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1、专题21 菱形 专题知识回顾 1菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。4菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半专题典型题考法及解析 【例题1】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（）A2.5B3C4D5【答案】A【解析】四边形ABCD为菱形，CDBC=
2、204=5，且O为BD的中点，E为CD的中点，OE为BCD的中位线，OE=12CB2.5【例题2】（2019广西梧州）如图，在菱形中，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是【答案】【解析】连接交于，如图所示：四边形是菱形，由旋转的性质得：，四边形是菱形，。 专题典型训练题 一、选择题1.（2019四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A8B12C16D32【答案】【解析】如图所示：四边形ABCD是菱形，AOCO=12AC，DOBO=12BD，ACBD，面积为28，12ACBD2ODAO28 菱形的边长为6，OD2+OA236
3、，由两式可得：（OD+AO）2OD2+OA2+2ODAO36+2864OD+AO8，2（OD+AO）16，即该菱形的两条对角线的长度之和为162.(2019四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（）A.B. C. D. 【答案】D【解析】过点E作EFx轴于点F，四边形OABC为菱形，AOC=60°，=30°，FAE=60°，A（4，0），OA=4，=2，EF=，OF=AO-AF=4-1=3，3.（2019四川省广安市）如图，在边长为的菱形中，过点作于点，现将ABE沿
4、直线AE翻折至AFE的位置，AF与CD交于点G则CG等于（ ） A. B.1 C. D. .【答案】A【解析】因为B=30°，AB=，AEBC，所以BE=，所以EC=-，则CF=3-，又因为CGAB，所以,所以CG=.4.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线 ，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形【答案】C【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EFGHAB，EHFG
5、CD，又由AB=CD，得EFFGGHEH时，四边形EFGH是菱形点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，EFGHAB，EHFGCD，AB=CD，EFFGGHEH时，四边形EFGH是菱形，故选C5. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE则下列说法错误的是（）AABC60°BSABE2SADEC若AB4，则BE4DsinCBE【答案】C 【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CEDE，AECD，四边
6、形ABCD为菱形，ADCD2DE，ABDE，在RtADE中，cosD，D60°，ABC60°，所以A选项的结论正确；SABEABAE，SADEDEAE，而AB2DE，SABE2SADE，所以B选项的结论正确；若AB4，则DE2，AE2，在RtABE中，BE2，所以C选项的结论错误；作EHBC交BC的延长线于H，如图，设AB4a，则CE2a，BC4a，BE2a，在CHE中，ECHD60°，CHa，EHa，sinCBE，所以D选项的结论正确故选：C6.（2019·贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cm，ABC60°，那么这个菱形的对角线AC
7、的长是（）A1cmB2 cmC3cmD4cm【答案】A 【解析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据ABC60°，而ABBC，易证BAC是等边三角形，从而可求AC的长四边形ABCD是菱形，AC是对角线，ABBCCDAD，ABC60°，ABC是等边三角形，ABBCAC，菱形ABCD的周长是4cm，ABBCAC1cm7.（2019贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB2，DAB60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CECD，CFCB，则SCEF（）ABCD【答案】D【解答】四边形ABCD为菱形，AB2，DAB60°ABBCCD2，DCB60
8、°CECD，CFCBCECFCEF为等边三角形SCEF8.（2019河北省）如图，菱形ABCD中，D150°，则1（）A30°B25°C20°D15°【答案】D【解答】四边形ABCD是菱形，D150°，ABCD，BAD21，BAD+D180°，BAD180°150°30°，115°二、填空题9.（2019广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AHBC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= .【答案】.【解析】本题考查了菱形的性质、
9、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果四边形ABCD是菱形，BO=DO=4，AO=CO，ACBD，BD=8.S菱形ABCD=AC×BD=24，AC=6，OC=AC=3，BC=5，S菱形ABCD=BC×AH=24，AH=.10（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，A60°，M是AD边上的一点，且AMAD，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC则AC长度的最小值是 【答案】1【解析】过点M作MHCD交CD延长线于点H，连接CM，AMAD，ADC
10、D3AM1，MD2CDAB，HDMA60°HDMD1，HMHDCH4MC将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，AMA'M1，点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值A'C长度的最小值MCMA'111（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形根据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若M、N的坐标分别为（0，1），（0，1），P是二次函数yx2的图象上在第一象限内
11、的任意一点，PQ垂直直线y1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形其中正确的是 （填序号）【答案】【解析】根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，正确；平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，错误；由给出条件无法得到一组对边平行，错误；设点P（m，m2），则Q（m，1），MP，PQ+1，点P在第一象限，m0，MP+1，MPPQ，又MNPQ，四边形PMNQ是广义菱形正确；故答案为12.（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE3，则菱形的周长为 【答案】24【解析】四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，BODO，点E是B
12、C的中点，OE是BCD的中位线，CD2OE2×36，菱形ABCD的周长4×62413.（2019北京市） 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_【答案】12【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a，b （a>b）；则由图2和图3列得方程组，由加减消元法得，菱形的面积.故填12.14（2019辽宁抚顺）如图，菱形ABCD的边长为4cm，A60°，BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为 cm2【答案】4【解析】连接B
13、D，判断出ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ABD60°，再求出CBD60°，然后求出阴影部分的面积SABD，计算即可得解如图，连接BD，四边形ABCD是菱形，ABAD，A60°，ABD是等边三角形，ABD60°，又菱形的对边ADBC，ABC180°60°120°，CBD120°60°60°，S阴影S扇形BDC（S扇形ABDSABD），SABD，×4×4cm2三、解答题15（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DEDF，求证：
14、12【答案】见解析【解析】证明：四边形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），1216. （2019海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q（1）求证：PDEQCE；（2）过点E作EFBC交PB于点F，连结AF，当PBPQ时，求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知DECQ90°，由E是CD的中点知DECE，结合DEPCEQ即可得证；（2）由PBPQ知PBQQ，结合ADBC得APBPBQQ
15、EPD，由PDEQCE知PEQE，再由EFBQ知PFBF，根据RtPAB中AFPFBF知APFPAF，从而得PAFEPD，据此即可证得PEAF，从而得证；设APx，则PD1x，若四边形AFEP是菱形，则PEPAx，由PD2+DE2PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况【解答】（1）四边形ABCD是正方形，DECQ90°，E是CD的中点，DECE，又DEPCEQ，PDEQCE（ASA）；（2）PBPQ，PBQQ，ADBC，APBPBQQEPD，PDEQCE，PEQE，EFBQ，PFBF，在RtPAB中，AFPFBF，APFPAF，PAFEPD，PEAF
16、，EFBQAD，四边形AFEP是平行四边形；当AP时，四边形AFEP是菱形设APx，则PD1x，若四边形AFEP是菱形，则PEPAx，CD1，E是CD中点，DE，在RtPDE中，由PD2+DE2PE2得（1x）2+（）2x2，解得x，即当AP时，四边形AFEP是菱形17. （2019北京市）如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF（1）求证：ACEF；（2）如图2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长 图1 图2 【答案】见解析。【解析】由四边形ABCD为菱形易得AB=AD，AC平分BAD，结合BE=DF，根据等腰AEF中的三线合一，证得ACEF.；菱形ABCD中有ACBD，结合ACEF得BDEF.进而有；得出OA的值.（1）证明：四边形ABCD为菱形AB=AD，AC平分BADBE=DFAE=AFAEF是等腰三角形AC平分BADACEF（2）解：菱形ABCD中有ACBD，结合ACEF. BDEF. 又BD=4，tanG= AO=OC=1.