：SCAE=SPBE：SPAE=BE：AE，BE：AE=3:5或5:3，点E1（32，0），E2（12，0）设直线CE的解析式为y=kx+b，（32，0）和（0，3）代入，得&32k+b=0，&b=3，解得&k=2，&b=3.直线CE的解析式为y=2x+3同理可得，当E2（12，0）时，
23、直线CE的解析式为y=6x+3由直线CE的解析式和抛物线的解析式联立解得P1（4，5），P2（8，45）.方法2：由题意得SCBP=38S四边形CBPA或SCBP=58S四边形CBPA令P（x，x2+2x+3），S四边形CBPA=SCAB+SPAB=6+12×4·（x22x3）=2x24x直线CB的解析式为y=x+3，作PHy轴交直线CB于点H，则H（x，x+3），SCBP=12OB·PH=12×3·（x+3+x22x3）=32x292x当SCBP=38S四边形CBPA时，32x292x=38（2x24x），解得x1=0（舍），x2=4，P1（
24、4，5）当SCBP=58S四边形CBPA时，32x292x=58（2x24x），解得x3=0（舍），x4=8，P2（8，45）15.（2019广西省贵港）已知：是等腰直角三角形，将绕点顺时针方向旋转得到，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点（1）如图1，当时，作的平分线交于点写出旋转角的度数；求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，若，求线段的最小值（结果保留根号）.【思路分析】（1）解直角三角形求出即可解决问题连接，设交于点在时截取，连接首先证明是等边三角形，再证明，即可解决问题（2）如图2中，连接，作交的延长线于证明，推出，推出，关于对称，推出，推出，求出即可
25、解决问题【解题过程】（1）解：旋转角为理由：如图1中，旋转角为证明：连接，设交于点在时截取，连接，平分，是等边三角形，是等边三角形，（2）解：如图2中，连接，作交的延长线于由可知，关于对称，在中，的最小值为16.（2019贵州省安顺市）如图，抛物线y12x2+bx+c与直线y12x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC已知A（0，3），C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的
26、三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【思路分析】（1）将A（0，3），C（3，0）代入y12x2+bx+c，即可求解；（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；（3）分当PGAG=BCAC=13时、当PGAG=BCAC=3时两种情况，分别求解即可【解题过程】（1）将A（0，3），C（3，0）代入y12x2+bx+c得：&c=3&92-3b+c=0，解得：&b=52&c=3，抛物线的解析式是y12x2+52x+3；（2）将直线y12x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x0或4
27、，A （0，3），B（4，1）当点B、C、M三点不共线时，|MBMC|BC当点B、C、M三点共线时，|MBMC|BC当点、C、M三点共线时，|MBMC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在RtBEC中，由勾股定理得BCBE2+CE22，|MBMC|取最大值为2；（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似设点P坐标为（x，12x2+52x+3）（x0）在RtBEC中，BECE1，BCE45°，在RtACO中，AOCO3，ACO45°，ACB180°450450900，AC3，过点P作PQPA于点P，则APQ90°，过点P作PQy轴于
28、点G，PQAAPQ90°PAGQAP，PGAQPAPGAACB90°当PGAG=BCAC=13时，PAGBAC，x12x2+52x+3-3=13，解得x11，x20，（舍去）点P的纵坐标为12×12+52×1+36，点P为（1，6）；当PGAG=BCAC=3时，PAGABC，x12x2+52x+3-3=3，解得x1133（舍去），x20（舍去），此时无符合条件的点P综上所述，存在点P（1，6）17.（2019广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，三点（1）求，两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点是直线下方的抛物
29、线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值【思路分析】（1），即可求解；（2）抛物线的表达式为：，即可求解；（3），即可求解【解题过程】（1），故点、的坐标分别为、；（2）抛物线的表达式为：，即，解得：，故抛物线的表达式为：；（3）直线过点，设其函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故直线的表达式为：，过点作轴的平行线交于点，轴，设点，则点，有最大值，当时，其最大值为，此时点18.（2019内蒙古赤峰）如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线yx2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+
30、ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APBOCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由【思路分析】（1）直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，即可求解；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解【解题过程】（1）直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：-9+3b+
31、c=0c=3，解得：b=2c=3，故函数的表达式为：yx2+2x+3，令y0，则x1或3，故点A（1，0）；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，函数顶点坐标为（1，4），点C（0，3），将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y7x3，当y0时，x=37，故点E（37，x）；（3）当点P在x轴上方时，如下图2，OBOC3，则OCB45°APB，过点B作BHAH，设PHAHm，则PBPA=2m，由勾股定理得：AB2AH2+BH2，16m2+（2mm）2，解得：m=2+662（负值已舍去），则PB=2m1+33，则yP=
32、(1+33)2+22=10-3；当点P在x轴下方时，则yP（10-3）；故点P的坐标为（1，10-3）或（1，3-10）19.（2019湘潭）如图一，抛物线yax2+bx+c过A（1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求FMN周长的最小值【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式；（2）可以求出点
33、Q（4，y2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x2，根据函数的增减性，可以求出当y1y2时P点横坐标x1的取值范围；（3）由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点，连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求【解答】（1）抛物线yax2+bx+c过A（1，0）B（3.0）、C（0，）三点解得：a，b，c；抛物线的解析式为：yx2+x+（2）抛物线的对称轴为x1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q（2，y2）P（x1，y1在该抛物线上，y1y2，根据抛物线的增减性得：x1
34、2或x14答：P点横坐标x1的取值范围：x12或x14（3）C（0，），B，（3，0），D（1，0）OC，OB3，OD，1F是BC的中点，F（，）当点F关于直线CE的对称点为F，关于直线CD的对称点为F，直线FF与CE、CD交点为M、N，此时FMN的周长最小，周长为FF的长，由对称可得到：F（，），F（0，0）即点O，FFFO3，即：FMN的周长最小值为3，20.（2019辽阳）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的边BC在x轴上，ABC90°，以A为顶点的抛物线yx2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，
35、沿AB方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PDAB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）SACQ×DQ×BC，即可求解；（3）分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况，分别求解即可【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，
36、解得：，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3，则点A（1，4）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y2x+6，点P（1，4t），则点D（，4t），设点Q（，4），SACQ×DQ×BCt2+t，0，故SACQ有最大值，当t2时，其最大值为1；（3）设点P（1，m），点M（x，y），当EC是菱形一条边时，当点M在x轴下方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3x，m3y，而MPEP得：1+（m3）2（x1）2+（ym）2，解得：ym3，故点M（4，）；当点M在x轴上方时，同理可得：点M（2，3+）；当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+13，y+m3，而PEPC，即1+（m3）24+（m2）2，解得：m1，故x2，y3m312，故点M（2，2）；综上，点M（4，）或（2，3+）或M（2，2）